273 参数方程.doc

27.3 参数方程【知识网络】1. 参数方程的概念.2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.3. 利用曲线的参数方程解决有关问题.【典型例题】例1.（1）3将参数方程为参数化为普通方程为 （C）A B C D 提示：将代入即可，但是. （2）参数方程为为参数表示的曲线是 （D）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线提示：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线（3）直线为参数和圆交于两点，则的中点坐标为 （D）A B C D 提示：，得， 中点为（4）直线为参数的斜率为_. 提示：（5）抛物线（为参数）在轴上截得的弦长为 . 提示：令，得.当时，；当时，抛物线与轴交于点.例2.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；解：（1）当时，即； 当时， 而，即（2）当时，即；当时，即；当时，得，即得即。例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程.解：设点为直线上的任意一点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向.当与同方向或重合时,因,由三角函数定义,有;当与反方向时, 同时改变符号,上式依然成立.设,取为参数, , 即,直线的参数方程为.例4.已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。解：（1）设圆的参数方程为，,即的取值范围为.（2） , 实数的取值范围为.【课内练习】1.与参数方程为为参数等价的普通方程为 （D）A B C D提示：而得2.若曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点的轨迹是 （D）A直线 B以为端点的射线 C圆 D以和为端点的线段提示：将曲线的参数方程化为普通方程得3.曲线为参数与坐标轴的交点是 （B）A BC D提示：令，得，此时， 曲线与轴的交点为； 令，得，此时， 曲线与轴的交点为.4.直线为参数被圆所截得的弦长为 （C）A B C D提示：，把直线代入得，弦长为5.直线为参数恒过定点_. 提示：将参数方程化为乭方程得，当且时，此方程对于任何都成立，所以直线恒过定点.6. 直线为参数被圆截得的弦长为_. 提示：直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为.7. 已知曲线为参数，为正常数上的两点对应的参数分别为和，且，那么=_. 提示：参数方程表示的曲线为抛物线，线段垂直于抛物线的对称轴， 8. 选取适当参数，把直线方程化为参数方程.解：选，则， 由此得直线的参数方程为.也可选，则， 由此得直线的参数方程为.可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.9.已知弹道曲线的参数方程为.（1）求发射角时，弹道曲线的普通方程和射程；（2）设是定值，可以变动，求证：当时射程最大.解：（1）发射角时，弹道曲线的参数方程为，由，得， 代入并化简，得.令，得或，可知射程为.弹道曲线的普通方程为，射程为.（2）证明：由弹道曲线的参数方程消去，得到它的普通方程为，由（1）知，射程为， ， ，当时射程最大，为.10.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，此时所求点为.作业本1.把方程化为以参数的参数方程是 （D）A B C D 提示：，可取一切非零实数，而A，B，C中的都取不到一切非零实数.2. 直线：与圆：（其中为参数）的位置关系是 （D）A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但直线不过圆心提示：圆的普通方程为，圆心到直线的距离为.3.椭圆（为参数）的焦距为 （B）A B2 C D2提示：椭圆的普通方程为，椭圆可通过平移将其方程化为，.4.直线的参数方程为为参数，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是 . 提示：距离为.5.直线与圆相切，则_. ，或提示：直线为，圆为，圆心为，由， 或，或.6. 动点作等速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，运动开始时，点位于，求点的轨迹的参数方程.解：设动点运动的时间为，点的坐标为，由题设知，点的轨迹的参数方程为（）.7.设直线的参数方程为，求直线被圆截得的弦长.解：把直线的参数方程代入圆的方程，得，得， 或，分别代入直线方程，得， 直线与圆的交点为和，即直线被圆所截得的弦长为.