平面向量的数量积.doc

平面向量的数量积与平面向量应用举例【知识梳理】一、两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围：向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，180.3向量垂直：如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0. 当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea. 2abab0.3aa|a|2，|a|. 4cos .(为a与b的夹角) 5|ab|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：abba. 2分配律：(ab)cacbc. 3对R，(ab)(a)ba(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2. 2aba1b1a2b20.3|a|. 4cos .(为a与b的夹角)【基础自测】1已知向量a，b和实数，下列选项中正确的有_|a|；|ab|a|b| ；(ab)ab ；|ab|a|b|解析：选|ab|a|b|cos |，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|.2已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为_解析：|b|cos 3cos 120.3设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|_解析：ab，ab0，即x20，x2.a(2,1)，a25，b25，|ab|.4已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：ab23.5已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角_.解析：a(ba)aba22，ab2a23.cos .向量a与b的夹角为.【说明】1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 (2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围 2向量运算与数量运算的区别 (1)若a，bR，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0. (2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc. (3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的 (4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立【考点探究】考点一 平面向量数量积的运算例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x_(2) 在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.解(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30.即183x30，解得x4. (2) 如图所示，()()22|2|292516.【由题悟法】平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解【以题试法】1(1)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1) ，R.若2，则_解析：由题意(1) ，且0，故(1) 222.又|1，|2，代入上式得.(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.又因为e1，e2为单位向量，夹角为，所以b1b23283186.考点二 两平面向量的夹角与垂直例2(1)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为_ (2)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac. a与c的夹角为90.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1. 又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20. k1kabab0. 即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0.又a与b不共线，cos 1.k1.【一题多变】若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，试求a与b的夹角解：设|a|m(m0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0180，所以120，即a，b的夹角为120.【由题悟法】1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系【以题试法】2设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则a(ab)的一个充分不必要条件是()Ax0或2 Bx2 Cx1 Dx2解析：选Ba(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故a(ab)2(x1)220x0或2，故x2是a(ab)的一个充分不必要条件【考点三】平面向量的模例3设向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab|_ 解由a(ab)0，可得aba21，由|ab|，可得(ab)23，即a22abb23，解得b24.故(2ab)24a24abb212，故|2ab|2.由题悟法 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)则|a|.【以题试法】3已知向量a(sin x,1)，b.(1)当ab时，求|ab|的值；(2)求函数f(x)a(ba)的最小正周期解：(1)由已知得ab0，|ab| .(2)f(x)aba2sin xcos xsin2x1sin 2xsin2，函数f(x)的最小正周期为.考点四 平面向量数量积的综合应用例4已知f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)1，a，3，求边长b和c的值(bc)解(1)由题意知，f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，f(x)的最小正周期T，ycos x在2k，2k(kZ)上单调递减，令2k2x2k，得kxk.f(x)的单调递减区间，kZ.(2)f(A)12cos1，cos1.又2Ac，b3，c2.【由题悟法】向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题【以题试法】4(1)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_ (2)若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC为_三角形 解析：(1)由已知条件F1F2F30，则F3F1F2，FFF2|F1|F2|cos 6028.因此，|F3|2.(2)由()(2)0，可知()0，设BC的中点为D，则2，故0.所以.又D为BC的中点，故ABC为等腰三角形【巩固练习】1若向量a(x1,2)和向量b(1，1)平行，则|ab|_解析：依题意得，(x1)210，得x3，故ab(2,2)(1，1)(1,1)，所以|ab|.2已知向量a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_解析:依题意得，向量a在b方向上的投影为.3已知A，B，C为平面上不共线的三点，若(1,1)，n(1，1)，且n2，则n等于_解析：nn()nn(1，1)(1，1)2022.4在ABC中，AB2，AC3，1，则BC_解析：1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B，即94BC222.BC.5已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab的夹角为_解析：将|ab|ab|两边同时平方得ab0；将|ab|a|两边同时平方得b2a2，所以cos . 故=60 6如图，在ABC中，ADAB，|1，则()解析：建系如图设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，(xCxB，yC)， (xB,1)，xCxBxBxC(1)xB，yC，(1)xB，)，(0,1)，.7若|a|2，|b|4，且(ab)a，则a与b的夹角是_解析：设向量a，b的夹角为.由(ab)a得(ab)a0，即|a|2ab0，|a|2，ab4，|a|b|cos 4，又|b|4，cos ，即.向量a，b的夹角为.8已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210.|b|3.9已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45. (1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.解：(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120(n1)n6或n(舍)b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c与b同向，故可设cb(0)(ca)a0，ba|a|20. cb(1,3)10已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直11设在平面上有两个向量a(cos ，