[医学]05-概率分布-正态分布.ppt

第五讲概率分布 正态分布 1 1正态分布的概念和函数1 2正态分布曲线的特征1 3正态曲线的标化1 4曲线下面积的分布规律1 5正态分布在医学中的应用 典型案例分析 举例 随机调查某医院1402例待分娩孕妇 测得她们的体重 试述其体重频数分布的特征 引子 表5 1某医院1402例分娩孕妇体重频数分布 作图 以体重测量值为横轴 以频率与组距的比值为纵轴作出直方图 1 由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长度所占有的频率 相当于频率密度 因此将此图称为频率密度图 图5 1体重频率密度图 2 面积 频率由于频率的总和为1 所以该曲线下横轴上的面积为1 若将各直条顶端的中点顺次连接起来 得一条折线 当样本量n越来越大时 折线就越来越接近一条光滑的曲线 图5 1体重频率密度图 图5 2概率密度曲线示意图 推断 测得一个孕妇体重在54 68kg的概率有多大 孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢 故对连续性随机变量而言 变量某区间取值的概率 正态曲线该变量区间的面积 一 正态分布的概念和密度函数 正态分布 normaldistribution 是描述连续型随机变量最重要的分布 其分布曲线叫正态分布曲线 呈中间高 两边低 左右基本对称的 钟型 曲线 近似于数学上的正态分布 又称高斯分布 Gaussdistribution 正态分布 normaldistribution 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广 所以通常称为高斯分布 Gaussdistribution 德莫佛 高斯 10马克的钱币 医学研究中许多正常人的生理 生化指标 测量误差等多呈正态分布或近似正态分布 许多非正态分布资料 当样本含量足够大时 也可以用正态分布作为它的极限分布形式 有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理 正态分布在医学研究中的重要作用 医学研究中 正态分布的密度函数 即正态曲线的函数表达式 式中 为总体均数 为总体标准差 为圆周率 e为自然对数的底 仅x为变量 当x确定后 f x 为X相应的纵坐标高度 则X服从参数为 和 2的正态分布 normaldistribution 记作X N 2 二 正态分布曲线的特征 一 正态分布的两个参数 和 是正态分布的两个参数 和 决定了x的概率分布 习惯上用N 2 表示均数为 标准差为 的正态分布 当给定不同的x值后 就可以根据此方程求得相应的纵坐标高度 频数 并可绘制出正态曲线的图形 记作X N 2 正态分布曲线 高峰位于中间 两侧逐渐下降并完全对称 曲线两端永远不与横轴相交的 钟型 曲线 当 固定不变时 越大 曲线沿横轴越向右移动 反之 越小 则曲线沿横轴越向左移动 所以 叫正态曲线N 2 的位置参数 1 位置参数 图5 4正态分布位置随参数 变换示意图 2 形状参数 图5 6正态分布形态随参数 变换示意图 当 固定不变时 越大 曲线越平阔 越小 曲线越尖峭 叫正态曲线N 2 的形状参数 二 正态分布图形的特征 1 对称性 关于x 对称 2 集中性 正态曲线在横轴上方 当x 时 f x 取最大值 即均数位于曲线的最高处 3 对频率密度正态分布图 横轴上曲线下的面积为1 4 是正态曲线的位置参数 决定曲线在横轴上的位置 增大曲线沿横轴向右移 减小曲线沿横轴向左移 5 是正态曲线的形状参数 越大数据越分散 曲线越 矮胖 越小数据越集中 曲线越 瘦高 三 正态曲线的标准化 为了应用方便 常将正态概率函数中的x作如下变量代换 令 Z称为标准正态变量 把u代入概率密度函数 得标准正态分布的概率密度函数 相对于正态变量x Z没有度量单位 根据u的不同取值 可绘出标准正态分布的图形 任意正态分布曲线X N 2 标准正态分布曲线X N 0 1 将一般正态分布曲线的 的位置平移到原点 再以标准差 为横轴单位 这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布N 0 1 亦称为Z分布 或 分布 四 正态曲线下面积的分布规律 正态曲线下的面积分布有一定的规律性 因正态曲线下累计频数的总和等于100 或1 则 横轴上曲线下的面积 概率 就等于100 或1 均数两侧的面积 概率 各占50 实际工作中常需了解横轴上某一区间曲线下面积占总面积的百分比 以便估计该区间的频数占总频数的百分比 即频数分布情况 这就需要采用定积分的办法 对函数式 1 或 2 定积分 算得从 到x 或从 到Z的累计面积 概率 图6正态分布 左 及标准正态曲线下 右 的累计面积 由于引入了标准正态变量Z值 只需对标准正态公式求定积分 求其曲线下从 到任意Z值的累计面积 并制成专用的Z值表 见附表 这样对于其它任意的正态分布N 2 都可以通过变量代换转化为标准正态分布 通过查表就完成其概率计算问题 1 左半侧Z值对应面积的查法 1 标准正态分布区间 1 1 的面积占总面积的68 26 2 标准正态分布区间 1 96 1 96 的面积占总面积的95 3 标准正态分布区间 2 58 2 58 的面积占总面积的99 标准正态分布曲线下面积规律 举例 当Z 1 96时 左侧的累计面积 0 025 该区间累计频数占总例数的2 5 记作P Z 1 96 0 025 当Z 1 96时 左侧累计面积为0 975 可记作P Z 1 96 0 975 此时P Z 1 96 0 025 2 左半侧Z值对应面积的查法 标准正态分布是以0为中心左右对称 所以该表只计算曲线下一半的面积即可 举例 求Z 0 5 1 5之间的面积 查表找出Z 0 5时的对应面积为0 3085 再查出Z 