随机向量的函数及其应用 赵树杰 20120919.ppt

随机向量的函数及其应用赵树杰2012 09 19 引言序序随机信号通过系统或经过处理后 输出的随机信号与输入的随机信号之间就形成函数或变换关系 我们需要研究由已知的输入随机信号的统计特性得到输出随机信号的统计特性 这个问题的数学基础就是随机变量 随机向量的函数问题 引言讨论三个问题 我们知道 随机信号统计特性的完整数学描述可以是它的概率密度函数 PDF 所以下面主要讨论随机变量函数 随机向量函数的概率密度函数关系 讨论三个问题1 随机变量的函数 2 随机向量的函数 3 正态随机向量的特性与变换 引言说明附 说明1 限于讨论实的 连续的随机变量 随机向量 2 证明 推演简略或略 3 概率密度函数若省略随机变量 随机向量的取值区间 默认为取值区间为到 4 所用符号可能与教材不一致 附请教几个问题 一随机变量的函数1 函数2 雅可比变换 1 随机变量的函数设是一个随机变量 RV 则就是随机变量的函数 也是一个随机变量 2 一维雅可比变换若已知随机变量的概率密度函数 则随机变量的概率密度函数 可由一维雅可比变换得到 函数 如果反函数存在 且对连续可导 则有 一随机变量的函数2 雅可比变换 称为一维雅可比变换 式中是雅可比 表示取绝对值 一随机变量的函数3 举例 3 举例例1 1设随机变量 函数 线性函数 求随机变量的PDF 解 由函数 则反函数 雅可比 于是得即 通常称为归一化处理 一随机变量的函数3 举例 例1 2设随机变量的PDF为是均值 方差 对称于均值的三角分布 函数 线性函数 其中是常数 求随机变量的PDF 解 由函数 则反函数 雅可比 一随机变量的函数3 举例 于是得随机变量的PDF为是均值 方差 对称于均值的三角分布 注意随机变量的取值区间 和的图形如图1 1所示 一随机变量的函数3 举例 图1 1和的图形如果再令函数则随机变量是均值 方差的 对称于均值的三角分布 一随机变量的函数3 举例 例1 3设随机变量 函数 非线性函数 求随机变量的PDF 解 函数 反函数 雅可比的绝对值 于是 一随机变量的函数3 举例 由表达式 最终得随机变量是服从自由度为的分布 如图1 2所示 图1 2分布曲线 一随机变量的函数4 两个结论 1 若函数是线性函数 变换 则随机变量所属的分布同随机变量所属的分布 但随机变量分布的参数将变化 见例1 1 例1 2 特别是 是任意常数 这种最简单的线性函数 变换 时 的分布参数仅均值 其他分布参数同的分布参数 见例1 2 所以 的图形是的图形沿横坐标平移 2 若函数是非线性函数 变换 则随机变量所属的分布将不同于随机变量所属的分布 见例1 3 4 两个结论 一随机变量的函数5 函数的均值和方差 5 随机变量函数的均值和方差若函数 则随机变量的均值和方差可由如下方法求得 1 方法 由一维雅可比变换求出 则 2 方法 将和 一随机变量的函数5 函数的均值和方差 代入式则得代入式则得结果说明 要求随机变量的函数的均值和方差 并不一定要求出的 而只需知道随机变量的就够了 类似地 任意阶矩为 一随机变量的函数5 函数的均值和方差举例 例1 4若随机变量 求随机变量 非线性函数 的均值和方差 解 由题及例1 3知 一随机变量的函数5 函数的均值和方差举例 1 按定义求随机变量的均值和方差 一随机变量的函数5 函数的均值和方差举例 2 按函数求随机变量的均值和方差 结果相同 一随机变量的函数6 应用概述 6 应用概述建立信号模型 研究信号的统计特性 决定信号处理的系统和方式 线性检波器 平方律检波器 线性放大器 对数放大器 常规滤波 自适应滤波 具体 杂波抑制时 瑞利杂波 对数 正态杂波 韦布尔杂波等 统计特性不一样 处理方式与系统也不一样 信号处理系统硬软件设计 需要统计特性 信号处理系统性能研究 也需信号的统计特性 二随机向量的函数1 函数2 维雅可比变换 1 随机向量的函数设是维随机向量 则就是随机向量的函数 也是维随机向量 2 维雅可比变换若已知随机向量的维联合概率密度函数 则随机向量的维联合概率密度函数 可由维雅可比变换得到 二随机向量的函数2 维雅可比变换 随机向量的函数如果反函数存在 且对连续可导 简记 则有称为维雅可比变换 式中为雅可比行列式 且为 二随机向量的函数2 维雅可比变换 二随机向量的函数3 应用概述 3 应用概述 例子 若接收信号为其中 信号是随机振幅与随机相位信号 和已知 且相互统计独立 噪声是零均值 功率谱密度为的加性高斯白噪声 信号处理后 会得到复信号 二随机向量的函数3 应用概述 为进一步处理 状态判决 特征提取 和差归一化 性能分析等 需求出包络和相位及其统计特性 怎么求统计特性 利用正态随机变量的特性和二维雅可比变换来求得 二随机向量的函数3 应用概述 由前面的式和式 得则条件正态互不相关二维雅可比变换边缘分布统计平均 三正态随机向量的特性与变换1 定义 1 正态随机向量的定义设维任意非零常值向量 