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第七章多元函数微分学第八节多元函数的极值 二元函数极值的定义 一 多元函数的极值 极值是局部特性 1 2 3 回忆 一元函数极值的必要条件 费马定理 定义 多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 解 在点处 所以 在处函数没有极值 所以 在处函数有极大值 且 解 但在 0 0 点取得极小值 注 函数的极值点也可能是偏导数不存在的点 例 综上讨论可知 函数的极值点的存在范围 驻点 偏导数不存在的点 二 有界闭区域上函数的最值 对于该区域内任一点 若恒有不等式 则称为函数在D内的最大值 最大值与最小值统称为最值 使函数取得最值的点 x0 y0 称为最值点 则称为函数在D内的最小值 最值是整体特性 求最值的一般方法 如何求连续函数z f x y 在闭区域D上的最大值 最小值呢 如果f x y 在D上可微 可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值 在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值 最小的就是函数在D上的最小值 解 如图 解 由 在实际应用中 若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值 而函数在D内又只有唯一的驻点 则可判定函数在该驻点即取得最值 此水箱的用料面积 解 设水箱的长为x 宽为y 则其高为 时 A取得最小值 根据题意可知 水箱所用材料的面积的最小值一定存在 并在开区域D x 0 y 0 内取得 又函数在D内只有唯一的驻点 因此可断定当 就是说 当水箱的长 宽 高均为 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买张磁盘 盒录音磁带达到最佳效果 效果函数为 设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 二 条件极值 拉格朗日乘数法 1 条件极值 条件极值 对自变量有附加条件的极值 无条件极值 对自变量除有定义域限制外 无任何其它条件限制的极值 求 如k 1 求 如k 2 求 下的极值 条件极值在数学上的提法 从理论上讲 条件极值都可化为无条件极值求解 其思路是 将其转化为无条件极值 但是当条件为方程 组 给的隐函数时 转化有困难 从而产生了下述方法 Lagrange乘数法 以下先分析Lagrange乘数法的原理 从而得出条件极值的必要条件 然后讲乘数法的具体作法 2 拉格朗日乘数法 则应有 于是问题转化为求的无条件极值 则 而由方程 两边求导 得 于是得到 下的极值的必要条件 此结果相当于一个三元函数 取得无条件极值的必要条件 函数 F称为Lagrange 称为乘数 称为Lagrange乘数法 解 则 解 可得 即 例8 截旋转抛物面 其截口是一个椭圆 求截口椭圆上的最高点和最底点 解 求最高点和最底点的目标函数是 但这个极值问题受限于两个约束条件 是条件极值问题 设其Lagrange函数为 所以因
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