新课标整体把握函数教学的认识与思考.pdf

书书书 檪檪檪檪 檪檪檪 檪檪檪檪 檪檪檪 殏 殏 殏 殏 聚 焦 新课程 新课标整体把握函数教学的认识与思考 山东省枣庄市第三中学 黄丽生 邮编 函数历来是中学生感到最难学的内容 以往 教材的呈现方式和课堂讲授方法 虽然能较好地 界定函数概念的内涵和外延 但由于函数概念本 身的抽象性 学生接受起来还是有较大的困难 若干研究和教学实践表明函数的学习困难甚至 伴随了许多中学生的整个数学学习过程 新课标 更多地强调在数学情境下 学生主动进行知识的 建构 而模块一正是函数学习的起始内容 究竟 如何整体把握这一模块的教学 如何突破 函数 概念 教学的难点 过去的 大纲 和现在的 标 准 相比 在 模块一 上究竟发生了哪些变化 为 什么要变化 笔者不揣冒昧提出一管之见 以期 抛砖引玉 标准 与 大纲 中函数内容及目标表述 比较分析 内容课程标准目标大纲目标 函 数 通过丰富实例 进一 步体会函数是描述变量之 间的依赖关系的重要数学 模型 在此基础上学习用 集合与对应的语言来刻画 函数 体会对应关系在刻 画函数概念中的作用 了解 构 成 函 数 的 要 素 会求一些简单函数的 定义域和值域 了解映射的概念 在实际情景中 会根 据不同的需要选 择 恰当 的方法 如图象法 列表 法 解析法 表示函数 通过具体实例 了解 简单的分段函数 并能简 单应用 通过已学过的函数特 别是二次函数 理解函数的 单调性 最大 最小 值及其 几何意义 结合具体的函 数 了解奇偶性的含义 学会 运 用 函 数 图 象 理解和研究函数的性质 了解映射的概念 在此 基 础上 加 深 对 函 数概念的理解 了解 函 数 的 单 调 性和奇偶性的概念 掌 握判 断 函数 的 单 调 性 和奇偶性的方法 并能 利用 函 数的 性 质 简 化 函数图象的绘制过程 了解 反 函 数 的 概 念及 互 为反 函 数 的 函 数图象间的关系 会求 简单函数的反函数 指 数 函 数 通过具体实例 如细 胞的分裂 考古中所用的 的衰减 药物在人体 内残留量的变化 了解 指 数 函 数 模 型 的 实 际 意义 理解 有 理 指 数 幂 的 含义 通过具体实例了解 实数指数幂的意义 掌握 幂的运算 理解 指 数 函 数 的 概 念和意义 能借助计算器 或计算机画出 具 体 指 数 函数的图象 探索并理解 指数函数的单 调 性 与 特 殊点 在解 决 简 单 实 际 问 题的过程中 体会指数函 数 是 一 类 重 要 的 函 数 模型 理解分数指数的 概念 掌握有理指数幂 的运算性质 掌握指数 函数 的 概 念 图 象 和 性质 对 数 函 数 理解对数的概念及 其运算性质 知道用换底 公式能将一般 对 数 转 化 为自然对数或常用对数 通过阅读材料 了解对数 的发现历史以 及 简 化 运 算的作用 通过具体实例 直观 了解对数函数 模 型 刻 画 的数量关系 初步理解对 数函数的概念 体会对数 函数是一类重 要 的 函 数 模型 能借 助 计 算 器 或 计 算机画出具体 对 数 函 数 的图象 探索并了解对数 函数的单调性与特殊点 知道 指 数 函 数 与对数函数 互为反函数 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 幂 函 数 通过实例 了解幂函 数的概念 结合函数的图 象 了 解 它 们 的 变 化 情况 无 年第 期 中学数学教学 函 数 与 方 程 结合二次函数的图 象 判断一元二次方程根 的存在性及根的个数 从 而了解函数的零 点 与方 程根的联系 根据 具 体 函 数 的 图 象 能够借助计算器用二 分法求相应方程 的 近似 解 了解这种方法是求方 程近似解的常用方法 无 函数 模型 及其 应用 利用计算工具 比较 指数函数 对数函数以及 幂函数增长差异 结合 实 例 体 会 直 线 上升 指数爆炸 对数增 