流体力学 8章讲稿.doc

第八章 湍 流 湍流是一种复杂的不定常、随机流动，理论至今未成熟。目前研究沿两个方向发展： (1) 寻找若干最基本的物理定律以建立普遍适用的湍流理论； (2) 在某些特定条件下，对流动现象作些假定，建立有局限性的半经验理论。 本章将按方向(1)讨论湍流的物理过程和基本概念，按方向(2)介绍半经验理论及应用。8-1 湍流的统计平均法 统计平均法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。 一、湍流的随机性 湍流的一切物理参数都具随机性，瞬时流场总是不定常的，但又不同于通常的不定常流场。对于随机性参数，一般取用统计平均值。湍流理论中，有三种统计平均法：时均法、体均法和按概率平均法。时均法最方便。二、时均法(按时间平均的方法)时均法的定义(以紊流速度为例)是理论上积分域T应趋向无限大，但实用上，只要取T足够长时间即可。 由时均法得出的参数值称为时均值。若时均值不随T变化,称为定常湍流场, 反之为非定常湍流场。 按照各态遍历假说, 时均法值、体均法值和概率平均值完全相等。因时均法易实现, 所以一般均采用时均值（平均值）, 用表示. 三、脉动值及其性质 随机值与平均值之差称为脉动值，并用“”注明 脉动值是随机量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论就是研究脉动值和平均值间的关系。脉动值与平均值有下列性质：(1) 平均值的平均仍为原平均值 (2) 脉动值的平均值等于零 证: (3) 脉动值乘以常数的平均值等于零 (4) 脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零 (5) 两相关脉动值乘积的平均值不等于零, 否则为不相关。 (6) 湍流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数。 以一阶导数为例证明之 仿上 (7) 脉动值各阶导数的平均值等于零(利用(2)、(6)性质可以得到) 8-2 湍流的基本方程 只讨论不可压流体的湍流 一、湍流的连续性方程 连续性方程是守恒方程, 对于不可压湍流流体，连续性方程也是 （或 ） （a）对此式两边求平均值，有 （或 ） （b） 式(a)与式(b) 两边相减得 即 （或 ） （c）即：湍流的随机速度、平均速度和脉动速度散度都等于零。 二、湍流的平均动量方程雷诺方程雷诺认为湍流的瞬时速度场满足纳维-斯托克斯方程。考虑到连续性方程（a），则不可压湍流瞬时流场的纳维-斯托克斯方程为 上式左侧为 所以不可压湍流瞬时流场的纳维-斯托克斯方程又为 对其求平均值，建立湍流平均动量方程（约定将非脉动值的平均值符号略去）由 =代入上式得 雷诺动量方程例 =式中：-单位质量流体的平均流动量的局部变化率 -单位质量流体的平均流动量的迁移变化率-单位质量流体上平均流压力的合力-单位质量流体上的平均流粘性应力的合力上述各项与层流状态中的各项对应。雷诺方程中右侧最后一项中的是一个二阶张量，通常称为雷诺应力或雷诺视应力，并用表示之，即 =或 显然为对称张量，因此 。 从物理上来说，是由于湍流脉动引起的单位面积上的动量输运率。于是，雷诺方程可写成 式中 -单位质量流体上雷诺应力的合力（=） 由上可见,雷诺方程与纳维-斯托克斯方程的差别在于前者增加了雷诺应力的合力一项。雷诺应力是一个未知量，正如粘性应力曾是一个未知量一样。对粘性应力，利用广义牛顿粘性公式把粘性应力与变形速率张量联系了起来；对于雷诺应力也需补充关于它的物理方程，才能使湍流方程组封闭。湍流理论的中心问题和难点是建立雷诺应力的物理方程。8.3 湍流流动的基本性质 湍流能量的强输运性和强耗散性以及湍流的强有旋性是湍流的重要特性，研究这些特性对于建立雷诺应力的模型会有帮助。 8.3.1 湍流能量的输运性 湍流的脉动是相对于平均流场而言的随机运动。类似于分子运动那样，随机的脉动也将引起平均流场相邻位置之间的动量、动能和内能的输运。