点、线、面的投影(88).ppt

主讲教师介绍 刘炀 毕业于大连理工大学 硕士合肥工业大学机械与汽车学院工程图学系主任 副教授 硕士生导师 主要讲授 现代工程图学 工程制图基础 画法几何及机械制图 ASP动态网页设计与制作 计算机绘图 等课程 主编教材2本 其中 ASP网络程序设计 获安徽省十一五规划教材 参编教材近10本 发表论文20余篇 2010年6月 9月德国罗斯托克大学访问学者 欢迎同学们来到合肥工业大学学习 工程图学 是工科院校的学生一门必修的技术基础课 主要培养空间思维能力 本门课程的学习对有些同学来说有一定的难度 请记住两条 一是听懂每堂课 二是完成每次作业 加强与教师的交流 不懂就问 有问题要提 第一章投影法概述 一 中心投影法 二 平行投影法 三 投影法的性质 四 工程上常用的几种投影图 概述 投影法概述 投影的概念 日常生活中的投影现象 有关名词光线 光源 投射线 投射中心 地 墙 面 投影面影子 投影投影法 在投影面上获得物体投影的方法 投影法的分类 中心投影法平行投影法斜投影法 斜投影 正投影法 正投影 投影 一 中心投影法 中心投影法 投影法 在投影面上获得物体投影的方法 中心投影法 二 平行投影法 平行投影法 投影法 在投影面上获得物体投影的方法 平行投影法 S S 斜投影法 正投影法 三 两种投影法的性质 一 共同性质 1 直线的投影一般仍是直线 a b 点在直线上则点的投影在直线的投影上 a b 中心投影法 平行投影法 从属性 三 两种投影法的性质 一 共同性质 2 当直线与投射线方向一致时 其投影积聚为一点 积聚性 当平面上有直线与投射线方向一致时 该平面的投影积聚为一直线 直线 平面的积聚性 三 两种投影法的性质 一 共同性质 3 空间点在一个投影面上只有唯一一个投影 而点的一个投影不能确定点的空间位置 物体的一个投影不能确定它的整体形状和大小 三 两种投影法的性质 二 平行投影法的特点 1 实形 长 性 直线段 或平面 平行于投影面 其投影反映线段的实长 或平面的实形 实形 长 性 AB ab ABC abc 三 两种投影法的性质 二 平行投影法的特点 2 点分线段之比投影后不变 AC CB ac cb AB CB ab cb 定比性 三 两种投影法的性质 二 平行投影法的特点 3 空间两平行线段 其投影仍然平行 且它们之间长度之比投影后不变 AB CD ab cd AB CD ab cd 定比性 A B C D 平行性 三 两种投影法的性质 二 平行投影法的特点 4 当平面与投射面倾斜时 其投影为实形的类似形 类似性 四 工程上常用的几种投影图 按照用途和形体的结构特点 工程上常用以下几种投影图 1 透视图 2 轴测图 3 多面正投影图 4 标高投影 四 工程上常用的几种投影图 四 工程上常用的几种投影图 四 工程上常用的几种投影图 按正投影法原理绘制的标高投影 第二章点的投影 2 1点的两面投影 2 2点的三面投影 2 3点的相对位置 2 1点的两面投影 一 两投影面系形成的条件 二 点的两面投影的投影特性 一 两投影面系形成的条件 1 两面投影体系 2 四个分角 3 有关规定 V面 正立投影面 H面 水平投影面 OX轴 投影轴 V H投影面的交线 V H投影面应相互垂直 V X O 二 点的两面投影的投影特性 a aX a 1 点的两面投影 符号规定 空间点 大写字母 H投影 小写字母 投影面展开 V投影 小写字母加一撇 二 点的两面投影的投影特性 O X a aX a 90 v 1 点的两面投影 符号规定 空间点 大写字母 H投影 小写字母 投影面展开 V投影 小写字母加一撇 二 点的两面投影的投影特性 O X a ax 1 点的两面投影 去边框 符号规定 空间点 大写字母 H投影 小写字母 投影面展开 V投影 小写字母加一撇 二 点的两面投影的投影特性 1 点的两面投影 点的两面投影图 去边框 符号规定 空间点 大写字母 H投影 小写字母 投影面展开 V投影 小写字母加一撇 二 点的两面投影的投影特性 2 点的两面投影特性 2 a aX Aa A点到H面的距离 aaX Aa A点到V面的距离 1 a a OX V 二 点的两面投影的投影特性 3 其它分角点的投影图 空间位置 投影图 分角内的点A 分角内的点B 分角内的点C 分角内的点D V X O 二 点的两面投影的投影特性 特殊位置点的投影 a c 点A在V面上 点B在H面上 点C在V面上 点D在投影轴上 b d d d d 空间位置 投影图 V X O 2 2点的三面投影 一 三投影面系形成和点的投影特性 二 点的投影与坐标的关系 三 点的投影作图 一 三投影面系形成的条件和点的投影特性 1 三面投影体系 O Z X Y V 有关规定 W面 侧立投影面 轴 H 面的交线 V H W投影面应两两相互垂直 Z轴 V 面的交线 一 三投影面系形成的条件和点的投影特性 O Z X a 90 90 Y V 2 点的三面投影 符号规定 投影面展开 W投影 小写字母加两撇 一 三投影面系形成的条件和点的投影特性 O Z A a X aX aZ a a aY Y V 1 点的三面投影 符号规定 投影面展开 W投影 小写字母加两撇 90 90 一 三投影面系形成的条件和点的投影特性 2 点的三面投影特性 2 a aX a Ayw Aa H面距离 