内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《综合法、分析法与反证法》课件.ppt

第二十三讲综合法 分析法与反证法 走进高考第一关考点关 回归教材 1 常用的直接证明方法有综合法与分析法 2 综合法是从原因推导到结果的思维方法 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 具体地说 综合法是从已知条件出发 经过逐步的推理 最后达到待证结论 分析法是从待证结论出发 一步一步寻求结论成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 3 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 考点训练 1 2009 湖南卷 如图 d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 则 答案 a 2 2009 陕西卷 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn 则x1 x25 5xn等于 答案 b 3 2009 福建卷 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 a m 且l1 b m l1且n l2c m 且n d m 且n l2 答案 b 解析 根据面面平行的判定定理及充要条件的定义 可判断b为 的充分不必要条件 4 2009 安徽一模 设a b c 0 则 a 都不大于 2b 都不小于 2c 至少有一个不大于 2d 至少有一个不小于 2 答案 c 解析 6 三者不能都大于 2 5 2009 广东三模 已知m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 a 若m n 则m nb 若 则 c 若m m 则 d 若m n 则m n 答案 d 解析 由定理 垂直同一平面的两条直线平行 知 应选d 解读高考第二关热点关 题型一综合法 点评 综合法是一种由因导果的证明方法 它的思维特点是 从已知入手 应用公理 定理 性质等进行严格推理 得到待证的结果 用综合法证明不等式常用的重要不等式有 变式1 已知a b c 0 求证 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 分析 不等式的a b c为对称的 且两边为和与积的关系 故先从均值定理入手 再根据不等式性质推导出要证明的结论 证明 因为a2 b2 2ab 所以 a2 b2 a b 2ab a b 所以a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2所以a3 b3 a2b ab2 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 bc2 b2c a2c ac2 题型二分析法 证明 本题含有绝对值号 可用分析法证明 a b a b 0 要证 只需证 a b a b 平方得 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 b 2 2a b 即 a b 2 0 显然成立 故原不等式得证 点评 本题从要证明的结论出发 探求使结论成立的充分条件 最后找到恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或是要证命题的已知条件时 命题得证 这正是分析法证明问题的一般思路 一般地 含有根号 绝对值的等式或不等式 若从正面不易推导时 可以考虑用分析法 分析 所给条件简单 所证结论复杂 一般采用分析法 题型三反证法 分析 本题结论以 至少 形式出现 从正面思考有多种形式 不易入手 故可用反证法加以证明 点评 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 2 利用反证法证明问题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明定理 否则 将出现循环论证的错误 变式3 a b c为实数 且a b c 1 证明 两个一元二次方程x2 x b 0 x2 ax c 0中至少有一个方程有两个不相等的实数根 分析 本题若直接分析要分两种情况讨论 要证明两次 过程比较繁锁 可以从结论的对立面分析 即两个方程都没有两个不等的实数根 用反证法进行证明 证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根 则 1 1 4b 0 2 a2 4c 0 1 2 1 4b a2 4c 0 a b c 1 b c a 1 1 4 a 1 a2 0 即a2 4a 5 0 但是a2 4a 5 a 2 2 1 0 故矛盾 所以假设不成立 原命题正确 即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根 笑对高考第三关技巧关 1 综合法 反证法在几何中的应用解有关立体几何问题的通法是 结合立体几何图形 通过必要的辅助线 把立体几何问题通过点 线 面的位置关系转化为平面几何问题来解决 例1 2009 辽宁高考题 如图 已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内 m n分别为ab df的中点 1 若cd 2 平面abcd 平面dcef 求mn的长 2 用反证法证明 直线me与bn是两条异面直线 分析 本题主要考查了立体几何中点 线 面的位置关系及其长度问题 同时考查了反证法在立体几何中的应用等 解 1 取cd的中点g 连接mg ng 因为abcd dcef为正方形 且边长为2 所以mg cd mg 2 ng 因为平面abcd 平面dcef 所以mg 平面dcef 可得mg ng 2 证明 假设直线me与bn共面 则ab 平面mben 且平面mben与平面dcef交于en 由已知 两正方形abcd和dcef不共面 故ab 平面dcef 又ab cd 所以ab 平面dcef 而en为平面mben与平面dcef的交线 所以ab en 又ab cd ef 所以en ef 这与en ef e矛盾 故假设不成立 所以me与bn不共面 它们是异面直线 2 证明数列问题 分析 本题主要考查等差数列 等比数列的通项公式与前n项和公式以及一些基本运算能力 考查证明不等式的基本方法 考向精测 2009 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 e f分别是a1b a1c的中点 点d在b1c1上 a1d b1c 求证 1 ef 平面abc 2 平面a1fd 平面bb1c1c 分析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力 推理论证能力 与题图一样 证明 1 由e f分别是a1b a1c的中点知ef bc 因为ef 平面abc bc 平面abc 所以ef 平面abc 2 由三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱知cc1 平面a1b1c1 又a1d 平面a1b1c1 故cc1 a1d 又因为a1d b1c cc1 b1c c cc1 b1c 平面bb1c1c 故a1d 平面bb1c1c 又a1d 平面a1fd 所以平面a1fd 平面bb1c1c 课时作业 二十三 综合法 分析法与反证法 一 选择题 1 用反证法证明 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0有有理根 那么a b c中至少有一个偶数时 下列假设正确的是 a 假设a b c都是偶数b 假设a b c都不是偶数c 假设a b c至少有一个偶数d 假设a b c至多有两个偶数 答案 b 2 若a b c 0 且ab bc ca 1 则下列不等式中正确的是 a a2 b2 c2 2b a b c 2 3c 1a 1b 1c 2d a b c 答案 b 解析 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca a b c 2 3 ab bc ca a b c 2 3 b正确 其它均错 3 下列四个命题中 正确的是 a a b r 则 a b a b b a b r 则 a b a b c 若实数a b满足 a b a b 则ab 0d 若实数a b满足 a b a b 则ab 0 答案 c 解析 特殊值法 取b 0 知a b不成立 当ab 0时 d不成立 或用分析法证明c成立 4 已知m n是两条不重合的直线 是两个不重合的平面 下列命题中正确的是 a 若m n 则m nb m n n m 则m c m 则m d m n m n 则 答案 b 解析 由直线与平面平行的判定定理知 b正确 5 设x 0 y 0 且 则xy的最小值为 a 4b 8c 16d 24 答案 c 二 填空题 答案 a b 7 应用反证法推出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 答案 答案 x y 答案 解析 利用不等式的性质可证得 是真命题 三 解答题 11 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 12 已知函数f x x2 ax b a b r 当实数p q满足p q 1时 试证明 pf x qf y f px qy 对任意x y都成立的充要条件是0 p 1 证明 pf x qf y f px qy p x2 ax b q