数学概念课特征的探究.pdf

数 学 概 念 课 特 征 的 探 究 利 丽 宁波镇海龙赛中学 浙江 315200 中图分类号 O12 42 文献标识码 A 文章编号 0488 7395 2003 13 0004 03 收稿日期 2003 03 06 作者简介 利丽 1962 女 江西德兴人 浙江宁波镇海龙赛中学高级教师 概念是认识的高级产物 是反映客观对 象一般 本质的属性的思维形式 数学概念则 是客观对象的数量关系和空间形式的本质属 性的反映 数学概念是构建数学理论大厦的 基础 清晰 准确的数学概念是正确思维的前 提 也是提高解题能力的必备条件 因此 数 学概念的教学是数学基础知识和基本技能教 学的核心 应引起广大教师的足够重视 下 面 我就数学概念课的特征做些探究 新授课的课堂教学结构有四环节 感知 理解 巩固 运用 数学概念课一般是新 授课 它除了符合上述的四环节要求外 还有 以下四个主要特征 1 概念引入过程的直观性 可接受性 数学概念的产生是多方面的 它可以从 现实模型或实例直接反映得来 如点 线 面 棱柱 球 对应角等 它也可以在一些相对具 体的概念的基础上经过多次抽象 概括而产 生和发展 如函数 向量加法 等差等比数列 等 而人的认识首先是对客观对象的感觉 因 此 在概念引入时 应从实际 包括教材 学生 认知水平及年龄 生活和生产 出发 从问题 入手 可创设问题情境 问题可以是直观的 具体的 本学科的或跨学科的 提出与本概 念有明显联系 直观性较强的实际例子 这一 点对低年级学生尤其重要 让学生在对具体 的 直观的问题中观察 体验 感知本概念 由 感觉过渡到知觉 便于学生接受新概念 例如 立体几何中的点 线 面 柱 锥 台 球等概念的引入都可以通过观察具体实 物及模型 再结合师生的交流 便可得到相应 概念的感性认识 再如 向量的和的概念引 入 新教材上是这样描述的 已知向量a b 在平面内任取一点A 作AB a BC b 则 向量A C叫做a与b的和 教师在处理教材 时 可以先提出与此概念有明显联系 直观性 较强的实际问题 河中水流自西向东每小时 20公里 小船自南岸沿正北方向行驶 每小 时40公里 问该小船的实际行驶方向及速度 的大小 这是速度的合成 进而举出如下例 子并画出示意图 如果一个质点由A点位移 到B点 又由B点位移到C点 那么从A点 到C点的位移就是质点由A点到B点 再从 B点到C点的两次位移的和 最后写出向量 的和的定义 这样 一个抽象的数学概念 通 过客观事实 创设实际背景 引导学生从问题 出发 注重了概念的形成过程 利于学生接 受 感知新概念 2 概念提炼过程的抽象性 概括性 抽象是在思维中区分出对象的本质属 性 而将其他非本质的 不重要的属性略去的 方法 概括则是将同一类的对象的共同本质 属性集中起来 结合为一般的类的属性的方 法 数学概念的形成过程大致都是 对一类事 物的多个对象进行观察 比较 分析 综合 抽 象出每个对象的各种属性 再通过归纳 概括 4数学通讯 2003年第13期 出各个对象的共同属性 再加以表述的 由知 觉过渡到表象 例如 对一次函数概念的得 到 我们可以讨论如下例子 由物体运动的速 度vt v0 at 产品的成本 Mn M0 an 金属杆加热引起的长度变化 lx l0 ax等 具体等式 从中抽象出速度 成本 长度等概 念 根据上面例子 师生共同比较 分析 提 炼 概括出一次函数的概念 并以数学符号 f x ax b a 0 a b 为常数 表示 再 如 球概念的引入 教师可以让学生观察现实 中的许多球状物体 体现直观性 如篮球 排 球 铅球 乒乓球等 然后抛开那些非本质属 性 如材料 大小 颜色等 抽取出它的本质属 性 形成表象即球是由一曲面 球面 围成的 几何体 这个曲面即是到一个定点 球心 距 离相等的点的轨迹 与平面中的圆比较学 习 当然 也可以是由一个半圆绕它的直径 旋转一周而成 因此 抽象出球的概念 由一 个半圆绕它的直径旋转而成的曲面围成的几 何体 3 概念定义过程的准确性 严密性 下定义就是揭示概念的内涵 亦即指出 它所反映的对象所具有的本质属性的一种逻 辑活动 定义的主要使命是总结研究的结果 