aaX a aZ Aa V面距离 a aZ aaYH Aa W面距离 1 a a OX a a OZ aaYH OY a aYW OY 90 a 二 点的投影与点的坐标的关系 V面 XOZ坐标面 1 投影面与坐标面的对应关系 H面 XOY坐标面 W面 YOZ坐标面 2 点的投影与直角坐标的一一对应关系 V面投影 a x z W面投影 a y z H面投影 a x y Y a 二 点的投影与点的坐标的关系 点的两个投影完全确定其在空间的位置 2 点的投影与直角坐标的一一对应关系 V面投影 a x z W面投影 a y z H面投影 a x y 三 点的投影作图 两类作图题 1 根据点的空间坐标 x y z 求点的三面投影 如 a a a 2 已知点的两个投影求第三投影 三 点的投影作图 例1已知点A 15 10 20 求作点A的三面投影 YH YW O X Z a a a 1 画坐标轴 3 整理作图线 2 求作点的投影 ax aYH 作图步骤 三 点的投影作图 例1已知点A 15 10 20 求作点A的三面投影 YH YW O X Z 1 画坐标轴 3 整理作图线 2 求作点的投影 ax 作图步骤 a a a aYH 三 点的投影作图 例2已知点B的投影b b 求点B的水平投影b YH YW O X Z 用圆规截取Y相等 b b a 三 点的投影作图 YH YW O X Z b b b 作45 辅助线 使y相等 正方形的各边相等 45 画圆弧 使y相等 Y相等的其它作图方法 例2已知点B的投影b b 求点B的水平投影b 2 3点的相对位置 一 两点相对位置的判断方法 二 重影点 一 两点相对位置的判断方法 空间两点的相对位置 可以通过两点的同组投影判断其前后 上下 左右关系 X轴方向称左右Y轴方向称前后Z轴方向称上下 V a b A X B b a O a b Z Y B点在A点的左 前 下方 约定 一 两点相对位置的判断方法 H面上 左右 前后V面上 左右 上下W面上 上下 前后 在投影图上判断两点的相对位置关系 a b X b a O a b Z YH YW B点在A点的左 前 下方 二 重影点 定义 在同一条投射线上的两点 其在某投影面上的投影重合 称这两点为该投影面的重影点 A B为H面上的重影点 a b ab a b 水平投影重影 由正 侧 面投影判断上下关系 X O Z Y O 二 重影点 C D为V面上的重影点 c d 正面投影重影 由水平 和侧面 投影判断前后 X O Z Y O 二 重影点 小结 重影点的可见性判别 水平投影重影由正面 和侧面 投影判断上下 Z值大在上 可见 Z值小在下 不可见 投影不可见加括号 O 二 重影点 小结 重影点的可见性判别 正面投影重影由水平面 和侧面 投影判断前后 Y值大在前 可见 Y值小在后 不可见 O 二 重影点 小结 重影点的可见性判别 侧面投影重影由正面 和水平 投影判断左右 X值大在左 可见 X值小在右 不可见 侧面投影重影 第三章直线的投影 3 2特殊位置直线的投影 3 3求一般位置线段的实长 3 4两直线的相对位置 3 1一般位置直线 3 5直角投影定理 3 1一般位置直线 一 直线投影图的画法 二 一般位置直线的投影特性 一 直线投影图的画法 两点的同面投影相连得直线的投影 可知直线的空间方向 如以A为基点 则图示直线的方向为向左前下方倾斜 二 一般位置直线的投影特性 对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线 约定 直线对投影面的倾角是直线与其在该投影面上的投影之间的夹角 与V面的夹角 称为正面夹角 a b AB对H面的倾角即AB与ab的夹角 与H面的夹角 称为水平夹角 与W面的夹角 称为侧面夹角 B A 二 一般位置直线的投影特性 一般位置线段的投影特性 V a b A X B b a O a b z Y 三个投影长都缩短 三个投影都倾斜于相应的投影轴 3 2特殊位置直线的投影 一 投影面平行线 二 投影面垂直线 一 投影面平行线 平行某一投影面 倾斜另两个投影面的直线称为投影面平行线 投影面平行线分为三种 水平线 于H面 于V面和W面 正平线 于V面 于H面和W面 侧平线 于W面 于H面和V面 一 投影面平行线 1 水平线 V B A a b a a b b 1 ab AB 2 反映 实角 3 a b OX轴 a b OYW轴 X Z Y 投影特性 一 投影面平行线 V a b A X B b a O b Z Y 2 正平线 1 a b AB 2 反映 实角 3 ab OX轴 a b OZ轴 投影特性 一 投影面平行线 3 侧平线 1 a b AB 2 反映 实角 3 ab OY轴 a b OZ轴 投影特性 V A X B O Z Y 一 投影面平行线 归纳投影面平行线的投影特性 直线的另两个投影平行于相应的轴 且长度缩短 直线在所平行的投影面上的投影反映实长 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影面的夹角实际大小 二 投影面垂直线 空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线 投影面垂直线分为三种 铅垂线 于H面 于V面和W面 正垂线 于V面 于H面和W面 侧垂线 