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数学 1 数学 第一章 集合 常用逻辑用语 1 第二章 函数 4 第三章 导数 相当重要 7 第四章 三角函数及解三角形 9 第五章 向量和立体几何 12 第六章 解析几何 16 第七章 特殊 方法 20 前言 数学是高考的一个重点 在此略微整理下 希望对大家有用 但是数学最重要的不是做题 而是 感悟 去思考方法的精髓 想 为什么 而不是 是什么 数学不是练出来的 数学是炼出来 的 仅此而已 数学 2 第一章 集合 常用逻辑用语 一 集合部分 1 集合中元素的三种特性 确定性 互异性 无序性 这个记了没什么用 但是集合的题目常用到集合的互异性这一性质 通常给两个集合 各自 有三四个元素 然后给出两个集合之间之间的关系 有若干元素是一样的 在计算时要注 意 同一集合的元素不能相同 2 集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 其中描述法最常见 如 x x 4k 3 k Z 列举法 如 1 2 3 4 图示法 如右图 3 常用数集有 N 自然数集 N 或 N 正整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 4 各种集合关系 子集 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素 则称集 合 A 是集合 B 的子集 记作 A B 或 B A 真子集 如果集合 A B 但是存在元素 xB 且 x A 则称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 AB 或 BA 等集 集合 A 于集合 B 中的元素是一样的记作 A B 注意属于和包含于的区别 元素与集合之间用属于 集合与集合之间用包含于 常用结论 不用在意叫什么结论 知道有这么个东西就可以了 A B AA B A B AB A 集合交换律 A B B A A B B A 集合结合律 A B C A B C A B C A B C 集合吸收律 A A B A A A B A 集合求补律 A CuA U A CuA 集合德摩根律 Cu A B CuA CuB Cu A B CuA CuB 集合分配律 A B C A B A C B C A B A C 数学 3 以上结论可以用韦恩图理解 韦恩图很强大 如果题目做不出来了 画个图 很容易 明白 由于空集很特殊 没有任何元素 所以空集是任意集合的子集 是任意非空集合的真子集 而相反 0 虽然大小为 0 却不一定是集合的元素 任何集合都是自身的子集 子集具有可 传递性 即如果 A B B C 则 A C 含有 n 个元素的集合 全部子集的个数为 n 2 真子集的个数为 n2 1 非空真子集 的个数为 n 2 2 容斥原理 一般来说 在对集合元素计数时 我们已知集合间的关系 加法运算后 还要减去多加的部分 归纳就是容斥原理 记 全集为 I 集合 A 的元素个数为 A B 的元素个数为 B 那么有 A B A B A B A B C A B C A B B C A C A B C 记忆的时候可以找规律 左边就不说了 右边么 里面集合个数递增 加减号依次变化 高考中 如果用到这个定理解题 一般不会超过 4 个集合 遇到了 画个韦恩图就搞定了 注 书上表示集合元素个数也有这样的 Card A 表示 A 集合的元素个数 二 常用逻辑用语 1 四种命题 注意 原命题与逆否命题等价 逆命题与否命题等价 2 四种条件 若 A B 且 B 推不出 A 则 A 是 B 的充分非必要条件 若 A 推不出 B 且 B A 则 A 是 B 的必要非充分条件 若 A B 且 B A 则 A 是 B 的充要条件 若 A 推不出 B 且 B 推不出 A 则 A 既不是 B 的充分条件 也不是 B 的必要条件 这里记忆是比较好记的 记 A B 时 A 小 B 大 小推大充分不必要 数学 4 3 真假情况 p 非 p q p 或 q p 且 q 真 假 真 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 这个和物理里面的与非门有点渊源了 很好记 非 就不说了 或 记作 就是 or 字母 r 是开口向上的 这个从英语角度看 或者 就是有一个满足 真 就是 真 且 记作 就是 and 字母 A 是开口向下的 并且的意思 必须要两个同时为 真 才 是 真 4 全称量词与存在量词 5 命题的否定 这个是比较鸡糟的东西 高三的同学经常搞不清什么是命题的否定 什么是否命题 接着存在量词与全称量词是互为命题的否定的 这个记熟了很好用 第二章 函数 一 函数的基础知识 这个基本上知道是神马东西就行了 但当涉猎 1 映射 特性 存在性 唯一性 封闭性 要注意的是 函数是一对一或多对一的 没有一对多的 并且定义域非空 2 三要素 定义域 值域 对应关系 3 表示方法 解析法 列表法 图像法 数学 5 二 周期 单调 奇偶 此部分比较重要 奇偶 有很多种考法 形如 题中有 f a x f a x y f x 你就要知道图象关于什么对称 同样有 f x f a x f a x f b x f a x f a