高考数学大一轮复习 第六章 数列 第33讲 等差数列课件 理.ppt

第33讲等差数列 考试要求1 等差数列的概念 b级要求 2 等差数列的通项公式与前n项和公式 c级要求 3 等差数列与一次函数 二次函数的关系 a级要求 1 思考辨析 在括号内打 或 1 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 诊断自测 解析 4 若公差d 0 则通项公式不是n的一次函数 5 若公差d 0 则前n项和不是二次函数 答案 1 2 3 4 5 2 2017 全国 卷 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 3 得 21 15 d 24 6d 24 d 4 答案4 3 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a100 a10 90d 98 答案98 4 在等差数列 an 中 已知s8 24 s16 32 那么s24 解析设第三个数为a 公差为d 则这五个数分别为a 2d a d a a d a 2d 由已知条件得 1 等差数列的定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母 表示 知识梳理 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 同一个常数 公差 d ak al am an 3 等差中项 由三个数a a b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 a叫做a与b的 4 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 等差中项 5 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为 的等差数列 6 数列sm s2m sm s3m s2m 构成等差数列 n m d ak al am an 2d md 6 等差数列的前n项和公式 7 等差数列的前n项和公式与函数的关系 8 等差数列的前n项和的最值 在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最 值 大 小 考点一等差数列基本量的运算 例1 1 1 2016 江苏卷 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 a 3 s5 10 则a9的值是 2 2018 常州一模 设sn为等差数列 an 的前n项和 若a3 4 s9 s6 27 则s10 解析 1 设等差数列 an 公差为d 则由题设可得 2 sn为等差数列 an 的前n项和 a3 4 s9 s6 27 1 求sn 2 求tn及tn的最小值 规律方法等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 训练1 1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6 2 2017 南京三模 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sk 1 8 sk 0 sk 1 10 则正整数k 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由题意得s3 3a1 3d 6 3d 12 所以d 2 a6 a1 5d 12 答案 1 12 2 9 考点二等差数列的判定与证明 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 规律方法等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 直接用作差 代入 得结论更简单 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 训练2 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 1 证明由an 2 2an 1 an 2 得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 解由 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 考点三等差数列通项及求和问题 因为an 0 所以an 1 an 2 an 1 an 2 所以当n 2时 an 是公差d 2的等差数列 因为a2 a5 a14构成等比数列 因为a2 a1 3 1 2 所以 an 是首项a1 1 公差d 2的等差数列 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 规律方法 1 等差数列的判断 主要通过等差数列的定义进行判断 an 1 an为常数d 而不能是关于n变化的函数f n 2 等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点 通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查 训练3 已知等差数列 an 满足 a1 2 且a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 记sn为数列 an 的前n项和 问 是否存在正整数n 使得sn 60n 800 若存在 求出n的最小值 若不存在 请说明理由 解 1 设数列 an 的公差为d 依题意得2 2 d 2 4d成等比数列 所以 2 d 2 2 2 4d 解得d 0或d 4 当d 0时 an 2 当d 4时 an 2 n 1 4 4n 2 所以数列 an 的通项公式为an 2或an 4n 2 令2n2 60n 800 即n2 30n 400 0 解得n 40或n60n 800成立 n的最小值为41 综上所述 当an 2时 不存在满足题意的正整数n 当an 4n 2时 存在正整数n 使得sn 60n 800成立 n的最小值为41 考点四等差数列性质的应用 例4 1 1 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 2 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 解析 1 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 所以a5 5 故a2 a8 2a5 10 2 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 答案 1 10 2 21 例4 2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 12 s9 45 则s12 解析 1 因为 an 是等差数列 所以s3 s6 s3 s9 s6 s12 s9成等差数列 所以2 s6 s3 s3 s9 s6 即2 s6 12 12 45 s6 解得s6 3 又2 s9 s6 s6 s3 s12 s9 即2 45 3 3 12 s12 45 解得s12 114 s2018 2018 答案 1 114 2 2018 训练4 1 在等差数列 an 中 已知s30 20 s90 80 那么s60 2 已知数列 an 的前n项和sn n2 6n 那么数列 an 的前6项和t6 3 一题多解 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 则当n为 时 sn取得最大值 并求出它的最大值为 解析 1 设s60 x 则20 x 20 80 x成等差数列 2 由sn n2 6n 得 an 是等差数列 且an 2n 7 当n 3时 an0 所以t6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 s6 2s3