于W面 于H面和V面 二 投影面垂直线 1 铅垂线 V a b A X B b a O b a Z Y 1 ab积聚为一点 2 a b a b AB 3 a b OX轴 a b OYW轴 投影特性 积聚性 实长 二 投影面垂直线 2 正垂线 1 a b 积聚为一点 2 ab a b AB 3 ab OX轴 a b OZ轴 V X O Z Y a b a b b a A B 投影特性 积聚性 实长 二 投影面垂直线 3 侧垂线 1 a b 积聚为一点 2 ab a b AB 3 ab OYH轴 a b OZ轴 a a b b 投影特性 积聚性 实长 实长 二 投影面垂直线 归纳投影面垂直线的投影特性 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点 另外两个投影反映实长 且垂直于相应的轴 作业本P02 2 01 2 02题选做一题 2 03题任选一小题 2 04 05题 P03 3 01 02题中各任选一小题 3 03题 Z a b X b a O a b YW YH 直线上点的投影特性 V a b A X B b a O a b Z Y 从属性 点在直线上 则点的投影在直线的同面投影上 且点的投影符合点的投影规律 C c c c 定比性 点分线段之比投影后不变 a c c b AC CB ac cb a c c b 直线上点的投影特性 投影作图 例1已知C点在直线AB上 据c 求c c Z a b X b a O a b YW YH 直线上点的投影特性 投影作图 例2求点C 使AC CB 1 4 c c 分析 作图 直线上点的投影特性 投影作图 例3判断点K是否在AB直线上 否 直线上点的投影特性 投影作图 例4判断点C是否在AB直线上 a b c 两种判断方法 从属性 作侧投影 定比性 分析比例关系 否 a c c b ac cb 否 直角三角形ABC中 斜边AB AB实长 直角边BC b c Z 直角边AC ab Z a角 ab与实长AB的夹角 Z Z Z 3 3求一般位置线段的实长和夹角 求一般位置线段的实长及其与V面的夹角b 直角三角形ABD中 斜边AB AB实长 直角边DA ad Y 直角边BD a b b角 a b 与实长AB的夹角 Y Y Y 例1已知EF 30 试完成e f f zf ze zf ze 1 以ef为一直角边 2 以R30为半径画弧 在另一直角边上截得zf ze 3 在ff 投影连线上定f 点 完成e f f 1 以ye yf为一直角边 2 以R30为半径画弧 在另一直角边上截得e f 3 以e f 为半径画弧 在ff 投影连线上定f 点 完成e f ye yf 例1已知EF 30 试完成e f 例2已知三角形ABC的投影 试求其实形 实形 BC实长 Y Y 例3已知线段AB的投影 试定出属于AB的点S的投影 使AS的实长等于已知长度L 例4已知线段KM的实长为32mm 以及投影k m 和k 完成km 在KM上取KN L 求作点N的投影 在反映KM实长的线段k M上量取L 得到点N 根据点分线段成比例得到点N的投影n n 采用直角三角形方法求出mk的Y坐标差 画出水平投影mk 解 例5已知正平线CD与直线AB相交于点K AK的长度为20mm 且CD与H面的夹角为60 求CD的两面投影 两解 解 1 用直角三角形法求出AB实长 确定点K的投影k k 3 过k作线cd OX轴 2 过k 作线c d 与OX轴夹角为60度 小结 1 实长 坐标差 投影长 倾角为直角三角形的四要素 注意 直线的坐标差 投影长 倾角是对同一投影面而言 小结 2 只要已知其中任两个 即可通过直角三角形求得另两个 因此直角三角形法的题型衍生为多种形式 3 4两直线的相对位置 一 两直线平行 二 两直线相交 三 两直线交叉 一 两直线平行 两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行 即若AB CD 则ab cd a b c d 一 两直线平行 例1过点E e e 作直线 AB O X e e a b b a 若使EF AB 须ef ab e f a b 分析 作图 二 两直线相交 空间两直线相交 其同面投影必相交 且交点的投影符合点的投影规律 两直线相交 交点既在AB线上 又在CD线上 交点的投影必须符合一点的投影规律 投影连线垂直于投影轴 三 两直线交叉 既不平行也不相交的空间两直线称为交叉 投影图上的交点是重影点 不符合投影规律 直线在空间没有交点 图中水平投影图中的 交点 是CD线上的A点和EF线上的B点在水平投影上的 重影点 判断两直线的相对位置 例1判断AB EF两直线的相对位置 相交 k 分析 判断方法 方法一作第三投影 略 方法二按定比性 k 由于a k k b ak kb 结论 所以AB EF相交 判断两直线的相对位置 例2判断AB CD两直线的相对位置 交叉 分析 判断方法 方法一作第三投影 略 方法二按定比性 略 方法三 假定AB CD平行 则ABCD共面 AD和BC必相交 AB CD两交叉直线 结论 平行 交叉 作图 角度的投影一般不等于原空间实角 在直角中 如两直角边同时平行某一投影面 则在该投影面上的投影必反映直角关系 如有一条直角边平行某一投影面 则在该投影面上的投影也反映直角关系 