若维随机向量满足是正态随机变量 则称为维正态随机向量 三正态随机向量的特性与变换2 概率密度函数 2 维联合概率密度函数若维正态随机向量的均值向量为协方差矩阵为则其维联合概率密度函数为 三正态随机向量的特性与变换3 的均值和方差 3 各分量线性组合所得的均值和方差维正态随机向量各分量的线性组合是正态随机变量 若 则 1 的均值 三正态随机向量的特性与变换3 的均值和方差 2 的方差定义 分量与之间的相关系数则的方差当分量与之间互不相关时 则 三正态随机向量的特性与变换4 边缘分布的正态性 4 正态随机向量的每个分量都是正态随机变量证明 设维任意非零常值向量的第个分量 其余分量 则根据正态随机向量的定义 是正态随机变量 实际上 维正态随机向量的任意个分量的线性组合也是正态随机变量 三正态随机向量的特性与变换5 等价性 5 正态随机向量各分量之间的互不相关性与统计独立性具有等价性设是维随机向量 1 若各分量之间是相互统计独立的 则各分量之间是互不相关的 证明 利用各分量之间相互统计独立时 维联合概率密度函数等于各自一维概率密度函数之积 可得各分量两两之间的协方差等于零 结论得证 三正态随机向量的特性与变换5 等价性 2 若各分量之间是互不相关的 则不一定是相互统计独立的 但对正态随机向量 各分量之间的互不相关性与相互统计独立性是等价的 证明 正态随机向量时 若各分量之间是互不相关的 则协方差矩阵是对角阵 求出和代入正态随机向量的概率密度函数表达式 得式中 是正态随机变量的PDF 结论得证 三正态随机向量的特性与变换5 等价性 3 若维正态随机向量各分量之间是互不相关的 也是相互统计独立的 当各分量的均值 方差时 是独立同分布情况 此时 正态随机向量的维联合概率密度函数为 三正态随机向量的特性与变换6 线性变换不变性 6 正态随机向量线性变换的不变性 1 设是维正态随机向量 若是非零常值矩阵 则是维正态随机向量 证明 向量是维随机向量 其每个分量是正态随机向量各分量的线性组合 所以是正态随机变量 三正态随机向量的特性与变换6 线性变换不变性 设维任意非零常值向量 则式中 随机变量是随机向量各分量的线性组合 也是正态随机向量各分量的线性组合 所以是正态随机变量 于是 根据正态随机向量的定义 维随机向量是正态随机向量 2 正态随机向量的均值向量和协方差矩阵分别为 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 7 正态随机向量各分量独立时平方和的分布 1 随机变量的特征函数设随机变量的概率密度函数为 则复值随机变量的均值 定义为的特征函数 记为 即随机变量的概率密度函数与它的特征函数构成傅里叶变换对 即有 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 2 维正态随机向量各分量之间互不相关 也统计独立 时 各分量平方和的分布分量的均值为方差为时 则分量的特征函数为 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 利用相互统计独立的个随机变量之和的特征函数等于各随机变量的特征函数之积的性质 得 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 由傅里叶逆变换公式式中 是第一类阶修正贝塞尔函数 得 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 随机变量是服从具有个自由度的非中心分布 非中心参数为 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 退化情况 当各分量的均值 方差时 则随机变量是服从具有个自由度的非中心分布 非中心参数为 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 退化情况 当各分量的均值 方差时 则随机变量是服从具有个自由度的分布 三正态随机向量的特性与变换7 平方和的分布 退化情况 当各分量的均值 方差时 则随机变量是服从具有个自由度的分布 三正态随机向量的特性与变换8 说明 8 说明为什么对正态随机变量 正态随机向量特别感性趣 各种干扰信号统计特性 信号的特性 功率谱 正态特性系统的频率响应特性 四几个问题1 一维雅可比变换 1 一维雅可比变换函数 反函数 问题 的两种求法结果一样吗 四几个问题2 随机变量函数的均值和方差 2 随机变量函数的均值和方差的计算条件函数 反函数 均值 方差 问题 这样的计算方法是否需要单值变换的约束条件 吴祈耀等 统计无线电技术 四几个问题3 正态随机变量与正态随机向量的关系 3 个正态随机变量与维正态随机向量的关系维正态随机向量的每个分量都是正态随机变量 但个正态随机变量构成的维随机向量不一定是正态随机向量 当正态随机变量之间是相互统计独立时 构成的是正态随机向量 当正