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PID控制系统的分析与仿真 学生 徐子哲 一个简单PID控制的实例 冲热水淋浴 假定冷水龙头开度保持不变 只调节热水比例关系根据具体的龙头和水压 温度高一度 热水需要关小一定的量 比如说 关小一格 换句话说 控制量和控制偏差成比例关系 偏差越大 控制量越大控制偏差就是实际测量值和设定值或目标值之差 在比例控制规律下 偏差反向 控制量也反向 也就是说 如果淋浴水温要求为四十度 实际水温高于四十度时 热水龙头向关闭的方向变化 实际水温低于四十度时 热水龙头向开启的方向变化 控制量 比例控制增益 控制偏差 一个简单PID控制的实例 积分关系但是比例控制规律并不能保证水温能够精确达所需控制的温度 人们这时对热水龙头作微调 只要水温还不合适 就一点一点地调节 直到水温合适为止 这种只要控制偏差不消失就渐进微调的控制规律 在控制里叫积分控制规律 因为控制量和控制偏差在时间上的累积成正比 其比例因子就称为积分控制增益 工业上常用积分控制增益的倒数 称其为积分时间常数 其物理意义是偏差恒定时 控制量加倍所需的时间 控制偏差有正有负 全看实际测量值是大于还是小于设定值 所以只要控制系统是稳定的 也就是实际测量值最终会稳定在设定值上 控制偏差的累积不会是无穷大的 积分控制的基本作用是消除控制偏差的余差 也叫残差 一个简单PID控制的实例 微分关系如果水管水温快速变化 人们会根据水温的变化调节热水龙头 水温升高 热水龙头向关闭方向变化 关闭越多 降温越快 水温降低 热水龙头向开启方向变化 开启越多 升温越快 这就是所谓的微分控制规律因为控制量和实际测量值的变化率成正比 其比例因子就称为微分控制增益 工业上也称微分时间常数 微分时间常数没有太特定的物理意义 只是类似积分时间常数的名称微分控制的重点不在实际测量值的具体数值 而在其变化方向和变化速度微分控制在理论上和实用中有很多优越性 但局限也是明显的 如果测量信号存在扰动 微分控制就会产生很多不必要甚至错误的控制信号 所以工业上对微分控制的使用是很谨慎的 PID控制器简介 PID控制器 比例 积分 微分控制器 由比例单元P 积分单元I和微分单元D组成 通过Kp Ki和Kd三个参数的设定完成控制律的设计 PID控制器主要适用于基本线性和动态特性不随时间变化的系统PID控制器的输入一般是系统输出与一个参考值的差值即控制偏差 然后把这个差别用于计算新的控制量 目的是可以让系统的输出达到或者保持在参考值 PID控制器的表达式 PID控制器的时域表达式如图所示 连续PID控制器的一般表达式为式中 Kp为比例控制增益 Ki为积分控制增益 Kd为微分控制增益 Ti为积分时间常数 Td为微分时间常数 单位负反馈控制系统示意图 PID控制器的表达式 PID控制器的时域表达式PID控制器通过对误差信号e t 的加权计算 得到控制信号u t 驱动受控对象 使得误差e t 按减少的方向变化 从而达到控制要求当Ti Td 0时 称为比例 P 控制器 当Td 0时 称为比例积分 PI 控制器 当Ti 时 称为比例微分 PD 控制器 当Ti Td 0时 称为比例积分微分 PID 控制器Kp Ti Td三个参数一旦确定 PID控制器的性能也随之确定 PID控制器的表达式 PID控制器的传递函数对PID的时域表达式进行拉普拉斯变换 可得于是可得几种控制方案的控制器传递函数分别为比例 P 控制器比例积分 PI 控制器比例微分 PD 控制比例积分微分 PID 控制器为避免纯微分运算 常常用一阶超前环节去近似纯微分环节式中 N 时 则为纯微分运算 实际中 N不必过大 一般N 10 就可以逼近实际的微分效果 PID参数对控制性能的影响 PID参数对控制性能的影响PID控制器的Kp Ti Td三个参数的大小决定了PID控制器的比例 积分 微分控制作用的强弱下面举例分别分析Kp Ti Td三个参数中一个参数发生变化而另两个参数保持不变时 对系统控制性能的影响 PID参数对控制性能的影响 例1以电机转速控制系统为例 分析PID参数对控制性能的影响某电机转速控制系统如图2所示 采用PID控制器 试绘制系统单位阶跃响应曲线 分析Kp Ti Td三个参数对控制性能的影响 