直角投影定理 3 5直角投影定理 直角的投影 直角投影定理 C A B 已知 AB为水平线 BAC为直角 则 bac仍为直角 证明 AB AC AB Aa AB 平面ACca AB H面 ab AB ab 平面ACca有ab ac ab AB a b OX 直角 有AB ac bac仍为直角 X 直角的投影 投影图 直角投影定理 已知 AB为水平线 BAC为直角 则 bac仍为直角 X 直角的投影 直角投影定理 反之 若a b OX bac为直角 则空间 BAC为直角 ab 平面aACc 有ab AC AB 平面ACca 有AB AC AB为水平线 AB ab X 直角的投影 直角投影定理 也适于两交叉直线 已知CD与EF交叉垂直 EF为水平线 则在H面上cd与ef垂直 投影图 X 直角的投影 例1已知AB V 试过点E作直线EK与AB垂直相交 k k 分析 AB为正平线 正面投影反映垂直关系 作图过程 直角的投影 例2过点A作与直线垂直CD e e f 分析 有无数解 能图示出垂直关系的有两条 一条水平线 一条正平线 f 作图 作正平线AE 使a e c d ae OX 作水平线AF 使af cd a f OX 例3过点A作直线AB与直线CD正交 解 1 求出点A与直线CD的侧面投影 3 求出b b a b ab连线 2 利用直角投影定理 过a 作a b c d 且B CD 直角的投影 例4已知水平线AB及正平线CD 试过定点S作它们的公垂线 直角的投影 例5试过点A作一直角三角形ABC 已知一条直角边BC属于已知水平线MN 另一直角边为AB 且知AB BC 3 2 Z Z 空间分析 AB MN bc BC 直角的投影 例6给定一平面ABC 过点A作属于该平面的两直线 此两直线与H面都成60 以a为圆心 水平投影长为半径画圆弧 得e f Z 水平投影长 解 1 设所求两直线AE AF 点E F在BC上 则坐标差ZA ZE ZA ZF ZA ZB 以60 及坐标差作直角三角形 可求得水平投影长 3 求e f 2 在水平投影中确定e f 例7一等腰直角 ABC AC为斜边 顶点B在直线NC上 完成其两面投影 AB NC 空间分析 AB BC bc BC 解 1 利用直角投影定理 过a作ab nc b为垂足 3 连接 a b c abc 2 以a b的Y坐标差及AB实长 AB BC bc 作直角三角形 III即为a b 长 例8已知直线AB与CD垂直相交 求作c d 2 CD为侧垂线 故c d OX轴 解法一 1 利用定比概念求出交点K 直角的投影 例9已知直线AB与CD垂直相交 求作c d 2 求出a b 及c d 求得c d 解法二 1 AB与CD为共面二直线 且该平面为侧平面 直角的投影 例10已知矩形ABCD 完成其水平投影 解 空间分析 AB AD AB为水平线 1 利用直角投影定理ab ad 2 对边平行得bc dc 直角的投影 例11作等边 ABC 顶点为A 使BC属于直线EF 空间分析 AD EF ABD 60o BD DC 1 2 AB BD b d DC d c 解 1 作AD EF 5 连 ABC 2 求AD实长 4 在反映实长的e f 投影上 量取d c DC b d 3 利用直角三角形求出DC实长 第四章平面的投影 4 2各种位置平面的投影 4 3平面内的线和点 4 4平面图形的实形 4 1平面的表示法 4 1平面的表示法 一 几何元素表示法 二 迹线表示法 一 平面的表示方法 1 几何元素表示法 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 不共线的三点 一 平面的表示方法 2 迹线表示法 迹线 平面与投影面的交线 P PV PH PW PX PY PZ 规定 V H W各面迹线分别用PV PH PW表示 PV PZ PX PH PYH PYW PW O 4 2各种位置平面的投影 一 投影面垂直面 二 投影面平行面 三 一般位置平面的投影特性 一 投影面垂直面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面 投影面垂直面分为三种 铅垂面 于H面 于V面和W面 正垂面 于V面 于H面和W面 侧垂面 于W面 于H面和V面 一 投影面垂直面 1 铅垂面 投影特点 H投影积聚为 倾斜线 反映 和 V投影和W投影为类似形 空间分析 O c b O 一 投影面垂直面 1 铅垂面 V X Z Y PV PH PW PH PW PV 迹线表示 P O O 一 投影面垂直面 2 正垂面 O V投影积聚为 倾斜线 反映 和 H投影和W投影为类似形 投影特点 空间分析 O V X Z Y 一 投影面垂直面 2 正垂面 RH RW RV RV RH RW 迹线表示 R O O 一 投影面垂直面 3 侧垂面 W投影积聚为 倾斜线 反映 和 H投影和V投影为类似形 投影特点 空间分析 O 一 投影面垂直面 3 侧垂面 QW QV QV QH QW 迹线表示 O QH Q 一 投影面垂直面 例1包含A a a 作 30 的正垂面 两相交直线决定平面 迹线表示平面 b c b c RV RH d d 一 投影面垂直面 例2包含AB ab a b 作铅垂面 a b a b X O c c 一 投影面垂直面 例3完成侧垂面的水平投影 