[理学]第一章 轴向拉伸和压缩、剪切改.ppt

第一章 本章重点 1 截面法的应用及内力 应力的概念 2 轴向拉 压 问题的强度计算及变形 轴向拉伸和压缩 1 2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 1 4轴向拉伸或压缩时的变形 1 3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 1 5材料拉伸时的力学性能 1 10温度应力和装配应力 1 6失效 安全因数和强度计算 1 9轴向拉伸或压缩的应变能 1 7拉伸 压缩超超静定问题 1 8应力集中的概念 目录 1 1轴向拉伸与压缩的概念和实例 1 1轴向拉伸与压缩的概念和实例 轴向拉压的受力特点 作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合 轴向拉压的变形特点 杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短 拉绳 1 2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 内力 指由外力作用所引起的 物体内相邻部分之间分布内力系的合成 附加内力 书P7页 内力的计算是分析构件强度 刚度 稳定性等问题的基础 求内力的一般方法是截面法 1 截面法的基本步骤 截开 在所求内力的截面处 假想地用截面将杆件一分为二 代替 任取一部分 其弃去部分对留下部分的作用 用作用在截开面上相应的内力代替 平衡 对留下的部分建立平衡方程 根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力 此时截开面上的内力对所留部分而言是外力 FN称为轴力 拉伸的轴力规定为正 压缩的轴力规定为负 几点说明 1 不能在外力作用处截取截面 2 截面内力不一定等于其附近作用的外力 3 轴力不能完全描述杆的受力强度 4 轴力与截面尺寸无关 轴力沿轴线变化的图形称为轴力图 轴力图用杆的轴线作为横坐标 横截面的轴力值为纵坐标一般纵坐标正向指向向上 例如前面例题的轴力图 F 解 1 1截面 2 2截面 3 3截面 例2图示杆的A B C D点分别作用着大小为5F 8F 4F F的力 方向如图 试画出杆的轴力图 解 求OA段内力FN1 设置截面如图 同理 求得AB BC CD段内力分别为 FN2 3FFN3 5FFN4 F 轴力图如右图 D FD 轴力图的特点 突变值 集中载荷 轴力 图 的简便求法 外力F相对指定截面而言 若外力的指向为离开相应的截面则为正 反之为负 我们考察轴的内力时 不能简单沿用静力分析中关于 力的可传性 和 静力等效原理 解 x坐标向右为正 坐标原点在自由端 取左侧x段为对象 内力FN x 为 q ql x O 例3图示杆长为l 受分布力q kx作用 方向如图 试画出杆的轴力图 l q x q x FN x O 两根材料相同但粗细不同的杆 在相同的拉力下 随着拉力的增加 哪根杆先断 显然两杆的轴力是相同 细杆先被拉断 这说明拉压杆的强度不仅与轴力有关 还与横截面面积有关 两根材料相同但粗细也相同的杆 在不同大小的拉力下 随着拉力的增加 哪根杆先断 显然两杆的轴力是不同 拉力大的杆先被拉断 因此我们必须求出横截面任意点的应力 以反映杆的受力程度 从工程实际的角度 把单位面积上内力的大小 作为衡量受力程度的尺度 并称为应力 应力的基本单位是帕斯卡 Pa 而在工程中常用兆帕 MPa 1MPa 1 106Pa 吉帕 GPa 1GPa 1 109Pa 1 平面假设 变形前原为平面的横截面 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线 由平面假设 以及均匀性假设可知横截面上各点的内力是均匀分布的 也就是说横截面上所有各点具有相同的应力值 同时 该应力的的方向与分布内力的方向一致 即沿着横截面的法向 通常称为正应力 用s表示 这就是轴向拉伸时横截面上的应力计算公式 其中FN为轴力 A为横截面面积 拉为正 压为负 直杆 杆的截面无突变 截面到载荷作用点有一定的距离 公式的应用条件 Saint Venant 圣维南 原理 离开载荷作用处一定距离 