山西财大统计学第3章数据分布特征.ppt

基础指标特征指标 总量指标相对数指标 平均指标 反映数据分布集中趋势的指标变异指标 反映数据分布离散程度的指标偏态和峰度系数 反映数据分布形状的指标 反映总体基本状况的指标 反映总体数据取值分布特征的指标 第三章数据分布特征的描述 流量指标 时期数指标 存量指标 时点数指标 总量指标 绝对数指标 一 总量指标 是反映社会经济现象的总规模或总水平的统计指标 第一节总量指标和相对指标 时期数是现象在一定时期内的总和 不同时期指标可累加 时期指标与时期长短有关 时期指标可连续计数 时点数是现象在某一瞬间时刻的总量 相邻时点数不能累加 时点指标随时刻的变化不确定 时点指标只能间断计数 下列指标是时期数还是时点数 企业固定资产价值 年新增人口数 森林覆盖面积 二 相对指标 是两个有联系的统计指标对比形成的比率 它反映社会经济现象各部分之间的依存关系 是两个绝对数的比值 反映事物的相对数量 1 结构相对指标 总体的部分总量与总体总量相互对比形成的相对数叫结构相对数 2 比例相对数 总体内某一部分数值与另一部分数值对比形成的相对数称为比例相对数 反映总体内各部分之间的比例关系 常用倍数或百分数表示 3 比较相对数不同总体的同一类型指标相互对比形成的相对数叫比较相对数 反映不同国家 不同地区 不同单位之间的差异程度 通常用倍数和百分数表示 4 动态相对指标不同时间上的同一指标相互对比形成的相对数叫动态相对指标 说明社会经济现象发展快慢的程度 报告期是指所要研究的时期 又叫计算期 基期是指用作比较的时期 5 计划完成程度相对指标计划完成程度相对指标是将现象在某一时期实际完成的数值与同时期的计划数值对比形成的相对数 一般用百分数表示 例 某产品计划成本下降5 实际下降了8 则计划完成程度为 计算结果表明超额完成计划3 16 需要注意的是 像成本这类逆指标 计划完成程度小于100 表明超额完成计划 而像产值这类正指标 计划完成程度大于100 表明超额完成计划 6 强度相对指标总体总量与另一有联系的总体单位数相互对比形成的相对数叫强度相对指标 反映现象的强度 密度和普遍程度 强度相对指标是唯一的有计量单位的相对指标 强度相对数的分子分母可以互换 在计算强度相对指标时 要保证相互对比的两个指标间具有可比性 即两个指标的时间规定应相同 如何描述数据的分布特征 集中趋势 向中心值靠拢的倾向离中趋势 远离其中心值的倾向分布形状 偏斜程度和扁平程度 第二节分布集中趋势的测度 平均指标反映同类现象的一般水平 是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值 也是对变量分布集中趋势的测定 数据集中区 变量x 1 简单算术平均数 Simplemean 一 算术平均数 Arithmeticmean 例 某商店前半年销售额分别为 327 368 428 402 398 423万元 则该商店的月平均销售额为 2 加权算术平均数 Weightedmean 为单项式分组值或组距式分组的组中值 加权算术平均数的大小受两个因素的影响 1 受各组变量值x大小的影响 2 受各组权数或权重大小的影响 是比重 称之为权重 例如 求下面50个人的班级中某门课程的平均成绩 说明算术平均数是一组数据的重心 数学性质 或 或 说明算术平均数是误差最小的一般水平的代表值 1 各变量值与其均值的离差之和等于零 2 各变量值与其均值的离差平方和最小 3 算术平均数易受极端数值的影响 或 变量倒数的算术平均数再取倒数 二 调和平均数Harmonicmean 调和平均数是算术平均数的变形 简单调和平均数 加权调和平均数 例 某公司三个企业本期利润计划及执行情况资料如表3 3 表3 4所示 试分别根据两个表所提供的不同资料计算利润平均计划完成程度 从平均利润计划完成程度的实际意义上看 计算公式应为 表3 3 表3 3所给数据 已知各企业的计划利润及计划完成程度 从而可求出实际利润XF 因此利润平均计划完成程度的计算采用算术平均数的形式 即 表3 4 表3 4所给数据 根据已知资料 即各企业利润计划完成程度 各企业实际利润可求出计划利润额 因而利润平均计划完成程度计算采用调和平均数的形式 即 三 几何平均数Geometricmean 用于计算比率 利率或速率的平均 N个变量值乘积的N次方根 简单几何平均数 加权几何平均数 取对数 几何平均数的对数等于变量对数的算术平均 和 解 由题中给出的数据可知 各年与前一年相比的比值 即发展速度 分别为109 116 120 设平均发展速度为 则它应该满足 例 某水泥生产企业1995年的水泥产量为100万吨 1996年与1995年相比增长率为9 1997年与1996年相比增长率为16 1998年与1997年相比增长率为20 求各年的年平均增长率 年平均增长率为114 91 100 14 91 于是 定义 一组数据按大小顺序排列后处于正中间位置上的变量值 四 中位数Median N为偶数时 N为奇数时 例 某单位11个工人日加工零件数按大小顺序排列为 11 15 18 20 25 27 32 35 38 