现代CAD基础与应用第二章.ppt

机械类专业基础核心课程 机械CAD技术 主讲 刘子建教授汽车楼322 88823080 hncad 助教 周晋超等综合实验楼468 88821726精品课程网站 2020 2 7 生成模型后需要解决的问题 1 如何改变计算机三维模型的形状 2 如何控制计算机三维模型的运动 3 如何得到三维模型的平面视图 4 三维模型的立体视图如何表达 解决三维模型的控制和表达问题 2020 2 7 方法 几何变换 geometricaltransformation 或称为图形变换 graphicstransformation 1 保持图形的拓扑关系不变的线性变换 2 线框模型的变换以顶点的变换为基础 3 表面和实体模型的变换以对控制点的变换为基础 4 曲线和曲面的变换以对参数方程或型值点位置向量的变换为基础 2020 2 7 学习要点 1 熟练掌握基本几何变换及其T矩阵 2 掌握T矩阵各元素的图形变换作用规律 3 已知变换矩阵求取变换的图形结果 4 已知变换后的图形写出变换矩阵 高度关注变换矩阵T元素与图形的关系 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 设计模型变换的基本概念 几何图形 或形体 按某种规则变换成另一几何图形 或形体 的过程称为模型的变换 设计模型变换的基本方法是几何变换 包括二维 三维基本几何变换 齐次变换和它们的组合变换等 投影变换是与画法几何理论相关的图形变换 包括正投影变换 轴测投影变换 透视投影变换等 用来研究和实现几何变换的数学工具是线性代数 主要是矩阵理论 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 变换后的位置向量 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 图形可以用点的位置向量矩阵来表示 点可以用位置向量表示 为了使某一点变换前和变换后的位置向量有如下关系 变换矩阵 变换前的位置向量 不妨令 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 恒等变换 基本几何变换 例如 坐标值没有变化 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 比例变换 基本几何变换 中的 例如 T矩阵主对角线元素影响图形的比例变换 T矩阵的第1列元素影响图形x方向的变换 T矩阵的第2列元素影响图形y方向的变换 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 镜像 对称 变换 基本几何变换 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y x轴对称 关于任意直线对称 镜像变换的本质是通过T矩阵的变换改变了位置向量坐标的正负号 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 错切变换 基本几何变换 副对角线的元素控制错切变换 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换基本算法 1 平面图形的变换 旋转变换 基本几何变换 基本旋转变换是图形绕坐标原点进行旋转的变换 旋转角度的方向 逆时针方向旋转为正 反之为负 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 实现图形的平移变换需要思考的几个问题 1 图形的平移可以用几何变换方法实现吗 2 能否像比例 旋转等变换一样 用2 2的T矩阵实现图形的平移 3 如何发展一种新的变换方法解决平移问题 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 为了实现图形的平移需要改造T矩阵 齐次坐标变换 位置向量增加一维 并使T矩阵由2X2矩阵变成3X3矩阵 可以得到平移后的坐标 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 定义 用N 1维位置向量表示N维位置坐标的方法称为位置向量的齐次坐标表示法 对应的变换矩阵称为齐次坐标变换矩阵 用齐次坐标变换矩阵进行的几何变换称为齐次坐标几何变换 齐次坐标几何变换 请问 比例 错切 镜像 旋转等变换是否也可以用齐次坐标表示 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 齐次坐标变换 齐次坐标变换矩阵的一般形式 左上角2X2矩阵控制基本变换 左下角1X2矩阵控制平移变换 右上角2X1矩阵控制透视变换 右下角1X1矩阵控制全比例变换 齐次坐标变换表达式的一般形式 请问 基本几何变换共计有几种 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 组合变换 问题 如何通过几何变换实现平面图形绕平面上任意点的旋转 需要通过多次基本几何变换才能解决问题 定义 连续多次采用基本几何变换解决问题的方法称为组合变换或级联变换 CompositeTransformation 注意 组合变换包含的先后顺序与进行变换的先后顺序一一对应 不能交换 