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4 2微积分基本定理 79 3 1 变速直线运动问题 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 4 2 1原函数存在定理 4 2微积分基本定理 79 4 考察定积分 2 积分上限函数 4 2微积分基本定理 79 5 证 4 2微积分基本定理 79 6 由积分中值定理得 4 2微积分基本定理 79 7 补充 证 4 2微积分基本定理 79 8 例1求极限 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 4 2微积分基本定理 79 9 证 4 2微积分基本定理 79 10 4 2微积分基本定理 79 11 证 令 4 2微积分基本定理 79 12 定理 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 4 2微积分基本定理 79 13 定理2 微积分基本定理 证 4 2 2牛顿 莱布尼茨公式 4 2微积分基本定理 79 14 令 令 牛顿 莱布尼茨公式 4 2微积分基本定理 79 15 微积分基本定理表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题 4 2微积分基本定理 79 16 例4求定积分 原式 例5设 求 解 解 4 2微积分基本定理 79 17 例6求积分 解 由图形可知 4 2微积分基本定理 79 18 例7求积分 解 解面积 4 2微积分基本定理 79 19 3 微积分基本公式 1 积分上限函数 2 积分上限函数的导数 4 2 5小结与思考题1 2 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 4 2微积分基本定理 79 20 思考题 4 2微积分基本定理 79 21 思考题解答 4 2微积分基本定理 79 22 课堂练习题 4 2微积分基本定理 79 23 4 2微积分基本定理 79 24 课堂练习题答案 4 2微积分基本定理 79 25 定理3 4 2 3定积分法 1 换元积分法 4 2微积分基本定理 79 26 证 4 2微积分基本定理 79 27 4 2微积分基本定理 79 28 应用换元公式时应注意 1 2 4 2微积分基本定理 79 29 例9计算定积分 解 令 例10计算定积分 4 2微积分基本定理 79 30 解 4 2微积分基本定理 79 31 例11计算定积分 解 原式 4 2微积分基本定理 79 32 例12计算定积分 解 令 原式 4 2微积分基本定理 79 33 证 4 2微积分基本定理 79 34 4 2微积分基本定理 79 35 奇函数 例13计算定积分 解 原式 偶函数 单位圆的面积 4 2微积分基本定理 79 36 证 1 设 4 2微积分基本定理 79 37 2 设 4 2微积分基本定理 79 38 4 2微积分基本定理 79 39 解 4 2微积分基本定理 79 40 几个特殊积分 定积分的几个等式 定积分的换元法 4 2 5小结与思考题3 4 2微积分基本定理 79 41 思考题 解 令 4 2微积分基本定理 79 42 思考题解答 计算中第二步是错误的 正确解法是 4 2微积分基本定理 79 43 课堂练习题 4 2微积分基本定理 79 44 4 2微积分基本定理 79 45 课堂练习题答案 4 2微积分基本定理 79 46 推导 2 分部积分法 4 2微积分基本定理 79 47 例15计算定积分 解 令 则 4 2微积分基本定理 79 48 例16计算定积分 解 4 2微积分基本定理 79 49 例17计算定积分 解 4 2微积分基本定理 79 50 解 4 2微积分基本定理 79 51 4 2微积分基本定理 79 52 证 设 4 2微积分基本定理 79 53 积分关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 4 2微积分基本定理 79 54 于是 4 2微积分基本定理 79 55 定积分的分部积分公式 注意与不定积分分部积分法的区别 4 2 5小结与思考题3 4 2微积分基本定理 79 56 思考题 4 2微积分基本定理 79 57 思考题解答 4 2微积分基本定理 79 58 课堂练习题 4 2微积分基本定理 79 59 课堂练习题答案 4 2微积分基本定理 79 60 4 2 4定积分的近似计算法 1 定积分近似计算的理由 1 被积函数的原函数不能用初等函数表示 2 被积函数难于用公式表示 而是用图形或表格给出的 3 被积函数虽然能用公式表示 但计算其原函数很困难 4 2微积分基本定理 79 61 2 解决办法 4 常用方法 矩形法 梯形法 抛物线法 3 研究思路 建立定积分的近似计算方法 4 2微积分基本定理 79 62 一 矩形法 平均值法 则有 4 2微积分基本定理 79 63 则有 1 2 称为矩形法 平均值法 公式 4 2微积分基本定理 79 64 二 梯形法 梯形法就是在每个小区间上 以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积 如图 4 2微积分基本定理 79 65 解 相应的函数值为 列表 4 2微积分基本定理 79 66 利用矩形法公式 得 利用矩形法公式 得 4 2微积分基本定理 79 67 利用梯形法公式 得 实际上是前面两值的平均值 4 2微积分基本定理 79 68 三 抛物线法 4 2微积分基本定理 79 69 因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线 4 2微积分基本定理 79 70 4 2微积分基本定理 79 71 于是所求面积为 4 2微积分基本定理 79 72 4 2微积分基本定理 79 73 例20 对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示 用抛物线法计算该图形的面积 4 2微积分基本定理 79 74 4 2微积分基本定理 79 75 解 根据抛物线公式 4 得 4 2微积分基本定理 79 76 求定积分近似值的方法 矩形法 梯形法 抛物线法 注意 对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好 4 2 5小结与思考题4 4 2微积分基本定