高二第二学期月考数学试卷(理科)及答案.doc

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则M中元素的个数为（） A.3B.4C.5D.62.已知i是虚数单位，则复数z = 2-i4+3i在复平面内对应的点所在的象限为（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.曲线y = x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（） A.7B.6C.5D.44.（x-1x）9展开式中的常数项是（） A.-36B.36C.-84D.845.已知命题p：a0（0，+），a02-2a0-30，那么命题p的否定是（） A.a0（0，+），a02 - 2a0 -30 B.a0（-，0），a02 - 2a0 -30 C.a（0，+），a2 - 2a -30 D.a（-，0），a2 - 2a -306.已知F1，F2是双曲线（a0，b0）的下、上焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（） A.2B.2C.3D.37.某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（） x24568y2535m5575A.50B.55C.60D.658.若f（x）=x2 - 2x- 4lnx，则0的解集（） A.（0，+）B.（0，2） C.（0，2）（-，-1）D.（2，+）9.设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（） A.直角三角形B.钝角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a1 = - 11，a4 + a6= - 6，则当Sn取最小值时，n等于（） A.6B.7C.8D.911.由曲线y=x，直线y = x - 2及y轴所围成的图形的面积为（） A.103B.4C.163D.612.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+1，f（0）= 4，则不等式ex f（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（） A.（0，+） B.（-，0）（3，+） C.（-，0）（0，+） D.（3，+）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量XN（，2），且P（X1）=12， P（X2）=p，则P（0X1）= _ 14.已知函数f（x）=13x3+ax2+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是 _ 15.已知函数，则f（4）= _ 16.观察下列一组等式： sin230+cos260+sin30cos60 = 34， sin215+cos245+sin15cos45 = 34， sin245+cos275+sin45cos75 = 34， 那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： _ 三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，3sinCcosC - cos2C = 12，且c=3 （1）求角C （2）若向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，求a、b的值 18.已知正数数列 an 的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn=an+1 （）求数列 an 的通项公式； （）设，求数列 bn 的前n 项和Bn 19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱） （）求在1次游戏中获奖的概率； （）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X） 20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AC=23，AA1=3，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D （）求证：BDA1C （）求二面角B-A1D-C的大小 21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点F1的坐标为（-3，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，MF1F2的周长等于4+23 （1）求椭圆C的方程； （2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OAOB（其中O为坐标原点），求直线l的方程 22.已知函f（x）= ax2 - ex（aR） （）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明； （）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2） （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：（注：e是自然对数的底数） 【解析】 1. 解：因为集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB， 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M中元素只有：5，6，7，8共4个 故选B 利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力 2. 解：复数z=2-i4+3i=(2-i)(4-3i)(4+3i)(4-3i)=5-10i25=15-25i在复平面内对应的点(15，-25)所在的象限为第四象限 故选：D 利用复数的运算法则及其几何意义即可得出 本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题 3. 解：由题意知，y=x2+3x，则y=2x+3， 在点A（2，10）处的切线的斜率k=4+3=7， 故选：A 根据求导公式求出y，由导数的几何意义求出在点A（2，10）处的切线的斜率k 本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题 4. 解：（x-1x）9展开式的通项公式为Tr+1=C9r（-1）rx9-3r2，令9-3r2=0， 求得r=3，可得（x-1x）9展开式中的常数项是-C93=-84， 故选：C 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p：a0（0，+），a02-2a0-30， 那么命题p的否定是：a（0，+），a2-2a-30 故选：C 根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p的否定命题p即可 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目 6. 解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=abx，则F2到渐近线的距离为bca2+b2=b 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，|MF2|=2b，A为F2M的中点， 又0是F1F2的中点，OAF1M，F1MF2为直角， MF1F2为直角三角形， 由勾股定理得4c2=c2+4b2 3c2=4（c2-a2），c2=4a2， c=2a，e=2 故选：B 首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 7. 解：由题意，x.=2+4+5+6+85=5，y.=25+35+m+55+755=38+m5， y关于x的线性回归方程为y=8.5x+7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， 38+m5=8.55+7.5， m=60 故选：C 计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点属于基础题 8. 解：函数f（x）=x2-2x-4lnx的定义域为x|x0， 则f（x）=2x-2-4x=2x2-2x-4x， 由f（x）=2x2-2x-4x0， 得x2-x-20， 解得-1x2，x0， 不等式的解为0x2， 故选：B 求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案 本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题 9. 