为不超过杆的横截面尺寸范围 应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响 例若F 20kN 杆的直径d 20mm 求杆中的应力值 Pa MPa 自由端受一集中力作用下对可以简化为压杆的一个模型 分析受力处受力影响情况 即Saint Venant原理定理的证明 此图变形情况已经被放大350倍 约束情况为上端自由 下端固定的情况 圣维南原理 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 主矢及主矩都等于零 那么 这个面力就只会使得近处产生显著的应力 远处的应力可以不计 例4一阶梯形立柱受力如图所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上中下三段的横截面面积分别是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 试求立柱的最大工作正应力 解 首先作出立柱的轴力图 由于立柱是变截面 必须求解出各段的工作应力 经过比较方能确定最大正应力 例4一阶梯形立柱受力如图所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上中下三段的横截面面积分别是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 试求立柱的最大工作正应力 结果表明 最大工作应力为10MPa的压应力 解 例5已知三铰屋架如图 承受竖向均布载荷 载荷的分布集度为 q 42kN m 屋架中的钢拉杆为NO 22a型工字钢 试求刚拉杆内的正应力 钢拉杆 4 2m A C B 应力 q 局部平衡求轴力 查书附录 的型钢表可以得到横截面面积 A 42cm2 C A 自横截面逆时针转到斜截面的a为正 反之为负 由平衡方程 Aapa Fa F 则 Aa 斜截面面积 pa 斜截面上应力 由几何关系 代入上式 得 斜截面上全应力 1 3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 斜截面上全应力 分解 sa称为a斜截面上的正应力 ta称为a斜截面上的切应力 切应力符号规定如下 它绕着截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正 反之为负 反映 通过构件上一点不同截面上应力变化情况 当 0 时 sa max s 横截面上存在最大正应力 当 90 时 sa min 0 当 0 90 时 1 4轴向拉伸和压缩时的变形 一 轴向变形 轴向伸长 纵向线应变 引入比例常数E EA为抗拉 抗压 刚度 这是胡克定律的另一表达式 这是胡克定律 E称之为弹性模量 表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力 其值越大 则杆件的变形越小 单位为Pa 工程中常用GPa 1GPa 109Pa 上式通常称为单向应力状态下的胡克定律 它们的符号与FN和正应力的符号一致 胡克定律成立条件 材料在弹性范围内工作 为单位长度的伸长 二 横向变形 泊松比 横向线应变 横向尺寸缩短量 在拉伸情况下 是负值 也是负值 故与符号相反 在材料正应力没有超过比例极限时 横向线应变与纵向线应变之比为常数 用绝对值表示为 和E都是表示材料力学性能的弹性常数 例6 已知 AB段A1 400mm2BC段A2 250mm2 E 210GPa 求 AB BC段的伸长量 C截面相对与B截面的位移和C截面的绝对位移以及杆的总伸长量 变形 物体受力作用发生尺寸和形状的改变 解 杆的总伸长量 AB段的伸长量 BC段的伸长量 位移 指物体上的一些点 线 面在空间位置上的改变 显然 两个截面的相对位移 在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长 因此 C截面与B截面的相对位移是 因为A截面固定 所以C截面的位移就等于AC杆的伸长 例6 已知 AB段A1 400mm2BC段A2 250mm2 E 210GPa 求 AB BC段的伸长量 C截面相对与B截面的位移和C截面的绝对位移以及杆的总伸长量 练习 已知 