1 6 5 2 4 3 侧垂面 注意 V H投影的 类似性 投影分析 X O Z YH YW 6 二 投影面平行面 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面 投影面平行面分为三种 水平面 于H面 于V W面 正平面 于V面 于H W面 侧平面 于W面 于H V面 二 投影面平行面 1 水平面 C 投影特点 H投影反映实形 V投影和W投影积聚为直线 积聚投影垂直于OZ轴 O 二 投影面平行面 1 水平面 QW QV QV QW 迹线表示 C O 二 投影面平行面 2 正平面 投影特点 V投影反映实形 H投影和W投影积聚为直线 积聚投影都垂直于OY轴 O 二 投影面平行面 2 正平面 PH PH 迹线表示 O 二 投影面平行面 3 侧平面 投影特点 W投影反映实形 H投影和V投影积聚为直线 积聚投影垂直于OX轴 O 二 投影面平行面 3 侧平面 RH RV RV RH 迹线表示 O 二 投影面平行面 例1包含点A a a 作正平面 正平面的水平投影为一条 OX轴的直线 b c b c 二 投影面平行面 例2含水平线BC bc b c 作平面P平行于H面 b b x o c c PV 三 一般位置平面 倾斜于三个投影面的平面 称为一般位置平面 三个投影均是类似形 投影特点 b B A C o o 三 一般位置平面 用迹线表示的一般位置平面 PV PZ PX PH PYH PYW PW 三 一般位置平面 例包含A a a 作一般位置平面 任作两相交直线决定一平面 b c b c 无数解 4 3平面内的直线和点 一 直线在平面内的几何条件 二 平面内的一般位置直线 四 平面内的投影面平行线 三 平面内的点 一 直线在平面内的几何条件 通过一平面上的两个点 通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线 M N 二 平面内的一般位置直线 例1在平面 ABC内作一任意直线 1 2 2 a b c X O a b c 1 无数解 二 平面内的一般位置直线 例2判断直线 是否在ABC平面内 1 2 2 a b c X O b a c 1 否 3 4 4 3 三 平面内的点 点在平面上的几何条件 在平面内定点时 一般要通过包含点在平面内取辅助线求解 点在平面内的一条直线上 三 平面内的点 例1已知点K在平面ABCD内 据k求k 作图分析 在平面内取一条过K点的直线 如AI 使k 在a 1 上 则K在平面内 k 1 1 作图 三 平面内的点 平面的水平投影积聚 K k 例2已知点K在平面 ABC内 据k 求k 使k落在投影abc上即可 作图分析 作图 三 平面内的点 例3完成平面四边形ABCD的水平投影 作图分析 平面四边形ABCD的对角线必相交 k c X k 作图 三 平面内的点 例4试判断K点是否在平面内 分析 1 1 作图 KD与平面内的线不平行或相交 点K不在平面内 K与平面内任一点连线 若K在平面内则该连线应与平面内的线平行或相交 例5 已知一正垂面的两面投影 求第三面投影 b c k a d a d b c k b 例6已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 X X 例7 完成六边形的水平投影 四 平面内的投影面平行线 1 定义 平面内平行于某一投影面的直线 称为平面内的投影面平行线 在一般位置平面内可取三类投影面平行线 四 平面内的投影面平行线 从属性 属于平面 投影面平行线的投影特性 D E e d e d 取平面内的水平线DE 2 投影特性 d e OX轴 B 四 平面内的投影面平行线 例1在平面 AB CD 内作直线EF V面 使距离V面为15 e f f e 例2 已知 ABC平面 试过点A作属于该平面的水平线 过点C作属于该平面的正平线 第五章直线与平面平面与平面的相对位置 5 2相交问题 5 3垂直问题 5 4综合问题解题示例 5 1平行问题 5 1平行问题 一 直线和平面平行 二 平面与平面平行 一 直线和平面平行 几何条件 如果平面P外的一条直线AB与平面内的一条直线平行 那么这条直线AB和这个平面P平行 A B 反之 如果直线AB与平面P平行 那么在平面内一定有一条直线与该直线AB平行 L L P L AB AB P 一 直线和平面平行 例1含点 1 1 作平面与直线AB ab a b 平行 只要含点 作直线与AB平行 则含此直线所作的任意平面均符合题意 1 作1 3 a b 13 ab 3 3 2 2 作图 2 任作12 1 2 则平面 平行于直线AB 分析 一 直线和平面平行 例2判断直线AB与平面 是否平行 只要判断能否在平面内找到一条与AB直线平行的直线即可 有则平行 否则不平行 1 在平面内取直线 D 使1 d a b a b a b 1 1 作图 2 连接1d 1d与ab不平行 平面 与直线AB不平行 分析 X O 2 3 2 3 d d 二 平面与平面平行 几何条件 如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别对应平行 则两平面平行 L1 L2 L3 L4 L1 L2 L3 L4 R P 二 平面与平面平行 举例含点A1作平面平行定平面 