6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划.ppt

会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 6 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划 1 二元一次不等式 组 解集的定义 满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对 x y 所有这样的有序数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集 2 二元一次不等式表示平面区域 对于任意的二元一次不等式Ax By C 0 或 0 1 若B 0 总可以把y项的系数变形为正数 当B 0时 Ax By C 0表示直线Ax By C 0的区域 Ax By C 0表示直线Ax By C 0的区域 2 若B 0 则A 0 可与B 0时类似考虑 上方 下方 3 线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫做 由所有可行解组成的集合叫做 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 可行解 可行域 最优解 1 不等式组所确定的平面区域记为D 若圆O x2 y2 r2上的所有点都在区域D上 则圆O的面积的最大值是 A 2 B C D 解析 如右图作出可行域如阴影部分由图可知 要使x2 y2 r2上的所有点都在区域内 即圆最大与2x y 2 0相切 即rmax Smax r2 答案 B 2 设A x y x y 1 x y是三角形的三边长 则A所表示的平面区域 不含边界的阴影部分 是 解析 由已知得即答案 A 3 已知点P x y 在不等式组表示的平面区域内运动 则z x y的取值范围是 A 2 1 B 2 1 C 1 2 D 1 2 答案 C 4 设实数x y满足则的最大值是 答案 不等式组表示的平面区域是基于二元一次不等式所表示区域得到的 不等式组的解集是把不等式组中每一个不等式都求解集 各不等式解集的交集即为不等式组的解集 由此我们可以推得不等式组所表示的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分 例1 满足条件的区域中共有整点的个数为 A 3B 4C 5D 6解析 如图 画出可行域 由可行域知有4个整点 分别是 0 0 0 1 1 1 2 2 答案 B 解线性规划问题的一般步骤是 第一 由线性约束条件画出可行域 第二 令目标函数中的z为0得直线l0 平移l0 第三 求出最优解 第四 把最优解代入目标函数 求出z的最值作答 例2 A B两地分别生产同一规格产品12千吨 8千吨 而D E F三地分别需要8千吨 6千吨 6千吨 每千吨的运费如下表 怎样确定调运方案 使总的运费为最小 解答 设从A到D运x千吨 则从B到D运 8 x 千吨 从A到E运y千吨 则从B到E运 6 y 千吨 从A到F运 12 x y 千吨 从B到F运 x y 6 千吨 则线性约束条件为线性目标函数为z 4x 5y 6 12 x y 5 8 x 2 6 y 4 x y 6 3x y 100 如上图作出可行域 可观察出目标函数在 8 0 点取到最小值 即从A到D运8千吨 从B到E运6千吨 从A到F运4千吨 从B到F运2千吨 可使总的运费最少 变式2 已知点P x y 满足求x2 y2的最大值和最小值 解答 由例2题图可观察出的最小值为原点到直线x y 6的距离 则x2 y2的最小值为18 又原点与x 8与x y 12的交点的距离最远 则x2 y2在 8 4 点取到最大值 最大值为80 1 最优解问题如果可行域是一个多边形 那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或最小值 最优解一般就是多边形的某个顶点 到底哪个顶点为最优解 将目标函数的直线平行移动 最先通过或最后通过的顶点便是 特别地 当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时 k k1 其最优解可能有无数个 2 整数解问题若实际问题要求的最优解是整数解 而我们利用图解法得到的解为非整数解 近似解 应作适当的调整 其方法应以与线性目标函数的直线和距离为依据 在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点 也可在用图解法所得到的近似解附近寻找 例3 配制A B两种药剂 需要甲 乙两种原料 已知配一剂A种药品需甲料3mg 乙料5mg 配一剂B种药品需甲料5mg 乙料4mg 今有甲料20mg 乙料25mg 1 若A B两种药品至少各配一剂 问共有多少种不同方案 2 若销售A B两种药剂利润分别为4元 5元 求A B两种药品至少各配一剂的情况下 利润的最大值 解答 1 设分别配制A B两种药品x剂 y剂由已知条件z 4x 5y 当y 1时 1 x 当y 2时 1 x 当y 3时 1 x 因此在可行域内满足条件的整点分别是 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 1 3 其有八种不同的方案 2 可观察出当x 3 y 2时 z 4x 5y取到最大值 即配制A种药品3剂 B种药品2剂 所获得的利润最大 zmax 22元 变式3 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问 各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品 且使所用钢板张数最少 解答 设截第一种钢板x张 第二种钢板y张 则z x y根据线性约束条件作出可行域如图所示 再作直线l x y 0 过可行域中的点作l的平行线 可观察出点M为最优解 解方程组得可观察出A 3 9 点在可行域的边界2x y 15上 过 3 9 与x y 0平行的直线方程为y 9 x 3 即x y 12 解方程得得则B 则最优整数解一定在区域AMB内又3 x 则当x 3时 y 9 当x 4时 则y 8 因此所求最优整数解为 3 9 4 8 此时所用钢板数最少 1 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 物力和资金等资源来完成该项任务 常见的问题有 1 物资调运问题 2 生产安排问题 3 下料问题等 方法规律 2 解决线性规划的一般方法步骤为 1 将实际问题化归为数学问题 写出线性约束条件和线性目标函数 2 由线性约束条件作出可行域 3 根据线性目标函数作出直线l 4 通过作l的平行线找出可行域中距直线l最近和最远点 5 解方程组求出最优解 其中 2 3 主要是作图问题 而 1 4 5 是图形和数据的具体结合 制定投资计划时 不仅要考虑可能获得的盈利 而且要考虑可能出现的亏损 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最大盈利率分别为100 和50 可能的最大亏损率分别为30 和10 投资人计划投资金额不超过10万元 要求确保可能的资金亏损不超过1 8万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的盈利最大 答题模板 解答 设投资人分别用x万元 y万元投资甲 乙两个项目 由题意知目标函数z x 0 5y 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 即可行域 作直线l0 x 0 5y 0 并作平行于直线l0的一组直线x 0 5y z z R 与可行域相交 其中有一条直线经过可行域上的M点 且与直线x 0 5y 0的距离最大 这里M点是直线x y 10和0 3x 0 1y 1 8的交点 解方程组得x 4 y 6 此时z 1 4 0 5 6 7 万元 当x 4 y a6时 z取得最大值 投资人用4万元投资甲项目 6万元投资乙项目 才能在确保亏损不超过1 8万元的前提下 使可能的盈利最大 分析点评 1 高考对线性规划的考查着重于选择和填空题 主要考查二元一次不等式组表示区域 求区域的面积 计算区域中整点