长等不同函数类 型 的增 长的含义 收集 一 些 社 会 生 活 中普遍使用的函 数 模型 指数函数 对数函数 幂 函数 分段函数等 的实 例 了解函数模型的广泛 应用 能够运用函数的 性质 指数函数 对数 函数 的 性质 解 决 简 单 的实际问题 实习 作业 根据某个主题 收集 世纪前后发生的一些 对数学发展起重 要 作用 的历史事件和人物 开普 勒 伽 利 略 笛 卡 儿 牛 顿 莱布尼兹 欧拉等 的 有关资料或现实 生 活中 的函数实例 采取小组合 作的方式写一篇 有 关函 数概念的形成 发展或应 用的文章 在班级上进行 交流 实习作业以函数 应用为内容 培养学生 应用 函 数知 识 解 决 实 际问题的能力 数学课程内容的选择要在遵循 最需要 最 基础 可接受 的原则下为完成课程目标服务 世 纪之初的这次改革 标准 对比 大纲 内容变化 较大 模块一内容更加关注学生的接受能力 从表中可以看出 标准 中大部分内容把重 心进一步转移到学生的学习上 强调知识产生的 背景 提出 从实例出发 观察模型 结合图 象 等 对于函数概念的引入方法 大纲 要求在 了解映射概念的基础上加深对函数概念的理解 而 标准 则建议 通过具体实例 体会数集之间 一种特殊的对应关系 即函数 同时 进一步关 注学生的体验与感受 提出 经历 过程 感受 作用 其主旨在于使学习内容更容易被学生 理解 另外 标准 对模块一中部分内容的设置 也进行了调整 例如 削弱了对定义域 值域的过 于繁 难的 尤其是人为的过于技巧化的训练 目 的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和 实质 对反函数的概念和函数的奇 偶性有所削 弱 反函数的概念不求一般的处理 只要求知道 指数函数 与对数函数 互为反函数 将复合函数概念放到 导数及 其应用 的相关内容中 此外 对于对数函数内容 的要求也有所降低 如换底公式的要求 加强了函数模型背景和应用的要求 作为数学中最重要的概念之一 函数具有非 常广泛的应用性 因此 必须结合实际问题 使学 生感受再一次学习函数概念的必要性 以及函数 与实际生活的联系 从情感上激活学习的欲望 同时感受函数的广泛应用 另外 函数概念本身 是抽象的 但是对于抽象概念的理解固然离不开 典型而具体的案例作支撑 所以只有通过丰富的 实例引入相应的概念 结论 引导学生应用数学 知识去解决问题 并且尽可能让学生在经历探 索 解决问题的过程中去体会数学的应用价值 让学生认识到数学与我有关 与实际生活有关 产生 我要用数学 我能用数学 的积极情感 逐 步形成用数学的意识 并在运用中孕育创新意 识 才能真正使得学生认识函数这一数学概念的 数学本质 从而我们可知 标准 与 大纲 在应 用题的设置数量上差别之大的原因了 加强了与信息技术整合的要求 标准 在这一部分的有关内容中 明确指出 了要运用信息技术进行教学 首先是进行计算 例如体会指数函数增加的速度 需要用科学计算 器进行计算 这也是高中阶段第一次使用计算器 的章节 教师应该帮助学生学习使用函数型计算 器 其次 要能借助计算器或计算机画出具体函 数的图象 探索并理解函数的单调性与特殊点 会用计算器求相应方程的的近似解 用二分法 等 第三 用计算机技术展示各种函数的图象 加强几何直观 增加学生的学习兴趣 因为函数 中学数学教学 年第 期 这一内容是学习数形结合 几何直观等数学思想 方法的很好载体 函数的图象教学 应当放在重 要的位置 绘制函数的比较精确的图象和通过图 形解读数学信息 是一项基本的数学技能 指数函数与对数函数在处理上发生了 变化 突出指数函数与对数函数是现实世界中的 重要数学模型 强调它们的实际背景和应用价 值 例如 要求通过具体实例去了解指数函数模 型 对数函数模型的实际背景 通过收集现实生 活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实 