x 0 f a x f b x 0 f a x f b x c 等等 奇偶性还有要注意的 1 定义域要关于原点对称 定义域不满足条件的 说什么都白搭 2 奇函数如果 x 0 在定义域中 那 f 0 0 偶函数则没有这个结论 3 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反 常用于奇函数偶函数的判定 4 在公共定义域内 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶 函数 两个偶函数的 和 积是偶函数 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数 但是 通常奇函数与偶函数的 和什么都不是 y 0 那种加起来不算的 周期 若 a b a b 是非零常数 对于函数 y f x 定义域的一切 x 满足下列条件 之 一 则函数 y f x 是周期函数 1 f x a f x 则 f x 是周期函数 且2a 是它的一个周期 3 f x a f x 1 则 f x 是周期函数 且2a 是它的一个周期 4 f x a f x b 则 f x 是周期函数 且 a b 是它的一个周期 5 函数图象关于两条直线 x a x b 对称 则函数 y f x 是周期函数 且2 a b 是它 的一 个周期 6 函数图象关于点 M a 0 和点 N b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且2 a b 是 它的 一个周期 7 函数图象关于直线 x a 及点 M b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且4 a b 是 它 f axf ax2b f axf bx2c a b xc 2 其实这种类型的方法是看做的形式 这样的表达式的图 形与 a b 有关 如果左边是加号 那很明显图像是关于 a b 中心对称 的 而如果是减号且b 0 那就是轴对称 特殊的 我们也可以通过对 的赋值知道是 f af b ab 对于单调性 通常用的正负性来表示 但是建议大家使用导数 1 2 f x2a f xa f x 则是周期函数 且是它的一个周期 数学 6 的一个周期 8 若 f x 是定义在 R 上的偶函数 其图象关于直线 x a 对称 则 f x 是周期函数 且2a 是它的一个周期 9 若 f x 是定义在 R 上的奇函数 其图象关于直线 x a 对称 则 f x 是周期函数 且4a 是它的一个周期 三 指数函数 对数函数与幂函数 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 使用时要注意 常常会带上绝对值符号 这样的函数图象要适当平移以及对折 还有求复合 函数的定义域值域的 要注意指数与对数本身对条件的限制 例如 幂函数的图象与性质 在 0 1 上 幂函数中指数愈大 函数图象愈靠近 x 轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离 x 轴 具体幂函数问题 不多说 画图 四 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 22 24 log56 56024 x yxxx xx 求的定义域 不能以为搞定了根号就没事了 因为根号里的 要大于等于 但是由于对数 它不能等于0 另外 底数也有特殊条件的 数学 7 另外 不是一元二次方程的求解问题 高中超越函数很常见 同样解决 画图 最多求导 看图像分析 第三章 导数 相当重要 一 基本知识 3 基本初等函数的导数公式 背熟啊 4 导数运算法则 背熟啊 00 1 limlim o o xx ooo f xxf xy yf xxx xx yf xxxfxy xx 导数表达式 称函数在处的瞬时变化率为函 数在处的导数 记作或 oooo ooo f xxf xyf xxf x yyfxxx 2 几何意义 函数在点 处的导数的几何意义是在曲线上点处 的切线的斜率相应地 切线方程为 数学 8 5 复合函数的导数 6 圆锥曲线的导数简便方法 见 特殊方法 章节 二 说明 导数是十分重要的部分 高考压轴题基本上都是函数 其中对导数的运用是十分精湛的 求 导的步骤有分 而求导也有技巧 如下 而另外 大题目中 导数使用较多 经常用来分析函数的单调 值域 最值等问题 推荐先 求导 再列表 画图 题目就好做了 例如 f x 求导有两个极值点 根据实际情况列表如 下 再画图 xux yf g xyf u ug xyyu yxyuux 复合函数的导数和函数的导数间的关系为 即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积 2 2 sin 23 sin23 f xxx f xyttxx 例如 求的导数 看做是与的复合函数 2 cos 22 2 1 cos 23 fxy ttxxxx 22 2112 0 212 212 212 0 1 01 nn f xxnxxx xxxnnf f xxxnxxxxn fxxnxxxxn xxnxxxxn fnn 已知函数 其中 是正整数 求 的值 很明显 求导是必然的 但是求导也是很痛苦的 