A2B2 A2C2 b 1 c 1 c1 b1 只要含点A1作相交直线分别与A2B2和A2C2平行即可 1 作a 1b 1 a 2b 2 a1b1 a2b2 作图 则平面 A1B1 A1C1 与平面 A2B2 A2C2 平行 分析 2 作a 1c 1 a 2c 2 a1c1 a2c2 a c e b b a d d f c f e k h k h O X m m 由于ek不平行于ac 故两平面不平行 例1判断平面ABDC与平面EFHM是否平行 已知AB CD EF MH 例2试判断两已知平面ABC和DEF是否平行 平行 二 平面与平面平行 特殊位置平面的平行 两投影面垂直面平行 在它们所垂直的投影面上 它们的积聚性投影相互平行 p Q P Q p q 0 5 2相交问题 概述 一 特殊位置平面与直线或平面相交 二 一般位置直线和平面相交 三 两一般位置平面相交 概述 直线和平面 平面和平面若不平行就必相交 基本问题 性质 求共有点的方法 1 利用积聚性 确定交点的已知投影直接作图 2 通过辅助平面作图 1 求交点 交线 2 判别可见性 共有点 共有线 求交点 求直线和平面的共有点 求交线 求出两个共有点 然后连线 一 一般位置直线与特殊位置平面相交 利用积聚性投影作图 k k 例1求直线AB与平面 CDE的交点 分析 K k 作图 从属性 利用积聚性投影作图 k k 可见性判别 方法1 利用重影点 2 1 1 2 k b 可见 线段描粗 k 2 不可见 画细虚线 例1求直线AB与平面 CDE的交点 2在前 方法2 一 特殊位置平面与一般位置直线相交 一 一般位置直线与特殊位置平面相交 利用积聚性投影作图 k k 可见性判别 方法2 根据空间位置关系 前 可见 界 V投影投射方向 K k 例1求直线AB与平面 CDE的交点 解题完毕 二 一般位置平面与特殊位置平面相交 例2求两平面 ABC与 DEF的交线 利用积聚性投影作图 分析 DEF为铅垂面 交线的H投影已知 根据从属性 求交线的V投影 a b c k l l k K L k l 一 特殊位置平面与直线或平面相交 利用积聚性投影作图 判别可见性 根据空间位置关系判别 前 可见 后 不可见 界 例2求 ABC与 DEF两平面的交线 k l l k 解题完毕 V面投影投射方向 二 一般位置平面与特殊位置平面相交 k 例3求两平面 EFG和 ABCD的交线 利用积聚性投影作图 分析 EFG为水平面 k l l 交线的V投影已知 根据从属性 求交线的H投影 k L 二 一般位置平面与特殊位置平面相交 利用积聚性投影作图 判别可见性 根据空间位置关系判别 上 可见 下 不可见 H投影投射方向 界 例3求两平面 EFG和 ABCD的交线 解题完毕 k l 求作交线的步骤 1 含直线DE作辅助平面 2 求辅助平面与平面ABC的交线 3 求交线与已知直线DE的交点 三 一般位置直线和平面相交 三 一般位置直线和平面相交 已知平面 辅助平面法作图过程 1 包含直线作辅助平面 2 求辅助平面与已知平面的交线 3 求交线与已知直线的交点 已知直线 辅助平面 交点 辅助平面的位置原则 特殊位置平面 引 求直线DE与 ABC平面的交点 辅助平面法 三 一般位置直线和平面相交 PV 1 2 4 3 k k 作图过程 1 包含直线DE作正垂面P 或铅垂面 2 求P平面与 ABC平面的交线 并确定交点K 3 利用重影点判别可见性 引 求直线DE与平面 ABC的交点 辅助平面法 直线V投影的可见性 直线H投影的可见性 解题完毕 三 一般位置直线和平面相交 PV k k 方法一分析 将点A与直线 构成平面 求直线 与该平面的交点K 连线AK必与直线 相交 交点为B K B 投影作图 b b 例2包含点A作直线AB使与两交叉直线 相交 解题完毕 四 两一般位置平面相交 求交线的方法 1 线面相交法 2 三面共点法 四 两一般位置平面相交 判别可见性 四 两一般位置平面相交 用三面共点法求两平面的交线 四 两一般位置平面相交 用三面共点法求两平面的交线 四 两一般位置平面相交 5 3垂直问题 一 直线和平面垂直 二 平面与平面垂直 一 直线和平面垂直 如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直 则直线与该平面垂直 A B D C L 直线和平面垂直的条件 定理 直线与平面垂直 则该直线必垂直于平面上的任何直线 LK 平面P则 LK 水平线ABLK 正平线CD 一 直线和平面垂直 定理1 若一直线垂直于一平面 则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影 直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影 一 直线和平面垂直 定理2 若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影 直线 逆 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影 则直线必垂直于该平面 一 直线和平面垂直 一 直线和平面垂直 例1含点E作直线垂直 ABC 并求垂足 分析 再求EF与 ABC的垂足K 先过E求EF垂直 ABC 最后判别可见性 