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第二章数学建模举例 数学建模 Mathematicalmodelling 数学建模是一种数学的思考方法 用数学的语言和方法 通过抽象 简化建立能近似刻画并 解决 实际问题的路径 构建数学模型的基本步骤 识别问题 什么是要探究的问题 要将不同学科对问题的语言陈述用数学方式表达 做出假设 抓住主要因素 降低问题的复杂性 确定所考虑到的因素之间的关系 这包括引入参量 自变量 因变量 构建模型 尽量采用简单的数学工具 主要的方法有机理分析 数据分析和类比仿真 求解或解释模型 结合问题的背景 利用计算机 进行数学的推理 计算 归纳 分析 验证模型 用相应学科的语言解释模型的数学结果 注意 它是否解决或解释了提出的问题 它的适用范围有多大 用实际数据检验该模型 改进模型 分析在假设变动情形下模型结果的变化 尽量减少假设 推广到更一般情形 通过几个数学建模的例子 重点说明 如何做出合理的 简化的假设 如何选择参数 变量 用数学语言确切的表述实际问题 如何分析模型的结果 解决或解释实际问题 或根据实际情况改进模型 例1 管道包扎 问题 怎样用带子包扎管道 使带子全部包住管道 且用料最省 假设 1 直圆管 粗细一致 2 带子等宽 无弹性 3 带宽小于圆管截面周长 4 为省工 用缠绕且不重叠的方法包扎管道 参量 变量 W 带宽 C 圆管截面周长目标1 求省料 省工的缠绕包扎方法 关键是如何在带子起端减去一个合适的直角三角形 使得斜边的长与管子的周长相等 倾斜角 包扎模型 截口 包扎模型 目标2 如果知道直圆管道的长度 用缠绕的方法包扎管道 需用多长的带子 设管道长L 圆管截面周长C 带子宽W 带子长M 带长模型 问题 1 若L 30m C 50cm W 30cm 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上 2 现有带长M1 51m 计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道 缠绕时允许带子互相重叠一部分 应该如何包扎这个管道 计算结果精确到0 001 讨论题 研究如下问题需要做那些假设 研究停车场的照明设施 研究意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间 研究十字路口交通管理 例如 确定黄灯亮的时间长度 研究农产品最佳销售时间 例如 一个农民有一头重量大约是200磅的猪 在上一周猪每天增重约5磅 五天前猪价为70美分 磅 但现在猪价下降为65美分 磅 饲养每天需花费45美分 求出售猪的最佳时间使得净收益最大 例2 桌子摆放 问题 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地 建模证实能在起伏不平的地面上放稳桌子 即能让桌子的四个脚同时着地 假设 1 方桌的四条腿等长 四脚连线呈平面正方形ABCD 2 地面的起伏是连续变化的 3地面相对平坦 使得方桌在任何位置至少有三个脚同时着地 参数 变量 1 如何描述 桌子的四个脚同时着地 记xA xB xC xD分别为脚A B C D与地面的距离 当xA xB xC xD 0时 桌子的四个脚同时着地 2 如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地 定位 方桌的对称中心O位于平面坐标原点 移动 桌子围绕中心转动 记 为AC与X轴的夹角 则可用 表示桌子移动的位置 于是桌子转动时 4个桌脚与地面的距离是 的函数 由中心对称性知 只需两个距离函数表示桌子的状态 令f xA xC g xB xD 如果在位置 桌子四脚落地 则有f g 0 根据假设2知f 和g 是连续函数 根据假设3有f g 0 根据假设1有f 1 g 0 和g 1 f 0 其中 1 0 900模型 已知f 和g 是连续函数 f g 0 若f 0 0 g 0 0 则存在 使得f g 0 证明 因为f 1 g 0 0 g 1 f 0 0 令h f g 则h 连续 且h 0 0所以 根据连续函数的介值定理知 存在 0 1使得h 0因此f g 0 问题 小王早上8 00从A城出发于下午5 00到达B城 次日早上8 00他又从B城出发沿原路返回并于下午5 00准时到达A城 试用数学模型说明A B城之间定有一个位置 小王在往返A B二城的途中于相同的时间到达该位置 讨论题 如何用数学方式表达 研究下列问题 在城市规划中 合理的设置救火站 在农场 合理安排农作物的种植 一种新药对控制人口中的某种疾病是否有效 两军作战 一方凭借武器精良以少胜多 十字路口绿灯亮30秒 最多可以通过多少辆汽车 例3 交通路口红绿灯 假设 1 单侧 单车道 直行 不拐弯 2 秩序良好 不堵车 3 车辆相同 从静止开始做匀加速运动 4 车距相同 启动延迟时间相等 参数 变量 车长L 车距D 加速度a 启动延迟T在时刻t第n辆车的位置Sn t 用数轴表示车辆行驶道路 数轴的正向为汽车行驶方向 数轴原点为红绿灯的位置 于是 当Sn 30 0时 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯 否则 结论相反 模型 1 停车位模型 Sn 0 n 1 L D 2 启动时间模型 tn n 1 T3 行驶模型 Sn t Sn 0 1 2a t tn 2 t tn 参数估计 L 5m D 2m T 1s a 2m s解 Sn 30 7 n 1 30 n 1 2 0得n 19 且t19 18 30 t成立 答案 最多19辆车通过路口 模型改进 考虑到城市车辆的限速 在匀加速运动启动后 达到最高限速后 停止加速 按最高限速运动穿过路口 最高限速校园内v 15公里 小时 4米 秒 长安街上v 40公里 小时 11米 秒 环城路上v 60公里 小时 17米 秒 限速行驶模型 最高限速v 11m s达到最高限速时间tn v a tn 5 5 n 1限速行驶模型 Sn t Sn 0 1 2a tn tn 2 v t tn t tn Sn 0 1 2a t tn 2 tn t tn Sn 0 tn t 解 Sn 30 7 n 1 5 5 2 11 30 5 5 n 1 0得n 17且t17 5 5 16 21 5 30成立 结论 该路口最多通过17辆汽车 问题1 分析绿灯亮后汽车开始以最高限速穿过路口的时间 