所以 方法如下 数学 9 接着 最大值最小值什么的一清二楚 题目就好做了 一般 下面要具体问题具体分析 分析 不来 列个表画个图也有噶两分的 导数注意点 1 题目中提到极值点 大多数同学求导 使得导函数为 0 这样的方法是有危险的 因为导函数为 0 不一定是极值点 最简单的例子 f x x 3 这个函数在 x 0 的时候明显导 函数为 0 但是没有极值点 2 当某函数在一区域内单调递增的时候 不代表 f x 0 而是 f x 0 这个小小失误会 带来失分 惋惜 递减的同理 但是反过来 f x 0 表说什么增减啊 常数函数伤 不起啊 第四章 三角函数及解三角形 一 三角函数线 二 公式 1 两角和与差的正弦 余弦和正切 2 二倍角公式及半角公式 3 诱导公式 积变偶不变 符号看象限 sin sincoscossin sin sincoscossin cos coscossinsin cos coscossinsin tantantantan tan tan 1tantan1tantan 2222 2 sin22sincos cos2 cossin2cos112sin 2tan tan2 1tan 1 cos sin 22 1cos cos 22 1cos1cossin tan 21cossin1cos 数学 10 常见变形 三 解三角形 四 三角函数图象及性质 sin cos sin 22 kk xxk 为整数 cos sin cos 22 kk xxk 为整数 22 2222 4 sincossinsin cos sincos ba abab abab ab 联合 其中 此公式常用于计算形式的最值 ABCabc 5 正弦余弦定理 中 是三边 R是其外接圆半径 2 sinsinsin abc R ABC 222 2cosabcbcA sin 2 a A R 2sinaRA 222 cos 2 bca A bc 6 1111 sintan 22242 a abcRr abc SbcAahCrAB ACA R 面积公式大全 ABC中 是三边 是外接圆半径 是内切圆半径 C是周长 AsinabAab 另外 为锐角 的情况和A为钝角或直角 均无解 数学 11 四 常常用的方法 三角函数的题目中往往要计算和化简 在此介绍本人常用的方法 数学 12 第五章 向量和立体几何 一 运算法则 向量的运算具有几何意义 为三角形法则 或平行四边形法则 注 本册数学符号均用 mathtype 打的 不言啊 向量小字母应该要粗体 搞不来自己 就这样看看吧 二 向量关系及在立体几何中的运用 222 222 222222 22222 1 tan sincostan sincostan sincossincossincostantan1 sincossincostan abab cdcd ababab cdcdcd 的使用法 在分式及一般的三角形式中 我发现tan的利用价值很高 在能得知tan值的时候 可以如下操作 而如果其中有一次项或者零次项 22222 22222 222 22 222 sinsinsincos tan sincossincostan sincostan sincos sincostan1 ababa bb cdcdcd abab ab 特殊的 22 22 22 2 1 1cossin ab xy axby ab 另外 不等式中 常常有或者与三角公式相近的形式的条件 这种情况 下可以考虑三角代换 而圆锥曲线中 也可以用来表示 来表示 1122 ax ybx y 在平面直角坐标系中 2222 1122 1212 2222 1122 cos 0 axybxy x xy ya b ab xyxy 注意点 当向量的模为0的时候 向量为零向量 不能记作0而应为 1122 ax ybx y 以下均用到 数学 13 a b a b 线线角 异面直线 的求法 cos 1 2 n p n p np 二面角的求法 求两个平面的法向量 方法见上 二面角的平面角的余弦值cos OPOAOB 1PAB OPOAOB OC 1PABC 向量的常用技巧 类似于平面中的结论 如果 那么 三点共线 同样的 我们有 如果 则点 在面上 1221 1212 12 121 12 2 1212 1 0 20 1 a b babx yx y abex exy y ee aaee PSaee 向量平行 向量垂直 3 向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任 意向量 有且仅有一对实数 使得 当时 向量 共线 这个结论常常在向量的题目中用到 111222 12121 2 111 12 222 0 0 0 ax y zbxyz abx xy yz z xyz a bxx xyz 特殊的 我们在立体几何中也常用到向量 这种三维向量运算与二维相同 分子分母均不为 但假设当的时候 也必为0 111 222333444 111 ABx y z BCxyzmxy zxyz na b cnAB nBC axbyczo 在立体几何中用向量求距离及角度的方法 在oxyz坐标系中 已知面ABC 另在有不与面平行的直线MN 方向为 面外一点P 直线MN与面ABC线面角的求法 1 先求面的法向量 令法向量由得出 222 na b c axbyczo 于是得出 