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二重积分的计算 或记为 或记为 利用直角坐标系计算二重积分 1 2 X 型区域 Y 型区域 例1计算下列二重积分 解原式 因为被积函数没有对称性 即 例1计算下列二重积分 先积后积如何 解原式 计算麻烦 例1计算下列二重积分 先积后积 要用两次分部积分 解原式 例1计算下列二重积分 先积后积如何 解原式 要分成两部分之和 例1计算下列二重积分 先积后积 要分作两部分计算 解 小结 化二重积分为二次积分时 积分次序的确定应考虑积分区域的形状 还应考虑积分计算的难度与方便 例2计算下列二次积分 解原式 原有积分次序不可求 例2计算下列二次积分 解 原式 积分区域D可表示为 例3计算下列立体的体积 解 例3计算下列立体的体积 解 第二类换元积分法 有些二重积分 其积分区域的边界曲线用极坐标表示较为方便 或被积函数用极坐标表示比较简单 这时可考虑利用极坐标计算 演示 被积函数可用极坐标表示为 面积元素如图所示 于是 极坐标下二重积分为 可表示为 参考直角坐标系下化二重积分为二次积分的做法 可得 利用极坐标系计算二重积分 例3计算下列立体的体积 解立体在xoy面内的投影区域D可表示为 解 解 解 解积分区域D可表示为 另一方面 一方面 例6求 所以
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