例去了解他们的广泛应用 强调通过计算工具 比较指数函数 对数函数与幂函数增长的差异 以及作为不同的函数增长模型的应用 这一变化 同样是为了力求使数学学习不仅是对知识的学 习 理解和掌握 更要体现以知识为载体的育人 的价值 使学生更好地认识数学 认识数学的价 值 认识数学与现实生活 与其他学科的密切联 系 认识数学的应用价值 课程目标的新变化 模块一更加注重过程性目标 从表中可以看 出 对于函数概念的教学 更加强调过程性 体验 性目标是 标准 的突出特色之一 比如 对于 双 基 大纲 只是指明了基本知识和基本技能的 范畴 而 标准 中强调 理解基本的数学概念 数 学结论的本质 了解概念结论等产生的背景 应 用 体会其中的作用 通过不同形式的自主学习 探究活动 体验数学发现和创造的历程 其中的 理解 体会 体验 等动词都明确说明了这一点 进一步强调数学的人文价值 大纲 提出 培养学习数学的兴趣 实事求是的科学态度 勇 于探索的创新精神 欣赏数学的美学价值 标 准 中进一步阐述使学生 具有一定的数学视野 逐步认识数学的科学价值 应用价值和文化价 值 形成批判性的思维习惯 崇尚科学的理性精 神 体会数学的美学意义 进而树立辩证唯物主 义世界观和唯物主义世界观 把对数学的认识 延伸到科技 文化 哲学 美学和人类精神的领 域 以 帮 助 学 生 形 成 一 个 正 确 的 数 学 观 和 世 界观 教学思考 运用数学史加深对函数概念本质的 理解 上好函数概念课 首先应上好函数概念的起 始课 不妨让学生先学一点数学史 许多数学本 质 只有从历史的发展才能深刻体会 张奠宙 为此 标准 对函数概念的讲解规定是三课时 我们在这三课时之前再加上一节函数概念的起 始课 利用 普通高中课程标准实验教科书 数学 人教 版 第 页的 实习作业 对 函数 概念的起始课 进行创新教学设计 目的是为高 中生学习函数的 对应说 提供认知基础 这种设 计体现数学文化的特色 学生通过了解函数的发 展历史进一步感受数学的魅力 学生在自己动手 收集 整理资料信息的过程中 对函数的概念有 更深刻的理解 感受新的学习方式带给他们的学 习数学的乐趣 函数概念的形成 发展 就是人们对函数概 念 思想方法不断认识的过程 了解函数概念的 历史 可以使我们更深入全面地认识 理解函数 由此 教师在加强自身学习过程中 还要围绕教 学内容多学一点相关的数学史 了解相关数学知 识的发生 发展过程 了解相关数学知识的发现 过程 从源头上深化认识相关知识 激发探究兴 趣 这样 就能更有助于我们的教与学走向探究 因此 函数概念起始课的教学是非常有必要的 辩证地看待函数的 变量说 与 对应 说 做好初 高中知识的衔接 函数概念 初中阶段的函数思想 是用变量 之间的依存关系定义的 即函数的 变量说 然 而 到了高中 则从非常一般的集合之间的对应 出发 将函数看作数集之间的一种取唯一值的对 应 如果仅是如此这般的讲下来 贬低 变量说 拔高 对应说 就成了只是为 冰冷的美丽 唱赞 歌 那么火热的思考在哪里 实际上 变量说 是 函数思想的根本 张奠宙在 教育数学是具有教 育形态的数学 一文谈到 如果你问企业老总 您 每天走进办公室 看见函数吗 看见对应吗 回答 是多得很 函数的本质是研究变化 数学家和科 学工作者主要是从事物运动中把握变量之间的 年第 期 中学数学教学 依赖关系 工程师看函数 必然采用变量说 对应 说不便于对运动事物的考察 但是 对应说也有 其长处 比如 和 在定义域 上是否表示同一个函数 用对应说就容易看出 二者并无区别 于是 函数思想的建立 就必须两 种定义兼顾 在强调对应说的时候 倒过来也重 视变量说 为了让学生在经历函数概念的概括过程中 更好地体会其本质和思想方法 我们应遵循教材 编写意图 函数概念的引入 需要教师创设符合 学生实际的数学情境 从贴近学生实际出发 教 材中给出了三个具体的实例 供选择使用 