电机转速控制系统示意图 PID参数对控制性能的影响 比例系数Kp对控制性能的影响采用比例控制 令Kp分别取1 2 3 4 5 且Ti Td 0时 绘制系统的阶跃响应曲线s tf s G1 59 s 59 G2 13 33 s G12 feedback G1 G2 1 内环传递函数G3 26347 s 599 G4 5 2 G G12 G3 G4 forKp 1 5Gc feedback Kp G 0 0118 比例控制的传递函数为常数Kpstep Gc holdon endlegend Kp 1 Kp 2 Kp 3 Kp 4 Kp 5 holdoff PID参数对控制性能的影响 比例系数Kp对控制性能的影响 PID参数对控制性能的影响 比例系数Kp对控制性能的影响随着比例系数Kp的增加 超调量增大 系统响应速度加快 同时会稳态误差减小 但不能消除稳态误差 经仿真调试 若Kp 19时 系统的阶跃响应曲线变为发散型 闭环系统不稳定 也就是 比例系数Kp的无限增加 会使系统不稳定 Kp 19时 P控制下控制系统的阶跃响应曲线 PID参数对控制性能的影响 积分时间常数Ti对控制性能的影响采用PI控制 固定比例系数Kp 1 令Ti取0 03 0 05 0 07时 绘制该系统的阶跃响应曲线s tf s G1 59 s 59 G2 13 33 s G12 feedback G1 G2 1 G3 26347 s 599 G4 5 2 G G12 G3 G4 Kp 1 forTi 0 03 0 02 0 07PIGc tf Kp Ti1 Ti0 PI控制器传递函数Gc feedback PIGc G 0 0118 step Gc holdon endlegend Ti 0 03 Ti 0 05 Ti 0 07 holdoff PID参数对控制性能的影响 积分时间常数Ti对控制性能的影响 PID参数对控制性能的影响 积分时间常数Ti对控制性能的影响积分作用的强弱取决于积分常数Ti Ti越小 积分作用就越强 反之Ti大则积分作用弱 积分控制的主要作用是改善系统的稳态性能 消除系统的稳态误差 当系统存在控制误差时 积分控制就进行 直至无差 积分调节停止 积分控制输出一常值加入积分控制可使得系统的相对稳定性变差Ti值的减小可能导致系统的超调量增大 Ti值的增大可能使得系统响应趋于稳态值的速度减慢 PID参数对控制性能的影响 微分时间常数Td对控制性能的影响采用PID控制 固定比例系数Kp 1 Ti 0 07 令Td分别取0 005 0 01 0 015时 绘制该系统的阶跃响应曲线s tf s G1 59 s 59 G2 13 33 s G12 feedback G1 G2 1 G3 26347 s 599 G4 5 2 G G12 G3 G4 Kp 1 Ti 0 07 forTd 0 0050 010 015 PIDGc tf Kp Ti TdTi1 Ti0 PID控制器传递函数Gc feedback PIDGc G 0 0118 step Gc holdonendlegend Td 0 005 Td 0 01 Td 0 015 holdoff PID参数对控制性能的影响 微分时间常数Td对控制性能的影响 PID参数对控制性能的影响 微分时间常数Td对控制性能的影响随着微分时间常数Td的增加 闭环系统响应的响应速度加快 调节时间减小微分环节的主要作用是提高系统的响应速度由于该环节对误差的导数 即误差变化率发生作用 它能在误差较大的变化趋势时施加合适的控制 但是过大的Kd值会因为系统造成或者受控对象的大时间延迟而出现问题微分环节对于信号无变化或变化缓慢的系统不起作用 PID控制器的设计 Ziegler Nichols经验整定公式Ziegler 齐格勒 和Nichols 尼柯尔斯 在1942年提出了PID参数的经验整定公式 这个公式是针对受控对象模型为带延迟的一阶惯性传递函数提出的 即式中 K为比例系数 T为惯性时间常数 为纯延迟时间常数 在实际过程控制系统中 大多数受控对象模型可以近似转换成这样的带延迟的一阶惯性传递函数 其近似转换方法有多种 其中比较好的方法就是 在获取受控对象阶跃响应数据后 用最小二乘拟合方法拟合出系统的模型参数K T PID控制器的设计 