1 5时的对应面积0 0668 相减即可 即 P Z 0 5 1 5 P Z 0 5 P Z 1 5 0 3085 0 0668 0 2417 3 查任意两个Z值间的面积 1 曲线下横轴上的总面积为100 2 表中曲线下面积为 Z 3 标准正态曲线下的面积以0为对称 即 如区间 1 96 与区间 1 96 的面积相等 小结 F Z 1 F Z 对标准正态分布曲线 4 求一般正态分布N 2 曲线下的面积 先求u值 根据Z值在表中查出相应的面积值 当总体均数和总体标准差未知时 就用样本均数和样本标准差来代替计算 所以对正态分布或近似正态分布资料 只要求出均数和标准差 便可就其频数分布作出概略估计了 举例 已知120名12岁男孩身高均数为143cm 标准差为5 8cm 试估计该地12岁男孩身高在135cm以下者有多少人 答 1 首先计算Z值 3 据概率计算人数 身高在135cm以下者有 120 8 38 10人 2 查Z值表 当u 1 38时 左侧尾部面积0 0838 即身高在135cm以下者占总人数的8 38 常用的正态分布 标准正态分布曲线下面积规律 第五讲概率分布 正态分布 四 正态分布在医学中的应用 一 制定医学参考值范围 参考值范围 referencerange 指所谓 正常人 的解剖 生理 生化等指标的波动范围 制定方法 制定参考值范围时 首先要确定一批样本含量足够大的 正常人 所谓 正常人 不是指 健康人 而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群 必须是随机选择的大样本 而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值 根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值 常用95 单侧临界值 标准正态分布单侧尾部面积等于 时所对应的正侧变量值 记作Z 双侧临界值 标准正态分布双侧尾部面积之和等于 时所对应的正侧变量值 记作Z 2 以不同的方法计算参考值范围 1 正态分布法 适用于正态或近似正态分布资料 表5 2常用参考值范围的制定 举例1 调查某地120名健康女性血红蛋白 直方图显示其分布近似正态 均数X 117 4 标准差S 10 2 试估计该地健康女性血红蛋白的95 参考值范围 解析 1 分布近似正态 2 过高过低均为异常 3 求上 下界值 上界 下界 所以 该地健康女性血红蛋白的95 参考值范围是 97 41 137 39 g l 举例2 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数X 4 2 L 标准差S 0 7 L 试据此估计其第一秒肺通气量的95 参考值范围 解析 1 分布近似正态 2 仅过低为异常 3 求下界值 下界 所以 该地健康成年男子第一秒肺通气量的95 参考值范围为不低于3 05 L 2 百分位法 特别适用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料 如95 参考值范围 计算公式 举例 定出生体重低于2500g的婴儿为低体重儿 若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200g 标准差为350g 估计当年出生低体重儿所占的比例 二 估计频数分布 解析 2 转化为标准正态分布 求u值 查u值表 说明标准正态曲线下 2 的面积为2 28 故本题正态曲线 2500g 的比例为2 28 即X 2500g的为2 28 故估计当年出生低体重儿的比例为2 28 估计频数分布 ab 即 估计变量在 a b 区间出现的比例或者说频率 三 进行质量控制 基本原理 许多临床检验指标 当影响某一指标的随机因素很多 而每个因素所起的作用均不太大时 这个指标的随机波动属于随机误差 则往往服从正态分布 控制方法 常以作为上下警戒值 以作为上下控制值 这里的2s和3s可视为1 96s和2 58s的约数 作为质量控制的上下警戒值 四 正态分布是许多统计方法的理论基础 t分布 F分布 分布都是在正态分布的基础上推导出来的 u检验也是以正态分布为基础的 二项分布 Poisson分布的极限为正态分布 在一定条件下 可以按正态分布原理来处理 选择题 1 正态分布的两个参数 与 对应的正态曲线平行右移 增大 B 减小 C 增大 D 减小 E 增大 同时增大 2 正态分布曲线下右侧5 对应的分位点为A 1 96 B 1 96 C 2 58 D 1 64 E 2 58 是非题 对称分布与正态分布等价 计算题 1 某地抽查120份黄连中小蘖碱含量 mg 100g 得平均数为4 38 标准差为0 18 假设数据服从正态分布 问 1 95 黄连样品中小蘖碱含量在什么范围 2 有一份黄连样品 小蘖碱含量为4 80 怎样评价 答案 根据公式 另 4 8 4 38 0 18 2 33 1 96 所以可认为小蘖碱含量不正常 某地1998年抽样调查了100名18岁男大学生身高 其均数 172 70cm 标准差 4 01cm 1 估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数 2 估计该地18岁男大学生身高在177cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数 答案 查附表得 u 0 1210 即该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的12 10 查附表得 1 07 0 1423 则 u 1 1 07 1 0 1423 0 8577即该地18岁男大学生身高在177cm以下者占该地18岁男大学生总数的85 77 计算题 2 已知某地正常成年女子的血