三个 例子分别用解析法 列表法和图象法给出 意在 呼应下一节的三种表示法 教学中也可以结合所 教班级的实际再补充一些实例 如加油站给汽车 加油时油量与金额之间的关系等 因为学生初中 对函数已经有了初步的认识 进入高中后又学习 了集合的概念 函数的概念引入 可以从让学生 利用集合语言描述函数特征开始 可以设计如下 问题串 问题 在上面的例子中 是否确定了函数关 系 为什么 问题 在上面的例子中 涉及哪些集合 其 中的表格 表达式和图象的作用是什么 问题 如何用集合语言阐述几个实例共同 特点 你的结论是否正确地概括了例子的共同 特征 我们初中学习过的函数都有这 样 的 特 征吗 你现在的认识与初中函数概念是否有本 质上的差异 从 变量说 出发 引导学生用集合与对应的 语言分析他们的共同特征 再概括出 对应说 接着 在函数的表示 函数的性质等内容中 不断 强化对函数这一类特殊 对应关系 的认识 这样 既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系 的认识 又使学生在用集合与对应的语言刻画函 数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体 验 因此 恢复 火热的数学思考 决不能停留在 教材的形式化的表面处理上 关于抽象符号 的讲解 调查实验表明 学生对函数概念的理解 主 要难在对抽象函数符号 的理解 主要是符号太抽象了 尤其是对应 关系 到底是什么含义 突破的方法是 教师应 引导学生在进一步体会两个变量之间的依赖关 系的基础上 学习用集合与对应的语言来刻画单 值对应 领悟函数就是从一个数集到另一个数集 的单值对应 单值对应 是函数对应法则的根本 特征 箭头图 给出了 单值对应 从一个集合到 另一个集合的方向性 应突出 输入 与 输出 的 关系 当然 这种讲解应在学生认知基础上 充分 利用初中学过的函数和生活实例 通过师生共同 举例 分析 让学生领悟对应法则 的含义 这是 重中之重 为了认识抽象符号 应当特别注意采 用从具体到抽象 从特殊到一般的方法 以大量 的 形式多样的实际问题为依托 笔者讲到这里 时 时常将 比喻成原材料 将 看成是一个加工 厂 那么 当然就是原料 经过加工厂的加 工 得到的产物 至于分段函数 自然就是工厂里 有多个不同的车间 不同的原材料就进入不同的 车间加工而已 从而使抽象符号 具有坚实 的具体背景 使学生更好地体会它所包含的具体 信息 数集 中的数 在对应法则 的作用下对 应数集 中的一个数 另外 作为函数的表示 最 完整的是 又因为对应关系属于 核心地位 所以在不致混淆的时候 更可以简化 为 有时甚至简写为 从局部到整体 再到局部 整体把握函 数的性质 函数是高中的核心概念 而函数的单调性是 函数的第一个重要的性质 函数单调性也与不等 式 微积分等知识广泛联系 是一个知识的交汇 点 因此在进行这部分教学时 我们应该注意到 函数与后续知识的连续 对函数的单调性要有整 体的把握 使学生对函数单调性的掌握是循序渐 进 螺旋上升 而不是一步到位 在高中数学课程中 对于函数的单调性的研 中学数学教学 年第 期 究分为两个阶段 第一阶段 必修阶段 在单调性 入门课的教学中 应该把主要精力放在理解单调 性的概念及其在认识函数中的作用 关于函数的 单调性的概念 学生对定义中的 任意 的理解是 个难点 教学时要多给学生操作与思考的空间 因此 教学时 一般要经历三个过程 观察函 数的图象 对函数的单调性有直观的印象 经 历 图形语言 自然语言 符号语言 的过程 建立单调性的概念 证明一些简单函数的单 调性 目的是为了加深对单调性概念的认识 了 解单调性证明的基本步骤 第二阶段 导数及其 应用 这个阶段可以看作是单调性的再认识 导 数是描述变化率的概念 导数可以帮助我们对 函数的变化 有进一步了解 在这一部分内容 中 要求学生理解导数与单调性的联