2 夹角 线面角 的正弦值 333 222222 333 cos axbyczn m xin n m abcxyz 555545454 545454 222 545454 1 2 PABC Q xy zPQxxyyzz n a xxb yyc zzPQ n d PQxxyyzz 点 到面距离的求法 先在面ABC中任意选取一点则 求面ABC法向量 同上 3 数学 14 三 空间几何体 面积 体积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 四 定理公理部分 1 平面的基本性质 公理一 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理二 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论一 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论二 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论三 经过两条平行直线 有且只有一个平面 公理三 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直 线点的公共直线 公理四 平行于同一直线的两条直线互相平行直线与平面平行的性质定理 一条直线与 一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与这条直线平行 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 2 2 22 Srh Srhr 侧 全 2 VShr h 2 Srl Srlr 侧 全 2 222 11 33 1 3 VShr h rlr 12 22 1212 Srr l Srr lrr 侧 全 1 3 VSSS Sh 下下上上 SCh 侧 VSh 1 2 SCh 侧 1 3 VSh 12 1 2 SCC h 侧 1 3 VSSS Sh 下下上上 2 4Sr 球面 3 4 3 Vr 数学 15 两个平面平行的性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交 则它们的交线平行 2 直线与平面平行的判定 直线与平面平行的平行定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此 平面平行 两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平 面平行 直线与平面平行的性质定理 垂直于同一直线的两个平面平行 3 两条直线垂直的判定 直线与平面平行的性质 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于这个平面 内的任意一条直线 直线与平面平行的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直 线与此平面垂直 两个平面平行的性质定理 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 则它也垂直于 另一个平面 平面于平面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直 4 两个平面垂直的判定 两个平面互相垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 平面平行的性质定理 一个平面垂直于两个平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 5 存在性和唯一性定理 过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个 与两异面直线都垂直相交的直线有且只有一条 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个 过平面外一条倾斜且与该平面垂直的平面有且只有一个 6 等角定理及推论 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 推论 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 则这两条直线所成的锐角 或直角 相等 数学 16 第六章 解析几何 注 关于切线方程的问题同一见后面的特殊方法章节 一 直线 1 方程 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 11 2121 yyxx yyxx 不含直线 x x1 x1 x2 和直线 y y1 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 参数式 为参数 直线过 a b 为倾角 注 对于直线的参数方程一定要注意 后面的是三角值 而不是一般的数值 在 IB 模块中 常常扣分的这点 例如 要求一直线与圆 椭圆更常见 的割线的长度 用参数方程联立后 会忽略三角值变为一般值对长度的影响 已知 