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热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1已知数列an是等比数列，a24，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2log2an1，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，因为a24，所以a34q，a44q2.2分因为a32是a2和a4的等差中项，所以2(a32)a2a4.即2(4q2)44q2，化简得q22q0.因为公比q0，所以q2.所以ana2qn242n22n(nN*).6分(2)因为an2n，所以bn2log2an12n1，所以anbn(2n1)2n，7分则Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1.由得，Tn222222322n(2n1)2n122(2n1)2n16(2n3)2n1，所以Tn6(2n3)2n1.14分2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn.解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.2分又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S131221615，所以an6n5(nN*).6分(2)由(1)得bn，10分故Tn.14分3(2017宁波镇海中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S36.正项数列bn满足b1b2b3bn2Sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若bnan，对nN*均成立，求实数的取值范围解(1)等差数列an中，a11，S36，d1，故ann.2分由得bn2SnSn12an2n(n2)，b12S1212，满足通项公式，故bn2n.6分(2)bnan恒成立，即恒成立，8分设cn，则，当n1时，cn1cn，cn单调递减，(cn)maxc1，故，的取值范围是.14分4已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en. 【导学号：51062179】解(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立，所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列.3分从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0.由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*).6分(2)证明：由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.
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