Ziegler Nichols整定方法由Ziegler Nichols经验整定设计PID控制器的方法有两种 已知由阶跃响应整定的参数 包括比例系数K 惯性时间常数T 纯延迟时间 通过查表 可计算出PID控制器的三个参数Kp Ti Td 这里经验整定公式适合于0 1 T 1 如果比值 T过大 则表明系统的时间延迟很大 对这样的系统可适当予以补偿 Smith补偿器就是一种比较有效的方法如果已知受控对象频域响应参数 增益裕量Kc 剪切频率 c Tc 2 即可查表计算PID控制器的三个参数Kp Ti Td 如果提供了受控对象的传递函数G 就可用MATLAB提供的函数 Gm Pm Wc margin G 直接求出增益裕量Kc和剪切频率 c 再根据经验整定参数Kp Ti Td 表1Ziegler Nichols经验整定公式 PID控制器的阶跃响应整定法 例2带延迟的惯性环节的PID控制方案设计受控对象为带延迟的惯性环节 试用Ziegler Nichols经验整定公式 分别设计P PI PID控制器 并进行阶跃响应仿真分析 由该系统传递函数可知受控对象的传递函数的参数为K 2 T 30 10 于是该例中的参数满足 T 1 3 适合采用Ziegler Nichols经验整定公式中阶跃响应整定法 故我们可以通过查表计算P PI PID控制器参数 然后绘制阶跃响应曲线 PID控制器的阶跃响应整定法 K 2 T 30 tau 10 s tf s Gz K T s 1 np dp pade tau 2 将延迟环节近似为二阶传递函数 分子分母分别为np dpGy tf np dp 延迟环节的传递函数G Gz Gy 对象的开环传递函数PKp T K tau P控制器step feedback PKp G 1 holdon 绘制P控制下的阶跃函数曲线PIKp 0 9 T K tau PI控制的KpPITi 3 tau PI控制的KiPIGc PIKp 1 1 PITi s PI控制器step feedback PIGc G 1 holdon 绘制PI控制下的的阶跃函数曲线PIDKp 1 2 T K tau PID控制的KpPIDTi 2 tau PID控制的TiPIDTd 0 5 tau PID控制的TdPIDGc PIDKp 1 1 PIDTi s PIDTd s PIDTd 10 s 1 PID控制器step feedback PIDGc G 1 holdon 绘制PID控制下的阶跃函数曲线legend P PI PID PID控制器的阶跃响应整定法 在P PI PID控制器作用下 分别对应的阶跃响应曲线如图5所示 由图5可知 用Ziegler Nichols整定公式设计的P PI PID控制器 在它们的阶跃响应曲线中 P和PI两者的响应速度基本相同 因为两种控制器求出的Kp不同 两种控制的终值不同 PI比P的调节时间短一些 PID控制器的调节时间最短 但超调量最大 PID控制器的频率响应整定法 例3四阶传递函数的PID控制方案设计已知受控对象一个四阶传递函数 试用Ziegler Nichols经验整定公式 分别设计P PI PID控制器 并进行阶跃响应仿真分析 该受控对象传递函数不是带延迟的一阶惯性环节 考虑采用频域响应来整定P PI PID控制器的参数 首先利用MATLAB提供的margin 函数计算受控对象的频域响应参数 增益裕量Kc 剪切频率 c 然后可以计算出Tc 2 然后由表1计算P PI PID控制器的相应参数 并分别绘制受控对象串联P PI PID控制器后的阶跃响应曲线 PID控制器的频率响应整定法 s tf s G 1 0 1 s 1 4 Kc Pm Wc margin G 计算频域响应参数 增益裕量Kc和剪频率WcTc 2 pi Wc PKp 0 5 Kc P控制器的参数Kpstep feedback PKp G 1 holdon P控制下的阶跃响应曲线PIKp 0 4 Kc PI控制器的参数KpPITi 0 8 Tc PI控制器的参数TiPIGc PIKp 1 1 PITi s PI控制下的闭环传递函数step feedback PIGc G 1 holdon PI控制下的阶跃响应曲线PIDKp 0 6 Kc PID控制器的参数KpPIDTi 0