2 2 求割线长度 解 设 为参数 带入上式 2 2 2 解得 t1 t2 于是 长度 如果设置中不是 和 这两个三角值 那你就倒霉了 2 关系 对于斜截式 k 两直线相交 两直线平行 两直线重合 两直线垂直 对于一般式 数学 17 两直线相交 两直线平行 两直线重合 两直线垂直 距离问题 两点间的距离 点到直线的距离 0 0 2 2 平行线间的距离 1 2 2 2 三角形重心坐标为 1 2 1 2 1 2 同理 在立体的坐标系中 两点间的距离 三角形重心坐标为 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 直线系的情况 有 过 l1 l2的交点的直线可以表示为 与直线 l1垂直的直线 与直线 l1平行的直线 二 圆 1 圆方程 名称 方程 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 a b 为圆心 r 为半径 圆的一般方程 x 2 y2 Dx Ey F 0 圆心 半径 2 2 圆的参数方程 为参数 2 点与圆 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点 M x 0 y0 点在圆上 x0 a 2 y 0 b 2 r2 点在圆外 x0 a 2 y 0 b 2 r2 点在圆内 x0 a 2 y 0 b 2 r2 3 直线与圆 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 直线 方法一 有 2 2 则 相离 方法二 联立上述两方程 可以消去 y 看 的值 相交 相切 相离 此法不是很推荐 存在特殊情况 如图自己一看就懂 不解释 数学 18 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 1 几何方法 运用弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的一半及半径构成直角三角形计算 2 代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB 2 1 k xA xB 22 1 4 ABAB kxxx x PS 圆的弦长 弦心距的计算用几何方法更快 4 圆与圆 a b a b 则有 C1C2 r1 r2 C1与 C2 相离 C1C2 r1 r2 C1与 C2 外切 r1 r2 C1C2 r1 r2 C1与 C2 相交 C1C2 r1 r2 r1 r2C1与 C2 内切 C1C2 r1 r2 C1与 C2 内含 圆系 已知 两圆交于 A B 两点 不相交的情况不要求 则过 AB 的圆为 已知点 则过两点的圆为 三 圆锥曲线 1 椭圆 标准 方程 图形 范围 a x a b y b b x b a y a 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 准线 对称性 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 数学 19 轴 长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距 F1F2 2c 离心率 通径 2 双曲线 标准 方程 图形 范围 顶点 顶点坐标 a a 顶点坐标 a a 渐近线 准线 对称性 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 离心率 焦距 F1F2 2c 实虚轴 线段 叫做双曲线的实轴 它的长 a 线段 叫做双曲线的虚轴 它的长 b a 叫做双曲线的实半轴长 b 叫做双曲线的虚半轴长 数学 20 通径 3 抛物线 标准方程 p 的几何意义 焦点 F 到准线 l 的距离 图形 对称轴 y 0 x 0 焦点 准线方程 范围 开口方向 向右 向上 焦半径 离心率 e 1 顶点 O 0 0 以上曲线均有两种方向 很 第七章 特殊 方法 基本上高中的数学用到的方法 通用版 是转化 数形结合是将数字与图形互相转化 建模是用模型把具体问题转化 你可以用复数解决代数问题 你也可以用三角函数解决几何 问题 各种转化 现在就介绍下高中本人常用的方法 官方的就略了 老师会讲的 下面 是非主流的 特殊方法的意义就在于 常规方法不能解或者很复杂 而它却能很快解决问题 PS 中间有些邪门歪道 不解释 引用邓小平的话 不管黑猫白猫 能抓老鼠就是好 猫 数学 21 1 几何体中偷梁换柱 例一 如图 在长方体 ABCD A B C D 中 AA AD 1 AB 2 E F G 是中点 求三棱锥 B EFG 的体积 原解比较麻烦 用到了图形切割 算了半天还不知道自己算得对不对 在这里介绍一种方法 将图形压缩成正方体 棱长都是 1 对比下两个图 体积比为 2 1 于是 我们可以先求出规 则的正三棱锥的体积 乘以 2 就是原三棱锥的体积 很好求 所以说 有一点 不规则图形 规则图形不 规则图形 这是一种很好用的方法 本人 屡试不爽 尤其是在圆锥曲线中 举个简单的例子 例二 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆 它的中心在原点 左焦点为 1 