一 直线和平面垂直 例1含点E作直线垂直 ABC 并求垂足 2 2 1 1 3 4 4 3 k k f f 解题过程 4 含EF作铅垂面QH 求垂足K 1 在平面内取正平线C c2 OX 2 在平面内取水平线A a 1 OX 3 过e作ef a1 过e 作e f c 2 5 判别可见性 则EF垂直 ABC 解题完毕 一 直线和平面垂直 例2已知AB BC 完成bc 分析 解题思路 1 过B作平面P AB 2 使C点在P面内 则BC在P面内 AB BC 一 直线和平面垂直 2 c 2 1 1 3 4 4 3 解题过程 4 由从属性在34上定点c 得bc 1 作水平线B 垂直AB b1 ab 2 作正平线B 垂直AB b 2 a b 3 过C在B 内取线 即过c 在b 1 2 内取3 4 例2已知AB BC 完成bc 平面P以相交直线 B B 表示 解题完毕 二 两平面垂直 如果一个平面过另一平面的垂线 这两平面垂直 定理 两平面相垂直 两平面不垂直 反之 如果两平面垂直 则含第一个平面内一点所做垂直于第二个平面的直线 必在第一个平面内 二 两平面垂直 二 两平面垂直 例3含点A作平面 平面 b b a 1 c c 分析 2 无穷解 1 含A作直线垂直已知平面 作图 1 在 内取水平线 正平线 2 过A作直线AB垂直该水平线 正平线 3 过A任作直线AC 相交直线ABXAC所决定的平面为所求 5 4 5 4 解题完毕 例4已知由平行两直线AB和CD给定的平面 试判断直线MN是否垂直于该平面 直线MN不垂直于该平面 二 两平面垂直 例5试判断 KMN与相交两直线AB和CD所给定的平面是否相垂直 不垂直 二 两平面垂直 第六章投影变换 6 2旋转法 略 6 1换面法 6 3综合问题解题示例 一般位置 换面法 特殊位置 换面法 特殊位置 一般位置 换面法 特殊位置 一般位置 换面法 X1 一 换面法概念 换面法的概念 在V H投影体系中 AB为一般位置直线 增设新投影面V1 使V1 H 且 直线AB 在V1 H新投影体系中 AB为投影面平行线直线 AB在新投影面上的投影反映实长及对H面的倾角 建立新投影系 这种增设新投影面 用新投影取代原旧投影求解的方法称为换面法 二 换面法概念 新投影面的设立条件 1 新投影面必须垂直原V H投影体系中的某一投影面 如V1 V1 H V1 AB直线 在V1 H投影系中 AB的V1面投影反映实长及对H面的倾角 2 新投影面必须处于有利于解题的位置 X1 二 换面法概念 有关名词术语 新 旧 不变投影间关系 新投影面所垂直的投影面称 不变投影面 其上的投影称 不变投影 不变投影面与新投影面的交线称 新投影轴 被更换的投影面 旧投影面 其上的投影称 旧投影 与不变投影面的交线称 旧投影轴 新增加的投影面称 新投影面 其上的投影称 新投影 二 点的换面 1 点的一次换面 V1面替代V面 新投影a1 不变投影a 旧投影a V1面 新投影面 V面 旧投影面 H面 不变投影面 提示 点在V1 H体系中的投影 不变投影 新投影 旧投影 1 按照解题需要确定新轴位置 2 由不变投影引细实线垂直新轴并延长 3 在上述所画的细实线上量取旧投影到旧轴的长度截取新投影到新轴的长 确定新投影 特性 1 新投影与不变投影的连线垂直于新轴 2 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离 二 点的换面 点在V H1体系中的投影 旧投影 不变投影 新投影 二 点的换面 二 点的换面 2 点的二次换面 aX1 a 1 aX2 X2 X1 a2 V H面交替更换 实现多次换面以满足解题需要 即 x1 X2 V1 H V1 H2 V3 H2 V H X O 三 换面法解决的基本问题 换面法解决有关直线的两个基本问题 1 将一般位置直线变为投影面平行线 2 将一般位置直线变为投影面垂直线 换面法解题的关键 新投影面的设立 换面法解决有关平面的两个基本问题 3 将一般位置平面变为投影面垂直面 4 将一般位置平面变为投影面平行面 1 把一般位置直线变为投影面平行线 求 角和实长如何定新轴 例1求AB线段的实长及 作图要点 a 1 b 1 X1 ab X1 都与不变投影面有关 X1轴平行不变投影 求得线段对不变投影面的倾角 1 把一般位置直线变为投影面平行线 例2求AB线段的实长及 作图要点 a1 b1 X1 a b X1 V面应为不变投影面 X1轴平行不变投影a b 求得线段对V投影面的倾角 分析 1 把一般位置直线变为投影面平行线 O X1 a1b1 分析 AB为正平线 则设H1面 AB A 2 把一般位置线变为投影面垂直线 分析 AB为正平线 则设H1面 AB O A B a b a b X1 X1 a1 b1 作图要点 X1 a b a1b1 2 把一般位置线变为投影面垂直线 X2 x1 分析 AB一般位置线 需要二次换面 先把一般位置直线变为投影面平行线 再把投影面平行线变为投影面垂直线 a 1 b 1 a2 b2 2 把一般位置线变为投影面垂直线 x2 作图要点 第一次换面X1 ab 或a b a a X b b x1 第二次换面X2 实长投影 如a 1b 1 2 把一般位置线变为投影面垂直线 3 把一般位置平面变为投影面垂直面 例1换面法求 ABC平面对V面的倾角 a b