即变换矩阵的乘积不满足交换律 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 1 平面图形的变换 组合变换 图形绕平面上任意点的旋转可通过组合变换矩阵实现 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 模型的控制 三维几何变换使用4X4的齐次变换矩阵 矩阵中各元素在几何变换中各有什么作用 左上角3X3矩阵控制模型的基本变换 左下角1X3矩阵控制模型的平移变换 右上角3X1矩阵控制模型的透视变换 右下角1X1矩阵控制模型的全比例变换 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 三维模型的比例 错切 镜像 平移变换 如何写出模型关于YOZ面和XOZ面镜射的变换矩阵 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 模型绕坐标轴 X轴 Y轴 Z轴 的旋转变换 请注意矩阵Ty与矩阵Tx Tz之间的区别 请问 模型绕空间任意轴旋转的变换矩阵如何求 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 例题 空间点P绕任意直线AB逆时针旋角度到P 试求P点新坐标 X Y Z 如图 已知以AB为对角线的立方体的长宽高分别为a b c 以及A点坐标 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第一步 注意 以下所有的变换都作用于P点 坐标Oxyz原点O平移到A 得到新坐标系Ax y z 有 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第二步 AB绕x A旋转一个角度到AB2 逆时针 有 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第三步 AB2绕y A旋转一个角度到AB4 顺时针 有 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第四步 此时的AB4与Az 重合 P点绕Az 即AB4 逆时针旋转角度 有 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第五步 按照前述的步骤逆向返回 可得如下三个变换矩阵 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 第六步 上述所有7个矩阵相乘 即为所求的变换矩阵 因而 空间任意点P点绕空间任意直线AB旋转的变换式为 模型绕过原点的任意轴旋转 其变换矩阵如何求 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 2 三维模型的几何变换 几何变换求解的两类问题 第一类问题 已知变换要得到的图形 求变换矩阵 过程 解题方法 确定变换过程 写出矩阵 计算结果 得到总体变换矩阵 第二类问题 已知变换的过程 求变换得到的结果 图形 解题方法 写出描述变换过程的矩阵 计算结果 绘出图形 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 课后作业 2 11已知 ABC各顶点坐标分别为A 10 10 B 10 40 C 40 50 现对其实施如下变换 1 沿x方向平移30 沿y方向平移20 再绕原点旋转900 2 绕原点旋转900 再沿x方向平移30 沿y方向平移20 2 12已知单位立方体各顶点坐标为 A 0 0 0 B 0 0 1 C 1 0 1 D 1 0 0 E 0 1 0 F 0 1 1 G 1 1 1 H 1 1 0 1 求将AG连线旋转至与x轴重合的变换矩阵 并计算出每次旋转的具体角度 2 求将F点绕CG连线正转300度的变换矩阵 并计算出变换后的坐标值 思考与复习题 1 试简述齐次坐标的几何意义 2 阅读复习教材P39 50 预习教材P51 60 2020 2 7 如何用OPENGRIP编程完成几何变换 1 说明矩阵变量命令的格式NUMBER 矩阵变量 数组下标 例 编写程序生成圆 再对其实施平移变换ENTITY cr1 cr2 说明两个实体变量NUMBER mat1 12 说明一维数组变量 对应于4X3矩阵的元素 cr1 CIRCLE 1 2 3 生成一个圆实体cr1mat1 MATRIX TRANSL 5 8 0 变换矩阵赋值 平移 cr2 TRANSF mat1 cr1 对cr1实施变换 得到实体cr2HALT 2020 2 7 如何用OPENGRIP编程完成几何变换 2 基本变换矩阵赋值命令的格式矩阵变量 MATRIX 变换辅词 变换参数3 组合变换矩阵生成 或矩阵相乘 命令的格式矩阵变量 MATRIX 矩阵变量1 矩阵变量2 4 实施几何变换命令的格式实体 TRANSF 矩阵变量 实体集 MOVE TRACRV MOVE 不保留被变换的实体集 缺省则保留TRACRV 扫掠 sweep 表示方法 2020 2 7 变换辅词及参数表 变换类型变换辅词变换参数及说明平移TRANSLdx dy dz比例SCALEs全比例变换 xc yc