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文档简介

高等数学课程复习资料一、填空题:1.设,则函数的图形关于 对称。2.若,则 .3.极限 。4.已知,则 , 。5.已知时,与是等价无穷小,则常数= 6.设,其中可微,则= 。7.设,其中由确定的隐函数,则 。8.设具有二阶连续导数,则 。9.函数的可能极值点为 和 。10.设则 。11. 12. 。13.若,则 。14.设: ,则由估值不等式得 15.设由围成(),则在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。16.设为,则的极坐标形式的二次积分为 。17.设级数收敛,则常数的最大取值范围是 。18. 。19.方程的通解为 。20微分方程的通解为 。21.当n= 时,方程 为一阶线性微分方程。22.若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则 。23.设A与B均可逆,则C=也可逆,且 。24.设,且,则X = 。25.矩阵的秩为 。26.向量,其内积为 。27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 。28.给定向量组,若线性相关,则a,b满足关系式 。29.已知向量组()与由向量组()可相互线性表示,则r()与r()之间向量个数的大小关系是 。30.向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与=(1,3)T线性表示为 。31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件。32.设A为mn矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= 。33.已知元线性方程组有解,且,则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 。34.设是方阵A的一个特征值,则齐次线性方程组的 都是A的属于的特征向量。35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则的特征值为 。36.设A是n阶方阵,|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵,若A有特征值,则必有特征值= 。37.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则a与b 的内积(a,b)= 。38.二次型的秩为 。39.矩阵为正定矩阵,则的取值范围是 。40.二次型是正定的,则的取值范围是 。41.A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 。42.事件A、B相互独立,且知则 。43.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为 。44.在相同条件下,对目标独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为0.6,那么击中目标k次的概率为 ()。45.设随机变量X服从泊松分布,且,则= 。46.设随机变量X的分布密度为,则= 。47.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:YX1211/163/162b且X,Y相互独立,则常数 = ,b = 。48.设X的分布密度为,则的分布密度为 。49.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:YX1210.220.3则与应满足的条件是 ,当X,Y相互独立时, 。50.设随机变量X与Y相互独立,且。令Z=-Y+2X+3,则= 。51.已知随机变量X的数学期望.令Y2X3,则= 。二、单项选择题:1.设,则= A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 32.下列函数中,( )不是基本初等函数。 A. B. C. D.3.下列各对函数中,( )中的两个函数相等。 A.与 B.与C.与 D.与4.设在处间断,则有 A.在处一定没有意义;B.; (即);C.不存在,或;D.若在处有定义,则时,不是无穷小5.函数 在x = 0处连续,则k = A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.若,为无穷间断点,为可去间断点,则 A.1 B.0 C.e D.e-17.函数的定义域为 A. B. C. D.8.二重极限 A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在9.利用变量替换,一定可以把方程化为新的方程 A. B. C. D.10若,在内则在内 A. B.C. D.11.设的某个邻域内连续,且,则在点处 A.不可导 B.可导,且 C.取得极大值 D.取得极小值12.设函数是大于零的可导函数,且,则当时,有 A. B.C. D.13. A. B.C. D.14.设上具有连续导数,且,则 A.2 B.1 C.-1 D.-215.设上二阶可导,且。记,则有 A. B. C. D.16.设幂级数在处收敛,则此级数在处 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是 A.若级数的一般项有则有B.若正项级数满足发散C.若正项级数收敛,则D.若幂级数的收敛半径为,则。18.设级数收敛,则级数 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定19.微分方程的通解是 A. B.C. D.20.设满足微分方程,若,则函数在点 A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少.21.函数在点处的增量满足且,则(D) A. B. C. D.22.若含有s个向量的向量组线性相关,且该向量组的秩为r,则必有 A.r=s B.rs C.r=s+1 D.r0)由已知得:,求得=2 PX=3=46.设随机变量X的分布密度为,则= .解:由性质即:解得:a=247.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:YX1211/163/162b且X,Y相互独立,则常数 = ,b = . 解: X,Y相互独立 P(X=1,Y=1)=P(X=1) P(Y=1) 即: a= 又 b=48.设X的分布密度为,则的分布密度为 。解:PYy=P(X3y)=P(X)=Fx()Y=X3的分布密度为:(y)=,y049.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:YX1210.220.3则与应满足的条件是 ,当X,Y相互独立时, 。解:=1 =1 即有=0.5当X,Y相互独立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)=(+0.2)(+) =0.250.设随机变量X与Y相互独立,且令Z = -Y + 2X +3,则= 。解: X与Y相互独立, D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+42=9。51.已知随机变量X的数学期望.令Y2X3,则= 。解:D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。二、单项选择题:1.设 ,则=( )A. B. C. D.解:由于,得 将代入,得=正确答案:D2.下列函数中,( )不是基本初等函数。A. B. C. D.解:因为是由,复合组成的,所以它不是基本初等函数。正确答案:B3.下列各对函数中,( )中的两个函数相等。A.与 B.与C.