把获得的知识固结在一个简练 严密的形式 中 每一个新的概念 只可以利用以前已知的 概念逐级来定义 除原始概念外 比如点 线 面 集合 元素 对应等 数学概念具有抽象 化 形式化 逻辑化 简明化四大特征 因而 给概念下定义是严密的 学生通过观察 比 较 抽象 概括出感性材料的本质属性 并尝 试修改 补充后 在教师的引导下 归纳 叙 述 形成简洁明晰 准确严密的定义 例如 在进行 直线的倾斜角 这一概念 教学时 可设计如下情境 老师 现有两个正方形 边长相差很大 在黑板上画出图形 你们能画出它们的对角 线吗 一个学生尝试了一下 小的正方形的对 角线连结两点即可画出 而对大的正方形 他 陷入了困境 因为三角板的边长不够用了 至 此 激起了大家的求知欲望 积极思考 寻求 办法 学生1 可过顶点作一条与一边成45 角 的直线来达到目的 这时 学生已发现了问 题的关键 并用角来刻划直线的倾斜程度了 这时 教师可用电脑演示一下 在直角坐 标系中 一条直线绕它与x轴交点旋转的几 种位置情况 并问 这几种位置关系中最大的 区别在哪 学生2 相对于x轴或y轴的倾斜程度 有所不同 老师 可用什么量来刻划这种直线相对于 x轴倾斜程度呢 假定选x轴为参照系 学生3 角 直线与x轴所成的角 学生4 直线与x平面相交成四个角 这 样表述不确定 也不严密 老师 我们应怎样规定就会使坐标平面 内的任何一条直线都有唯一确定的角与之对 应 学生5 直线与x轴正方向所成的角 不 过 这时也有两个角 学生6 选定直线的向上方向与x轴正 方向所成的角 老师 我们知道 角的概念已推广了 有 正角 负角 还有零角 终边相同的角也有无 数多个 大家认为他的表述准确 严密吗 有 什么修改补充 能标出这个角吗 学生7 应修改为直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小角 他前来标出了这 个角 老师 说准确一点 这个最小角又是什 么角 学生7补充到 最小正角 因为角有方 向性 老师 还有什么补充吗 这条直线可是 平面中的任意一条直线啊 学生8 垂直于y轴的直线没有向上的 方向 无法按此法找到角 我们能否也象数学 中有些概念一样 来个规定 就规定此时是 52003年第13期 数学通讯 0 的角 老师 很好 你不仅找到了特殊情况 还 联想到已学过的知识 方法 用它来解决新问 题 这难能可贵 刚才 通过大家不断地尝试 修改 补充 得到了一个很严密的表述 这样 的表述保证了坐标平面内任意一条直线都有 唯一的角与之对应 我们给这个角一个形象 的名称 称之为直线的倾斜角 下面 再请一 位同学完整地叙述一下直线的倾斜角这个 概念 4 概念巩固过程的层次性 递进性 我们知道人的认识水平划分为三个层 次 已知区 最近发展区 和 未知区 三 个层次的关系是 已知区最近发展区未知区 人的认识水平就是在这三个层次之间循环往 复 不断转化 螺旋式上升 概念教学亦是如 此 当新概念形成后 教师可在学生的 已知 区 与 最近发展区 的结合点 即知识增长点 上设计问题 推出有层次性 递进性的题组 必要时 还可补充反例或变式题组或错解让 学生辨析 再配合教师的适当点拨 就能在不 知不觉中激起学生学习的热情 有助于原有 知识结构的巩固和拓展 也便于新知识的同 化或顺应 例如 当引入函数有关概念及记号y f x 后 可以推出以下题组 3组 投影 第1 组 辨析题 以下从集合A到集合B的 对应是否为函数 A 三角形 B 圆 f 画出三 角形的外接圆 A 1 1 B 1 1 f x y x A 1 1 B 1 1 f 取 倒数 A 0 1 B 1 1 f x y x 第2 组 讨论题 下列每组中表示同一函数的是 A f x x 2 与 g x x B f x 1与g x x x C f x x2与g x x D f x 3 x3与f x x2 以下图象可以作为函数图象的是 多 项选择 A B C D E 第3 组 图表 信息题 下表是近6年来高考理科卷解答题考 查代数推理题分值统计表 年份199719981999200020012002 分值122414242626 根据新华社