数值分析上机实验报告六.doc

西安工程大学数值计算方法实验报告 、实验报告六题目： 方程求根摘要：数学、物理中的许多问题常常归结为求解函数方程，这里可以是代数多项式，也可以是超越函数。方程的解称为它的根，或称为的零点。然而非线性方程的解析解通常是很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验重点介绍几种常见的较为方便实用的求解方法。前言：（目的和意义）通过对二分法与Newton法、迭代法的学习，了解它们求方程的根的基本原理，并能使用。数学原理：Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列xk，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。迭代法通常也要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 进行计算，当，则以替换继续进行迭代；当时终止计算，取作为最终结果。二分法的数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在a,b上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在a,b内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)5e-6) ; c=(a+b)/2; if eval(fa)*eval(fc)0; a=c; else b=c; end R=b-a;k=k+1;endx=c由于该题要求在区间(0,1)精度达到，然而实际并不能达到因此此题无解。2. 应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并求的值。 导出求的迭代公式为： 源程序如下： Newton法f=input(请输入需要求解函数,s)df=diff(f);miu=2;x0=input(input initial value x0);k=0; max=100; R=eval(subs(f,x0,x) while (abs(R)1e-8) x1=x0-miu*eval(subs(f,x0,x)/eval(subs(df,x0,x); R=x1-x0; x0=x1; k=k+1;if (eval(subs(f,x0,x)max; ss=input(maybe result is error,choose a new x0,y/n?,s); if strcmp(ss,y) x0=input(input initial value x0); k=0; else break end endendkx=x0对于,取,迭代计算,得计算后的结果为： 故.3. 比较一下两种求的根到三位小数所需的计算量：a) 在区间(0,1)内的二分法；b) 用迭代法，取初值。将1题中的二分法源程序稍加改动既为本题二分法源程序，计算后的结果为：用二分法要计算14次结果为0.0905456，本题迭代法源程序如下：迭代法：f=input(请输入需要求解函数,s)x=input(请输入初值,x)x1=0;k=0;while r5e-3 x1=eval(x); r=x1-x; if r0 r=-r; end x=x1; k=k+1;endkx 计算后的结果为：用迭代法要计算5次结果为0.0905264.结论： Newton法是一种行之有效的迭代法，在单根附近具有较高的收敛速度，应用Newton法的关键在于选取合适的初值，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。二分法，只要能够保证在给定的区