求该椭圆的标准方程 2 过原点 O 的直线交椭圆于点 B C 求 ABC 面积的最大值 2 原解 1 3D2 0A1 2 F O 且右顶点为 设点 的坐标是 2 2 1 4 x y 解 1 2 2 2222 2 22 2 1 4 2222 41414141 1 12 4 141 211 2 14 x y kk BC kkkk k k BCABCd kk k ABCAB d k ABC ABC BCxBC2ABCS1 BCxykx S 当直线垂直于 轴时因此的面积 当直线不垂直于 轴时 说该直线方程为代入 解得 则又点 到直线的距离 的面积 2 22 2 4414 1 4141 41 12 412 2 kkk kk k k k ABC ABC ABC S S S 于是 由 得 其中当时 等号成立 的最大值是 数学 22 两种方法 计算量不言而喻 本题只是一个比较简单的例子 在圆锥曲线中 能用此方法的 地方有很多 6 数形结合 这是比较官方的一种方法 一般的大家都看得出来 不过有些就不一定了 看到某些形式 要下意识的画个图像 题目就完了 其基本模型有 1 22 xayb 距离函数 2 ya xb 斜率函数 3 Ax By 截距函数 4 22 cos sin xy1 cos sin F 单位圆 上的点 5 22 aabb 余弦定理 6 axb cxd 双曲线 例三 要能联想 如果实数 x y 满足等式 22 410 xyx 那么 y x 的最大值为 三 1 2 B 3 3 C 3 2 D 3 初看此题 形式上是一道代数题 站在代数的角度看 令人茫然无措 对关系式 22 410 xyx 化为 很自然地与圆的方程联系起来 而 y x 恰为点 x y 与原点连 线的斜率 这便把问题与 形 结合起来 问题相当于如下的几何问题 动点 P x y 在 圆 C 上运动 求直线 OP 的斜率的最大值 观察图形易得 当 P 在第一象限 并且 OP 与圆 C 相切时 OP 的斜率最大 这时 22 3 tan3 2 3 PC PCOPPOC OP 即 OP 的斜率的最大值为3 例四 要能画图这个还是比较常见的 07 浙江 设 是二次函数 若的值域是 则 22 1 1 1 BC 2 2 xyA 另解 将图形做压缩变换 纵坐标不动 横坐标减半 这样原图形的面积就全部减半 得到接下来 有是定值 要求面积的最值 就简单了 122 S max2 222 Smax 2S max 2 1 1 2 xx xx xf xg xgf 0 数学 23 的值域是 A B C D 本题为复合函数 相当于中的的值 结合函数的图象 可以求得的值域 解 作出函数的图象如图所示 由图知 当时 函数的值域 为 而为复合函数 相当 于中的的值 所以的值域是 故选 B 答案 B 本题中的复合函数要转化为原函数和的信息 结合函数的图象更为直观地找到它 们之间的关系 而不必探究二次函数的解析式 显然 这种题型不是不变的 要灵活运用 数值变了 情境变了 不一定 是画个 30 的角 1 2 1 22 2 PCPAACPASS PACPACB xg 11 01 0 1 xg f x x xg f x 10 x f x 0 xgf xg f x x xg 01 f x xg xg 2 1 4 4 2 1 AD4 CD2 ABx ABBC 2 30 1 2 ABBC BH CH 2 13 ABBC 5 22 o yxx DAPBHAP ABBH CH 例五 要能构造 求的最小值 其中0 x 4 这是导数的题目 不过也可以构造出几何模型求解 如图 求的最小值 除了求导 我们可以这样做辅助线 做 则 由折线段长度垂线段长度 故最小值为 22 x例六 已知P是直线3x 4y 8 0上的动点 PA PB是 y 2x 2y 1 0的两条切线 A B是切点 C是圆心 求四边形PABC 面积的最小值 此题直接求解较难 如能联想点到直线的距离公式 数形结合 以形助数 则更简洁 1 0 1 x y 数学 24 二 其他方法 3 看到复数的题目 画图 单位复数什么的 说白了就是一个单位圆 在平面上很好解决 方法如下 两个复数相加减 就是物理里学的平行四边形法则 相乘除 就是长度先乘除 角度再加减 复数在平面上都表示为 cosx isinx 的形式 当然了 用的比较少 一般现在高考复数没难题 都是选择 填空的时候可能要考虑此几何 意义 4 排列组合的偷工减料 排列组合是很麻烦的东西 但是有时候 可以不用全部算 主要是在求概率问题的时候 概 率是分子除以分母 而这两样总有很多部分是相同的 所以求概率的时候不用求排列 只求 组合便能解决问题了 不相信你试试看 5 常用公式 圆锥曲线中 老师应该介绍过切线方程 三角公式 在高中老师教过几个常见的三角公式 但是你有没有想过下面的 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 1 sincos sin sin 2 1 cossin sin sin 2 1 coscos cos cos 2 1 sinsin cos cos 2 22 2 min 3 14 28 3 34 312 2 PABC S 要使面积最小 只PC需最小 即定点C到定直线上动点P距离最小即可 即点C 1 1 到直线3x 4y 8 0的距离 而d 22 2222 11 oo oo xx