41 46 试确定中位数 因为N为奇数 则中位数为 解 例 若12位工人的日加工零件数按大小顺序排列为13 16 18 24 25 29 31 35 39 40 43 45 试确定中位数 因为N为偶数 则中位数为 解 单项式数列中位数的确定 在累积次数分布表中找中位数的位置 N 1 2 对应的变量即是中位数 为中位数所在前一组的向上累积次数 为中位数所在后一组的向下累积次数 组距式数列中位数的确定 在向上 或向下 累积频数分布表中找中位数所在组 记其下限为L 上限为U 组距为d 理论假定 中位数所在组的数据分布是均匀的 特点 中位数是一个位置代表数 不受极端值的影响 某车间50名工人日加工零件数向上累积频数分布表 中位数的位置 中位数所在组120 125L 120 U 125 d 5 由公式计算得 五 众数Mode 定义 一组数据中出现次数最多或密度最大的变量值 根据数据分布特点的不同 众数可以不存在 可以有一个 也可以有多个 特点 众数是一个位置平均数不受极端值影响 不一定唯一 测度 单项式时直接根据次数分布列确定 组距式计算公式如下 分布曲线最高峰对应的变量值 某车间50名工人日加工零件频数分布表 众数所在组120 125L 120 U 125 d 5 由公式计算得 六 众数 中位数和均值的比较 众数 中位数和均值是集中趋势的三个主要测度值 适度偏斜时 均值到众数的距离大约是均值到中位数距离的3倍 即 第三节分布离散趋势的测度 测定数据离散程度的指标叫变异指标 常用的反映离散程度的变异指标主要有极差 异众比率 四分位差 平均差 方差和标准差以及测度相对离散程度的离散系数等 一 极差 Range 极差也叫全距 是一组数据的最大值与最小值之差 即 极差反映的是变量分布的变异范围或离散幅度 R 最高组上限 最低组下限 或 二 异众比率 Variationratio 又称离异比率或变差比 是指非众数组的频数占总频数的比率 计算公式为 异众比率的作用是衡量众数对一组数据的代表程度 为变量值的总频数 为异众比率 为众数组的频数 三 分位差 从变量数列中剔除一部分变量值之后重新计算的类似于极差的指标 四分位差反映了处于中间大约50 的数据的离散程度 其数值越小 中间数据越集中 它不受极端数值的影响 在一定程度上说明了中位数的代表程度 四分位差 Quartiledeviation 也称为内距 是上四分位数QU与下四分位数QL之差 若用H表示四分位差 则计算公式为 例 某公司下属九个企业的年销售利润按大小顺序排列为 60 73 89 103 127 146 163 178 184 试计算四分位差 四分位差 下四分位数 上四分位数 四 平均差 Meandeviation 各数据与其算术平均数离差的绝对值的算术平均数称为平均差 平均差是随机变量的各个取值到其算术平均数的平均距离 它以均值为中心 反映了所有数据与均值的平均离差程度 简单平均差 加权平均差 未分组资料 分组资料 五 方差 Variance 和标准差 Standarddeviation 或 随机变量 的方差定义为 标准差 方差的平方根 其量纲与变量值的计量单位相同 方差或标准差以分布的重心 均值为标准 综合了所有差异 较极差和分位差更能准确反映离散程度 是测度离散程度最主要的指标 例 计算该班级50个人的高等数学成绩的标准差 5565758595 组中值X 30254225562572259025 314850 3930 50 合计 6050338001125007225090250 1105201500850950 28201010 60以下60 7070 8080 9090 100 人数F 成绩 分 例 下面是420户居民月耗电量资料 试计算其标准差 例 两批轮胎按每只轮胎寿命 最大行驶里程 分组如下 试比较两批轮胎的质量 并说明哪一批的质量较稳定 五 离散系数 变异系数 Coefficientofvariation 例 A B两种商品在五家不同超市的售价 元 试比较其离散程度 极差系数 四分位差系数 平均差系数 标准差系数 离散系数是一组数据的绝对变异指标与其算术平均数的比率 离散系数的作用 消除了变量值绝对水平和计量单位不同对绝对离散指标的影响 离散系数越小 数据分散程度越小 平均数代表性越高离散系数越大 数据分散程度越大 平均数代表性越低 其中为组平均数 为总平均数 为各组权数 为组内方差 补充 方差加法定理 总方差 组间方差 组内平均方差 例 某企业有两个生产车间 甲车间20名工人 人均日加工产品78件 标准差为8件 乙车间30名工人 人均日加工零件72件 标准差为10件 计算两个车间日加工产品的平均值及标准差 方差 总平均数 件 件 第四节偏态与峰度的测定 数据分布特征 集中趋势 算术平均数 众数 中位数 分散程度 极差 分位差 标准差 离散系数 偏斜程度 偏态系数 扁平程度 峰度系数 一 偏度系数 Skewness 偏度系数是对分布偏斜方向和程度的测度 1 皮尔逊偏度系数 0 右偏分布 0 对称分布 越接近于3 变量偏斜程度越大越接近于0 变量越接近于对称分布 2 鲍莱 A L Bowley 偏度系数