此前已讨论过分子的动量输运率表现为宏观的粘性，分子的内能输运率表现为热传导。与此类似，湍流的动量输运表现为湍流的“粘性”，湍流的内能输运表现为湍流的热传导。由于流体微团包含着数量极大的分子，因此湍流的输运远远大于分子输运率。例如，湍流状态下的物面粘性阻力和传导热较之层流大得很多。 为了说明湍流能量输运关系，首先分别讨论平均流和脉动流的能量方程 (一) 平均流的动能（机械能）方程 雷诺方程乘以平均速度Vi，并引入平均流的连续方程，可得易证（参讲义）上式可为平均流的动能方程方程中各项的物理意义如下：单位质量流体的平均流的动能的增长率；单位质量流体的重力在单位时间内对平均流所作的功；单位质量流体在单位时间内平均流的粘性耗散功（内摩擦）, 它类似于层流中的耗散函数项，由于0，故此项永为负值；此项可写为 或 ，所以这一项表示单位 质量流体上雷诺应力在单位时间内对平均流所作的功，或者可以说成 脉动运动向平均流输送的功。-此表达式括号中的第一、二项为在单位时间内单位质量流体上的平均流的表面压力、粘性应力所作的功；括号中的第三项为在单位时间内单位质量流体雷诺应力所作的功。这三项都是以散度形式出现，可见它们是保守型的。它们表示单位质量流体在单位时间内由边界传递进来的能量。 据上述，可见平均动能方程式表示的关系，乃是单位质量流体在单位时间内的平均动能的平衡关系。即平均流动能增长重力功+边界输入功耗散功脉动运动向平均运动输送的功 (二) 脉动动能方程 单位质量流体脉动动能的定义为易证（参讲义）脉动动能方程为 方程中各项的物理意义如下：沿平均流动的迹线,单位质量流体脉动能的增长率。此项以散度形式出现,是保守型的，它们表示单位时间内单位质量流体由边界输送来的功，其中是脉动速度携带的脉动动能输运量的平均值，它是脉动量的三次积。由此还可看出，动能是脉动量的二次乘积，但是为了求动能的变化率，需要知道脉动量的三次乘积。这里所指出的正是湍流方程的特点，引起湍流平均特性方程组的不封闭性。若去建立三次脉动量的平均值方程，将会出现四次脉动量的平均值。以此类推，湍流脉动的平均特性方程永远不会自行封闭。是脉动变形过程中单位质量流体在单位时间内的粘性耗散功。此项在平均流动能方程式中也存在，但是符号相反，因此它表示单位质量流体在单位时间内由平均流向脉动流输送的功。 从脉动能量方程看，其右侧第一大项的脉动流的能量的传递只能是能量的再分配，它是保守型的，它不是维持湍流整个脉动能量的来源；而式右侧的耗散项总是使脉动动能减少，所以说，脉动能的唯一来源是从平均流中通过雷诺应力输入的。因此，我们称为脉动生成项，实际它说明了湍流脉动动能的来源。 据上分析，可见脉动能量方程式所表示的关系，乃是单位质量流体在单位时间内脉动能量的平衡关系：沿平均流迹线的脉动动能增量重力功+在边界由脉动应力传递进的功脉动耗散功由平均流向脉动流输送的功 由平均流动能方程和脉动流动能方程可得出结论:平均流不断对脉动流输送能量, 从而维持湍流的脉动。单位时间单位质量流体输送的能量为 -。二、湍流流动的耗散性 湍流的耗散为: 1) 平均流粘性耗散项 2) 脉动流粘性耗散项为三、湍流流动的有旋性 湍流的有旋是指随机速度场有旋，即 。大量实验表明，湍流场中的输运是通过旋涡传递的。四、若干典型条件下的湍流的特点 (一) 均匀各向同性湍流; (二) 自由剪切湍流; (三) 有壁剪切湍流。8-4 混合长度理论简介 混合长度理论是剪切湍流的模型之一, 来满足由N-S方程用平均法得的方程组不封闭。一、混合长度理论的基本思想: 把湍流脉动与分子运动相比拟。湍流平均流流线为直线时，湍流切应力也表示成层流粘性切应力形式 为湍流粘性系数 此理论的出发点似易接受，但在物理上却隐含严重缺陷。分子运动和湍流脉动形式上似相像，但有本质差别。湍流脉动与平均流间存在动量、能量交换，但分子运动与宏观运动之间不存在这种交换，分子运动的动能并不来自宏观运动，而是自身固有的。因此是分子运动的特性，与宏观运动无关；而不仅与湍流脉动有关,且与平均流场有关。但在实用上，这种理论对某些情况，