解：ABC的三内角A、B、C成等差数列， B=60，A+C=120； 又sinA、sinB、sinC成等比数列， sin2B=sinAsinC=34， 由得：sinAsin（120-A） =sinA（sin120cosA-cos120sinA） =34sin2A+121-cos2A2 =34sin2A-14cos2A+14 =12sin（2A-30）+14 =34， sin（2A-30）=1，又0A120 A=60 故选D 先由ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得B=60，A+C=120；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinAsinC，结合即可判断这个三角形的形状 本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得B=60，A+C=120，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题 10. 解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以Sn=-11n+n(n-1)22=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值 故选A 条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得 本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力 11. 解：联立方程y=x-2y=x得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为： S=04(x-x+2)dx=(23x32-12x2+2x)|04=163故选C 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=x，直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解 本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题 12. 解：设g（x）=exf（x）-ex，（xR）， 则g（x）=exf（x）+exf（x）-ex=exf（x）+f（x）-1， f（x）+f（x）1， f（x）+f（x）-10， g（x）0， y=g（x）在定义域上单调递增， exf（x）ex+3， g（x）3， 又g（0）e0f（0）-e0=4-1=3， g（x）g（0）， x0故选：A 构造函数g（x）=exf（x）-ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 13. 解：随机变量XN（，2），可知随机变量服从正态分布，X=，是图象的对称轴，可知P（X1）=12， P（X2）=p，P（X0）=p，则P（0X1）=12-p 故答案为：12-p 直接利用正态分布的性质求解即可 本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查 14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点， 则方程f（x）=0有两个不相等的实数根， 即有=4a2-40，解得，a1或a-1 故答案为：（-，-1）（1，+） 求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到 本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题 15. 解：由f（x）=f（4）cosx+sinx，得f（x）=-f（4）sinx+cosx， 所以f（4）=-f（4）sin4+cos4， f（4）=-22f（4）+22 解得f（4）=2-1 所以f（x）=（2-1）cosx+sinx 则f（4）=（2-1）cos4+sin4=22（2-1）+22=1 故答案为：1 由已知得f（4）=-f（4）sin4+cos4，从而f（x）=（2-1）cosx+sinx，由此能求出f（4） 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用 16. 解：观察下列一组等式： sin230+cos260+sin30cos60=34， sin215+cos245+sin15cos45=34， sin245+cos275+sin45cos75=34， 照此规律，可以得到的一般结果应该是 sin2x+sinx）cos（30+x）+cos2（30+x），右边的式子：34， sin2x+sinxcos（30+x）+cos2（30+x）=34 证明：sin2x+sinx（32cosx-12sinx）+（32cosx-12sinx）2 =sin2x+32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-32sinxcosx+14sin2x =34sin2x+34cos2x=34 故答案为：sin2x+sinxcos（30+x）+cos2（30+x）=34 观察所给的等式，等号左边是sin230+cos260+sin30cos60，3sin215+cos245+sin15cos45规律应该是sin2x+sinxcos（30+x）+cos2（30+x），右边的式子：34，写出结果 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力 答案和解析【答案】 1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D10.A11.C12.A13.12-p 14.（-，-1）（1，+） 15.116.sin2（30+x）+sin（30+x）cos（30-x）+cos2（30-x）=34 17.解：（1）3sinCcosC-cos2C=12， 32sin2C-1+cos2C2=12 sin（2C-30）=10C180 C=60 （2）由（1）可得A+B=120 m=(1，sinA)与n=(2，sinB)共线， sinB-2sinA=0sin（120-A）=2sinA 整理可得，cosA=3sinA即tanA=33 A=30，B=90 c=3 a=3，b=23 18.解：（）由2Sn=an+1，n=1代入得a1=1， 两边平方得4Sn=（an+1）2（1）， （1）式中n用n-1代入得4Sn-1=(an-1+1)2&(n2)（2）， （1）-（2），得4an=（an+1）2-（an-1+1）2，0=（an-1）2-（an-1+1）2，（3分） （an-1）+（an-1+1）（an-1）-（an-1+1）=0， 由正数数列an，得an-an-1=2， 所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，有an=2n-1（7分） （）bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)， 裂项相消得Bn=n2n+1（14分） 19.（I）解：设“在X次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3， 又P（A3）=C32C21C52C32=15，P（A2）=C32C22+C31C21C21C52C32=12， 且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=12+15=710； （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.XB(2，710) 所以X的分布列是 X012P9100215049100X的数学期望E（X）=09100+12150+249100=75 20.（）证明：分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， AC=23，AA1=3，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D， B（2，0，0），C（0，23，0），A1（0，0，3），D（32，32，3） 则BD=(-12，32，3)，A1C=(0，23，-3)， BDA1C=-120+3223-33=0 BDA1C； （）解：设平面BDA1的一个法向量为m=(x，y，z)，BA1=(-2，0，3)，BD=(-12，32，3)， mBD=-12x+32y+3z=0mBA1=-2x+3z=0，取z=2，则m=(3，-3，2)； 设平面A1DC的一个法向量为n=(x，y，z)，DC=(-32，332，-3)，CA1=(0，-23，3)， nCA1=-23y+3z=0nDC=-32x+332y-3z=0，取y=1，得n=(-3，1，2) cosm，n=mn|m|n|=-2422=-28 二面角B-A1D-C的大小为arccos28 21.解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点F1的坐标为（-3，0）， F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，MF1F2的周长等于4+23， c=32a+2c=4+23a2=b2+c2， 解得a=2，b=1， 椭圆C的方程为x24+y2=1 （2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立x24+y2=1y=kx-2，得（1+4k2）x2-16kx+12=0， =（-16k）2-48（1+4k2）0， 由根与系数关系得x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2， y1=kx1-2，y2=kx2-2， y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）