问题2 给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型 问题3 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确 10 位置 走向 车道数 时间 绿灯时间 通过的车数 至少三次 数据不同的原因 20 模型的假设与实际是否一致 模型的参数与实际是否一致 30 模型的计算结果与观测结果是否一致 为什么 不一致时 如何修改模型 例4 人员疏散 建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间 假设 1 有一排k间教室 走道只有一个出口 2 人员撤离时 有序 单行 间隔 均匀 匀速 3 室内人员排成一队列的时间不计 第一个人到达教室门口的时间不计 t0 0 参数 第k间教室人数为nk 1 教室距离为Lk m 门宽为D m 行进速度为v m s 人体间隔为d m 如果只有第k间教室有人需要撤离 第k间教室疏散时间为Tk s 模型 K 1情形 T1 n1d L1 vK 2情形 当第二间教室人不需等待时 即 L2 D n1 1 d T12 T2 n2d L1 L2 D v 当第二间教室人需要等待时 即 L2 D n1 1 d 等待时间T n1 1 d v L2 D vT12 T2 T n1 n2 1 d L1 v 讨论 模型 T nd L v 分析 v 则T d 则T 令d 0 则有T L v 疏散时间与人数无关 假设中忽略了人体的厚度 补充假设 4 人体厚度相同w改进模型T n d w L v 若d 0 则T nw L v合理吗 继续补充假设 5 速度与间隔有关v v d 模型T n d w L v d 其中v v d 应满足 v d 是d的单调非减函数 v 0 0且当d充分大时 v逼近最大值vmax 结论 存在间隔d 和相应的速度v 使得疏散的时间最短 讨论 1 给出函数v d 应满足的一个充分条件 保证存在唯一的间隔d 使得疏散的时间最短 2 通过实验观测给出函数v d 观测数据 间隔 厘米 运动速度 米 秒 拟合函数 V ad b d 7 83d 75 60 d 讨论题 一个农民有一头重量大约是200磅的猪 在上一周猪每天增重约5磅 五天前猪价为70美分 磅 但现在猪价下降为65美分 磅 饲养每天需花费45美分 求出售猪的最佳时间 模型 净收益对时间的依赖关系P t 0 8t 0 05t2 求最佳出售时间 使净收益最高 数学问题 求函数的极大值令P t 0则有0 8 2 0 05t 0得t 8P 8 0 8 8 0 05 82 3 2结论 饲养8天后出售 净收益最高为3 2美元 1 模型对参数的灵敏度分析 结论对参数的敏感程度 结论 最佳售猪时间t 所依赖的参数 猪的初始重量w0 猪的现实价格p0 猪的饲养花费k 猪重的增加速率g 价格降低的速率r 价格变化率r对售猪时间t的影响 价格p t 0 65 rt 净收益P t 0 65 rt 200 5t 0 45t 130最大值点t 7 500r 25r r0 0080 0090 010 0110 012t1511 18 05 53 3 增重率g对售猪时间t的影响 重量w t 200 gt净收益P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t 130最大值点t 5 13g 49 2g g44 555 56t1 8755 28810 2312 08 2 模型的稳健性 一个数学模型称为是稳健的 是指即使这个模型不完全精确 假设不完全切合实际 答案仅仅是某种程度的近似 但其结果仍是可信的 可用的 虽然数学模型力求完美 但这是不可能达到的 一个更确切的说法是数学模型力求接近完美 因此 在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的 1假设对模型的影响关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的 以这些数据 w0 200 w 5 p0 0 65 p 0 01 为依据确定何时售出时 要注意到在未来的几周内w 和p 可能不会保持常数 因此也不会是时间的线性函数 净收益P p t w t 0 45t 130最优解应满足0 P w p wp 0 45 其中w p wp 代表猪价的增长率 第二项代表因价格下降而损失的价值 第一项代表由于猪增重而增加的价值 模型告诉我们 只要猪价比饲养的费用增长快 w p wp 0 45 就应暂不卖出 继续饲养 只要时间不长 在这段时期内w 和p 的变化就不会太大 由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大 2 出售时间对净收益的影响 不难算出 按现有情况 在3天到13天之间出售的净收益的数值都在2美元之上 在今后的几天内 如果猪的增重量降低10 或者出售价格降低了10 为取得最优收益 出售时间应该提前 但是 仍在第8天出售时 净收益的损失不会超过2美元 所以关于售猪时间的结论关于净收益值也是稳健的 结论我们现在能说的只是至少要等8天再出售 对较小的p 接近0 模型建议我们等较长的时间再出售 但我们的模型对较长的时间不再有效 因此 解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间 然后重新估计w0 w p0和p 再用模型重新计算 五 建模要点 明确研究目标 力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索 用假设简化问题 在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点 这是建模成功与否的关键 体现了建模工作的想象力和创造力 进行正确的推理 在无法进行严格的数学推导时 可以使用 不严格 的数学 代之以对问题的分析 归纳 类比 猜测 尝试 事后检验 尽量使用实际资料检验数学结果 并用恰当的学科语言表达数学结果 在建模中 数学决不仅仅是工具 要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的 更深刻的内在规律 数学建模绝不仅仅以应用数学解决一个实际问题为目标 我们更希望揭示基本自然规律 产生新的数学思想和方法 学好数学建模课程的标准是 1 要会 翻译 扩充知识面