c a c b 作图分析 X 一平面垂直另一平面内的一直线 则两平面垂直 X1 D d d 例1换面法求 ABC平面对V面的倾角 a b c a c b a1d1 b1 c1 作图要点 1 在 ABC内取正平线 如AD 2 作X1 a d 求新投影 作图分析 d d X1 X 新投影与X1夹角即 X1 O D 3 把一般位置平面变为投影面垂直面 X1 铅垂面 ABC实形 将垂直面变成平行面需要几次换面 一次换面 4 把一般位置平面变为投影面平行面 例2求平面 ABC的实形 作图要点 1 在 ABC内取投影面平行线 如正平线 如AD 2 作X1 a d 求积聚性投影 分析 3 作X2 a d 求得平面实形 d d X1 X2 a1d1 b1 c1 a 2 c 2 b 2 求实形即将平面变换为投影面平行面 需两次换面 O 4 把一般位置平面变为投影面平行面 在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长 AB PKL P 如何将AB变换成投影面垂直线 投影分析 如何确定新投影轴的位置 如何返回原投影面体系 例1求点K到直线AB之距 1 将AB变为平行线 2 将AB再变为垂直线 X1 b1 k1 k2 X2 l1 l l X1 ab k1l1 X2 H V1 V1 H2 a2 b2 l2 a1 X2 a1b1 四 换面法例题 例2 ABC与 ABD夹角为60 求a d b d 空间分析 当两平面的交线AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角 投影分析 1 将AB变为投影面平行线新投影轴X1 ab 2 将AB变为投影面垂直线新投影X2垂直a1b1 c1 a1 b1 X1 a2 b2 H P1 d1 d X2 P1 H2 c2 d2 60 四 换面法例题 例3过点A作直线与BC相交成60 X1 b1 c1 a1 X2 a2 b2 c2 m2 n2 m1 n1 m m n n H V1 V1 H2 空间分析 在实形图上直接反映直线夹角大小 实质是求实形问题 返回到原投影面体系 四 换面法例题 例4已知 BAC为60 求作AC的正面投影 解 1 换面将三角形 BAC变换为投影面平行面 V1面投影反映该面实形 3 将c1 返回原体系 得c 连a c 四 换面法例题 空间分析 解题思路 2 两相交直线BC AB确定的平面即为所求 1 过直线AB上任一点B作平面DEF的垂线 例5 过线段AB作一平面垂直于平面DEF 四 换面法例题 例5过线段AB作一平面垂直于平面DEF 解题步骤 5 将b1 c1 返回原体系 四 换面法例题 例6已知点K到平面ABC的距离为15mm 求作点K的水平影 有两解 解 1 将 ABC变换成投影面垂直面a1 b1 c1 2 距面a1 b1 c1 15mm作平行线 按投影变换规律求出k1 由此求出水平投影k 四 换面法例题 例7已知直线AB垂直于平面 EFG 且点A距平面为30mm 求作 EFG的正面投影 分析 一次换面使AB V1投影面 则 DEF必 V1面 且距点A为30mm 即a1 b1 g1 e1 f1 返回原体系得解 四 换面法例题 例8已知矩形ABCD一边的两面投影和其邻边的一个投影 画该矩形的两面投影图 分析 AB BC 其中AB已知 将其变换为投影面平行线 在新投影体系中利用直角投影定理求作BC 再依对边平行补全该矩形 解 1 将AB变换为投影面平行线 3 作c 2 在新投影面V1中作b1 c1 b1 a1 根据c 的Z坐标确定c1 4 依对边平行补全矩形的投影 四 换面法例题 6 3综合问题解题示例 综合问题解题示例 求解的问题要同时满足几个几何条件 所用的作图方法也不限于某一种基本作图法 具体解题时 有时要结 轨迹 的概念进行思考 轨迹 满足某一条件的所有解的集合 可用直线 平面 圆以及以后还要学到的圆柱面 圆锥面 球面等来表示 1 首先要进行空间几何关系的分析 2 其次理清解题思路 确定解题的具体路径和步骤 3 最后按步骤运用各种基本作图方法进行投影作图 综合问题解题示例 必须熟悉以下基本作图问题 1 含定点或直线作平面 2 在平面内取点 线 3 求直线和平面的交点 4 包含点作直线平行于定平面 5 包含点作直线垂直于定平面 6 包含点作平面垂直于定平面 7 换面法解决的四个基本作图问题 空间分析 例1 试过定点A作直线与已知直线EF正交 基本问题解题示例 例1试过定点A作直线与已知直线EF正交 解题步骤 在V H投影体系中直接解题 基本问题解题示例 例2试过定点A作直线与已知直线EF正交 解题步骤 2 点A随之变换 应用换面法在H V1体系中解题 基本问题解题示例 例3求两平行直线AB和CD之间的距离 在V H投影体系中直接解题 解题步骤 基本问题解题示例 例4求两平行直线AB和CD之间的距离 应用换面法在H V1体系中解题 应用换面法在V1 H2体系中解题 解题步骤 解题步骤 基本问题解题示例 例5平行四边形ABCD给定一平面 试求点S至该平面的距离 解题步骤 2 点S随之变换 空间分析 基本问题解题示例 解题思路 例6求直线AB与平面DEF之间的夹角 经3次变换投影面 在V3投影面中求作角 基本问题解题示例 例6求直线AB与平面DEF之间的夹角 解题思路 例7求两平面之