与 D.与解: A 4.设在处间断,则有( )A.在处一定没有意义;B.; (即);C.不存在,或;D.若在处有定义,则时,不是无穷小答案:D5.函数 在x = 0处连续,则k = 。A.-2 B.-1 C.1 D.2答案:B6.若,为无穷间断点,为可去间断点,则( ).A.1 B.0 C.e C.e-1解:由于为无穷间断点, 所以, 故. 若, 则也是无穷间断点. 由为可去间断点得.故选(C).7.函数的定义域为( )。A B C D解:z的定义域为: (选D)8.二重极限( )A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在解:与k相关,因此该极限不存在 (选D)9.利用变量替换,一定可以把方程化为新的方程( )A. B. C. D.解:z是x,y的函数,从,可得,故z是u,v的函数,又,故z是x,y的复合函数,故,从而左边=因此方程变为: (选A)10.若,在内则在内( ).A. B.C. D.解:(选C)11.设的某个邻域内连续,且,则在点处( )。A.不可导 B.可导,且 C.取得极大值 D.取得极小值解:因为,则在的邻域内成立, 所以为的极小值,故选D。12.设函数是大于零的可导函数,且,则当时,有( )。A. B.C. D.解:考虑辅助函数。13.( )。A. B.C. D.解:由积分上限函数的导数可得,故选(A).14.设上具有连续导数,且,则( )。A.2 B.1 C.-1 D.-2解:因为,故应选(A)15.设上二阶可导,且记 , ,则有( ).A. B. C. D.解:依题意,函数在上严格单调减少,且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得,故选B。16.设幂级数在处收敛。则此级数在处( ).A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.收敛性不能确定解:选A。17.下列命题中,正确的是( )。A.若级数的一般项有则有B.若正项级数满足发散C.若正项级数收敛,则D.若幂级数的收敛半径为,则.解:由有,因此,从而发散。故选(B)。18.设级数收敛,则级数( )。A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定解:因为收敛,即幂级数在处收敛,由Able定理知,幂级数在处绝对收敛,亦即绝对收敛。故选(A)。19.微分方程的通解是( )A. B.C. D.解:D20.设满足微分方程,若,则函数在点( )。A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少解:B21.函数在点处的增量满足且,则(D)A. B. C. D.解:令,得 ,故选(D)。22.若含有s个向量的向量组线性相关,且该向量组的秩为r,则必有 ( )A.r=s B.rs C.r=s+1 D.r0,所以=A,因而P(|A)=P(A|A)=1,故选(A)35.离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.则( )(A)0.05 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25解:由概率分布性质可知,常数a应满足, a+2a+3a+4a=1,即有a=0.1,故应选(B)。36.设随机变量X的分布函数为则( )(A)(B)(C)(D)解:,故应选(C)。37.设随机变量X服从,的值( )(A)随增大而减小; (B)随增大而增大;(C)随增大而不变; (D)随减少而增大.解:XN(, 4) PX2+=P,而值不随的变化而变化,PX2+值随增大而不变,故应选(C)。38.设随机变量,则服从( )(A) (B) (C) (D)解 选(D), E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 YN(a+b,a2)。39.对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于( )(A)0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解:选(D);由题意知:XB(3, p),而D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。40.设随机变量X的概率密度为,则=( )。(A)-1 (B)0 (C)1 (D)以上结论均不正确解:选(B);E(X)=,而被积函数为对称区间上的奇函数, E(X)=0。三、解答题:1.设 ,已知在处连续可导,试确立并求解:,在处连续,即。当时,当时,当时,故。2.设, 其中具有二阶连续偏导数,求.解:,.3.设讨论f(x,y)在(0,0)(1)偏导数是否存在。(2)是否可微。解:(1)同理可得,偏导数存在。(2)若函数f在原点可微,则应是较高阶的无穷小量,为此,考察极限,由前面所知,此极限不存在,因而函数f在原点不可微。4.在过点的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。解:设平面方程为, 其中均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为,且,令,则由,求得 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.5.解:=6.,其中为圆域。解:将区域分为,其中。于是7.设在上连续,求证:。证明:由重积分中值定理,使得,当时,由f的连续性,知,从而有:8.求幂级数收敛区间及和函数:解:,所以,.当时,级数成为,由调和级数知发散;当时,级数成为,由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为。设,则,所以,.9.求解 解:原方程可化为,两边积分得,即。由得,故即为所求。10.求解。解:原式可化为,令,得,即, 两边积分得 ,即,由得,故所求特解为 。11.求解满足解:特征方程为,故通解为,由 得,故为所求特解。12.求解满足解:对应的齐次方程的通解为,设特解为代入原方程得,故原方程通解为,由得,。13.设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试确定,并求该方程的通解。解:将,代入原方程得,故,方程为,故通解为。14.计算下列行列式。解:15.计算下列行列式 解:16.证明: 证:17.设AX+E=A2+X,且A=,求X。解:由AX+E=A2+X,得(AE)X=A2E,而AE可逆,故X=A+E=。18.已知矩阵,求常数a,b。解:因为所以 ,得b = 2。19.将向量表示成的线性组合:解:设,按分量展开得到求解得到,即20.问,取何值时,齐次方程组有非零解?解:齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零,故即或齐次方程组有非零解。21.设线性方程组试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。解:可见,当c = 0时,方程组有解。且原方程组的一般解为(x3是自由未知量) 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型:(1)解:对应的矩阵为,特征值为正交矩阵为,标准型为23.某工人看管甲、乙、丙3台机器,在1小时内,这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的,求在1小时内:(1)有机床需要工人照管的概率;(2)机床因无人照管而停工的概率.解:(1)设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3,则有机床需要工人照管的事件为,因而=0.568(

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