因动点产生的相似问题.docx

压轴题专题复习因动点产生的相似问题命题规律与方向解读：1、动态几何题已成为初中生毕业考数学试题的一大热点题型。在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。2、“动点问题”在我们的教材中没有安排单独的章节分析，所以需要通过这样的专题课对题型的特点以及解题的策略适当分析，以帮助学生掌握解决动态几何题的策略。3、我们一直强调“教学要求”与“学生现有理解”是教学的两个重要基点。所以我在“问题1”的处理上，让学生分析、讨论，对学生而言，帮助他们唤起对“动点问题”的有关理解，对教师而言找到学生的理解缺陷，帮助学生找到正确的解决问题的方法。备考建议：通过观察了解因动点产生的相似形问题的特点，熟悉对应的解题方法，掌握“动中取静，以静窥动”的处理策略。培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。例1 2012年学大教育中考模拟第22题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5例2：2009年广东省东莞市中考第22题正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtABM RtAMN，求此时x的值. 思路点拨1第（1）题中，直接根据相似三角形的定理去证明2根据（1）中的结论把边长全部转化成x的形式，即可得到面积，一般情况下，含参数的求面积最值都是一元二次方程的形式3第（3）题利用三角形相似的性质找到相似比满分解答解（1）证明：四边形ABCD是正方形，B=C=90，ABM+BAM=90ABM+CMN+AMN=180，AMN=90AMB+CMN=90BAM=CMNRtABMRtMCN（2） RtABMRtMCN， 即解得： , 即：又当x=2时，y有最大值10.当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.（3）RtABMRtMCN，即化简得：，解得：x=2当M点运动到BC的中点时RtABM RtAMN，此时x的值为2.例3：2011年学大教育中考模拟第26题如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. （1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：CFE=AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由O A B E D F C yx NM.思路点拨第（3）题由于FDC固定且唯一，AFP和它相似的情况有多种情况满分解答解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：解得 此抛物线的解析式为 （2）过点A作AMx轴，交FC于点M，交对称轴于点N.抛物线的解析式可变形为抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得. 直线AC的解析式为当x=4时，点E的坐标为（4，4），点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，8）设直线FC的解析式为,则有，解得. 直线AC的解析式为AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.AM=8,MN=AMMN=4AN=MNFNAMANF=MNF又NF=NFANFMNFCFE=AFE（3）C的坐标为（7，），F坐标为（4，8）又A的坐标为（0，6），则，又DF=6，若AFPDEFEFAO，则有PAF=AFE，又由（2）可知DFC=AFEPAF=DFC若AFP1FCD则,即,解得P1A=8.O P1=86=2P1的坐标为（0，2）.若AFP2FDC则,即,解得P2A=.O P2=6=.P2的坐标为（0，）.所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，2），P2（0，）.例题4：2013年学大教育中考模拟第25题直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前提4ABQ与COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点G的坐标为(1，4)（3）如图2，直线BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x1)，那么RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况：当时，解得所以，当时，解得所以， 图2 图3中考真题演练：1，（2012年广东省珠海市）已知直线（0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2）， 求CD的长； 设COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ （第24题图2）（第24题图1）2，（2012年广东省东莞市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC。（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）。过点E作直线l平行BC，交AC于点D。设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（2） 在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）。yA O B xElCD题22图3，图11CPByA（2008广东省湛江市）如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由4，（2011年广东省深圳市）如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,中考真题演练答案1，【答案】（1）C（1，2），Q（2，0）由题意得：P(t，0)，C(t，3)，Q(3t，0)，分两种情形讨论：情形一：当AQCAOB时，AQC=AOB90，CQOA，CPOA，点P与点Q重合，OQ=OP，即3t=t，t=1.5情形二：当ACQAOB时，ACQ=AOB90，O=O3，AOB是等腰直角三角形，ACQ是等腰直角三角形，CQOA，AQ=2CP，即t =2（t 3），t=2满足条件的t的值是1.5秒或2秒(2) 由题意得：C(t，3)，以C为顶点的抛物线解析式是，由，解得x1=t，x2=t；过点D作DECP于点E，则DEC=AOB90，DEOA，EDC=OAB，DECAOB，AO=4，AB=5，DE=t（）=CD=CD=，CD边上的高=SCOD=SCOD为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短因为当OCAB时OC最短，此时OC的长为，BCO90，AOB90，COP90BOCOBA，又CPOA，RtPCORtOAB，OP=，即t=，当t为秒时，h的值最大2，答案：解：（1）令y=0，即，整理得 ，解得：， A（3，0），B（6，0）令x = 0，得y = 9， 点C（0，9） ，（2）， lBC，来源:Zxxk.Com ADEACB， ，即 ，其中。（3）， 当时，SCDE取得最大值，且最大值是。这时点E（，0），作EFBC，垂足为F，EBF=CBO，EFB=COB，EFBCOB，即， E的面积为：。答：以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为。3，答案：解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2分）（2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） PE=4分）四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=6分）(3) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 7分） 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则GM第28题图2CByPA() 当AMG PCA时，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M （10分） 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=GM第28题图3CByPAAG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为， （13分）说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分4，答案（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P