解三角形--共3课时(40分下讲义).doc

杰中杰教育基础讲义解三角形一正弦定理复习提问：1.固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 2.在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又， 从而在直角三角形ABC中， 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则， 同理可得， 从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导.3.在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即练：（1）在中，一定成立的等式是（ ）A B.C. D.（2）已知ABC中，a4，b8，A30，则B等于 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；（2）等价于 ，（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形 题型与方法：例1. 在中，已知，cm，解三角形练1：在中，已知，cm，解三角形例2. 例2. 在。 练：1在2. 在中，若，则是（ ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形3. 已知ABC中，ABC114，则abc等于（ ）.A114 B112 C11 D224. 在ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 、的大小关系不能确定5. 已知ABC中，则= 5. 已知ABC中，A，则= 解三角形二余弦定理复习提问：1在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 2.在ABC中，已知，A=45，C=30，解此三角形3.已知两边及夹角，如何解此三角形呢？4.在中，、的长分别为、. ， 同理可得： ， 5. 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍6.这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：， ， 理解定理（1）若C=，则 ，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角（3）在ABC中，若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角练：（1）ABC中，求（2）ABC中，求题型与方法：例1. 例1. 在ABC中，已知，求和练1：在ABC中，若AB，AC5，且cosC，则BC_例2在ABC中，已知三边长，求三角形的最大内角练1：在ABC中，若，求角A2. 已知a，c2，B150，则边b的长为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A B C D4. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.A Bx5C 2x Dx55. 在ABC中，|3，|2，与的夹角为60，则|_6. 在ABC中，已知三边a、b、c满足，则C等于 解三角形三正弦定理和余弦定理（练习）复习提问：1.在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理2.在ABC中，已知 A，a25，b50，解此三角形3. 在ABC中，已知下列条件，解三角形. A，a25，b50； A，a，b50； A，a50，b50.4.解的个数情况为何会发生变化？用如下图示分析解的情况（A为锐角时）思考: 1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？2用图示分析（A为钝角时）解的情况？题型与方法：例1例1. 在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况练1：在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个例2. 例2. 在ABC中，求的值练2：(1)在ABC中，若，且，求角C(2). 已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（ ）.A. B. C. D. (3). 已知在ABC中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大角是（ ）. A135 B90 C120 D150(4). 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加长度决定(5). 在ABC中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则cosB (6). 已知ABC中，试判断ABC的形状 解三角形四 应用举例测量距离复习提问：1：在ABC中，C60，ab，c2，则A为 . 2：在ABC中，sinA，判断三角形的形状.题型与方法：例1. 例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 思考：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？运用该定理解题还需要那些边和角呢？练1若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60.练2：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？PA C1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）. A5cmBCD6cm2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时3. 在中，已知，则的形状（ ）.A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形4.在中，已知，则的值是 5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km解三角形五应用举例测量高度 复习提问：1.坡度、仰角、俯角、方位角方位角-从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；坡度-沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角-视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角. 2：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在中，可测得角 ，关键求AC在中，可测得角 ，线段 ，又有故可求得AC题型与方法：例1. 例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？练：1.某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角是60，测得目标B在南偏东78，俯角是45，试求山高.2. 在ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.A BC D3. 在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）.A B C D4. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为和，则A点离地面的高AB等于（ ）米A100 BC50 D505. 在地面上点，测得一塔塔顶和塔基的仰角分别是和，已知塔基高出地面，则塔身的高为_6. 在ABC中，且三角形有两解，则A的取值范围是 解三角形六应用举例测量角度基础过关题型与方法：例1例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.例2例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A处测得在北45的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？1. 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（ ）.A B=C+= D+=2. 已知两线段，若以、为边作三角形，则边所对的角A的取值范围是（ ）.A BC D3. 关于的方程有相等实根，且A、B、C是的三个内角，则三角形的三边满足（ ）.A B C D4. ABC中，已知a:b:c=(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:(1)若A90，且ab，则此三角形不存在 (2)若A90，则此三角形最多有一解(3)若A90，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90(4)当A90，ab时三角形一定存在(5)当A90，且bsinAab时，三角形有两解其中正确说法的序号是 .解三角形七应用举例解三角形复习提问：1：在ABC中（1）若，则等于 （2）若，则 _2：在中，则高BD= ，三角形面积= 在ABC中，边BC上的高分别记为h，那么它如何用已知边和角表示？h=bsinC=csinB根据以前学过的三角形面积公式S=ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC 或S= ，同理S= 三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半题型与方法：例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5；（2）已知B=62.7，C=65.8，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm练1：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）练2. 在ABC中，已知，则ABC的面积是 例2在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）练3. 在ABC中，求证： 补充练习：1. 在中，则（ ）.A. B. C. D. 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为，面积为，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和73. 在中，若，则一定是（ ）三角形A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4. 三边长分别为，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 5. 已知三角形的三边的长分别为，则ABC的面积是 强化训练1.已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形2. 已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，求实数k的取值范围为3. 在ABC中，已知a7，b8，cosC，求最大角的余弦值4. 在ABC中，AB5，BC7，AC8，求的值.5. 在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围6. 在ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足，求角C7. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.8. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？9. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？10. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30，求山高.11. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？12.已知在ABC中，B=30，b=6，c=6，求a及ABC的面积S13. 在ABC中，若，试判断ABC的形状.14. 某观测站C在目标A的南偏西方向，从A出发有一条南偏东走向的公路，在C处测得与C相距31的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20到达D，此时测得CD距离为21，求此人在D处距A还有多远？ 15. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高60021DCBAADBC16. 如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC=60，AC=7，AD=6，SADC=，求AB的长17.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？18. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？温故知新1. 某人向正东方向走后，向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好，则等于（ ）.A B C或 D32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为，则塔高为（ ）米A B C D3. 在ABC中，面积为，那么的长度为（ ）.A B C D4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30和45，且BAC45，则这两个景点B、C之间的距离 5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15相距20里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东，则货轮的速度 6. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离