zc非均匀比例变换旋转XYROTangleYZROTangleZXROTangle镜像MIRRORline或plane 2020 2 7 第5章基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术 第4节GRIP语言图形生成技术 几何实体变换命令 以下式中mat1为矩阵变量 平移变换P129例题5 17mat1 MATRIX TRANSL dx dy dz说明 将几何实体相对于原来的坐标系平移dx dy dz距离 比例变换P129例题5 181 mat1 MATRIX SCALE s说明 将几何实体均匀地放大或缩小s倍 2 mat1 MATRIX SCALE xc yc zc说明 将几何实体非均匀地缩放 其缩放比例沿x y z方向依次为xc yc zc 注 缩放操作是相对于坐标系原点实现的 2020 2 7 第5章基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术 第4节GRIP语言图形生成技术 几何实体变换命令 旋转变换mat1 MATRIX XYROT angle说明 将几何实体相对于坐标系原点逆时针旋转angle角度 P129例题5 19 2020 2 7 第5章基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术 第4节GRIP语言图形生成技术 几何实体变换命令 镜像变换mat1 MATRIX MIRROR line说明 将几何实体关于几何实体line作对称变换 P129例题5 20 与此类似 相关的镜像命令还有 mat1 MATRIX MIRROR plane 2020 2 7 第5章基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术 第4节GRIP语言图形生成技术 几何实体变换命令 组合变换 例题5 21 5 22 matrix3 MATRIX matrix1 matrix2 说明 对几何实体首先实施matrix1矩阵变换 然后实施matrix2矩阵变换 上述矩阵变量matrix1 matrix2 的顺序不可颠倒 2020 2 7 第5章基于特征技术的CAD软件系统二次开发技术 第4节GRIP语言图形生成技术 几何实体变换命令 实施变换 obj2 TRANSF matrix obj1 MOVE TRACRV 说明 将几何实体obj1经过matrix矩阵变换之后 得到几何实体obj2 MOVE 与 TRACRV 为可选项 选用前者表示矩阵变换之后原先的实体自动删除 否则原来的实体保留 选用后者表示产生实体移动的轨迹曲线 即Sweep 2020 2 7 例 编写实现组合变换的程序ENTITY cr1 cr2 cr3NUMBER mat1 12 mat2 12 mat3 12 cr1 CIRCLE 0 0 5 0 25mat1 MATRIX XYROT 90mat2 MATRIX SCALE 2mat3 MATRIX mat1 mat2cr2 TRANSF mat3 cr1mat1 MATRIX XYROT 90mat3 MATRIX mat2 mat1cr3 TRANSF mat3 cr1HALT 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 3 三维图形的投影变换 模型的表达 正投影变换 方法与画法几何原理相对应 结果是得到六个基本投影视图 主视图 俯视图 左视图等 轴测投影变换 依据轴测投影原理进行变换 得到正轴测投影图或斜轴测投影图 透视投影变换 依据透视投影原理进行变换 得到一点透视 二点透视 三点透视投影图 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 3 三维图形的投影变换 正投影变换 正投影是指在多面投影体系中H V W面上的投影 在多面投影体系中 形体在H V W面上投影图的特点 相应的z y x坐标为0 据此 可写出Th Tv Tw正投影变换矩阵 注意 利用Th Tv Tw仅能得到单面投影 如何才能得到三个基本视图的变换矩阵呢 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 3 三维图形的投影变换 正投影变换 得到平面视图 用先投影 后旋转 再平移方法求视图变换矩阵TV TH TW 式中l n为投影后的图形沿OX OZ轴移动的距离 如果是第三卦角投影 西方国家采用 试推导其视图变换矩阵 欲在屏幕上显示出形体有立体效果的图形 其变换矩阵又是如何呢 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 3 三维图形的投影变换 正轴测投影变换 在平面上表示立体图 形成 形体绕z轴逆时针转 角 绕x轴顺时针转 角 然后向V面投影 可得正轴测投影矩阵T正 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本算法 3 三维图形的投影变换 正轴测投影变换 轴测坐标轴 空间坐标轴经过轴测变换后在轴测投影平面上的投影所形成的坐标轴 轴间角 轴测坐标轴之间的夹角 轴向变形系数 轴测坐标轴上的投影长度与空间坐标轴上对应的单位长度之比 2020 2 7 第2章CAD建模的理论基础 第2节设计模型变换的基本