AAB 500mm2ABC 200mm2 E 210GPa 求杆的总伸长 解 1 作轴力图 2 计算变形 计算结果为负 说明整根杆发生了缩短 根据胡克定律 解 取节点B点为研究对象 假设AB杆受拉 BC杆受压 所以 以切代弧 1 5材料拉伸时的力学性能 一 低碳钢拉伸时的力学性能 碳钢的分类 低碳钢 含碳量 0 25 的结构钢中碳钢 含碳量0 25 0 55 的结构钢高碳钢 含碳量0 55 2 0 的结构钢 实验条件 室温 20 左右 静载 载荷从零开始缓慢增加到力F 材料力学性质 材料在外力作用下 强度和变形方面所表现出的性能 标准试件 万能试验机 电子试验机 试验设备 通过该实验可以绘出载荷 变形图和应力 应变图 应力 应变图可以消除横截面面积A与标距l对载荷 变形图的影响 1 弹性阶段Ob 这就是胡克定律 它是胡克定律的适用范围 没有残余变形的范围 称为弹性模量 2 屈服阶段bc 3 强化阶段cd 是低碳钢的重要强度指标 是低碳钢的重要强度指标 冷作硬化现象 在强化阶段卸载后 如重新加载曲线将沿卸载曲线上升 如对试件预先加载 使其达到强化阶段 然后卸载 当再加载时试件的线弹性阶段将增加 而其塑性降低 称为冷作硬化现象 4 局部变形阶段de 延伸率 截面收缩率 是低碳钢的塑性指标 d 5 塑性材料d 5 脆性材料 l1 试件拉断后的长度 A1 试件拉断后断口处的最小横截面面积 1 锰钢2 硬铝3 退火球墨铸铁4 低碳钢 特点 d较大 为塑性材料 其它金属材料拉伸时的力学性能 无明显屈服阶段的 规定以塑性应变es 0 2 所对应的应力作为名义屈服极限 记作s0 2 测定灰铸铁拉伸机械性能sb 强度极限 sb 拉伸强度极限 脆性材料唯一拉伸力学性能指标 应力应变不成比例 无屈服 颈缩现象 变形很小且sb很低 金属材料压缩时的力学性能 比例极限spy 屈服极限ssy 弹性模量Ey基本与拉伸时相同 1 低碳钢压缩实验 sby sbL 铸铁抗压性能远远大于抗拉性能 断裂面为与轴向大致成45o 55o的滑移面破坏 2 铸铁压缩实验 塑性材料的特点 断裂前变形大 塑性指标高 抗拉能力强 常用指标 屈服极限 一般拉和压时的sS相同 脆性材料的特点 断裂前变形小 塑性指标低 常用指标是sb sbc且sb sbc 非金属材料的力学性能 1 混凝土近似匀质 各向同性材料 属脆性材料 一般用于抗压构件 2 木材各向异性材料3 玻璃钢各向异性材料 优点是 重量轻 比强度高 工艺简单 耐腐蚀 抗振性能好 1 6失效 安全因数和强度计算 许用应力和安全系数 塑性材料 脆性材料 3 材料的许用应力 材料安全工作条件下所允许承担的最大应力 记为 1 许用应力1 材料的标准强度 屈服极限 抗拉强度等 2 材料的极限应力 2 安全系数 标准强度与许用应力的比值 是构件工作的安全储备 1 对载荷估计的准确性与把握性 如重力 压力容器的压力等可准确估计与测量 大自然的水力 风力 地震力等则较难估计 为什么要引入安全系数n 2 材料的均匀性与力学性能指标的稳定性 如低碳钢之类塑性材料组织较均匀 强度指标较稳定 塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲 而铸铁之类脆性材料正相反 强度指标分散度大 应力集中 微细观缺陷对强度均造成极大影响 3 计算公式的近似性 由于应力 应变等理论计算公式建立在材料均匀连续 各向同性假设基础上 拉伸 压缩 应力 变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等 所以材料不均匀性 加载的偏心 杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确 4 环境 工程构件的工作环境比实验室要复杂的多 如加工精度 腐蚀介质 高 低温等问题均应予以考虑 一 失效 失效 构件发生断裂或出现塑性变形 失效条件 二 安全系数和许用应力 概念见P27页 s 称之为许用应力 n 称之为安全系数 极限应力 确定安全系数要兼顾经济与安全 考虑以下几方面 理论与实际差别 材料非均质连续性 超载 加工制造不准确性 工作条件与实验条件差异 计算模型理想化 足够的安全储备 构件与结构的重要性 塑性材料n小 脆性材料n大 安全系数的取值 安全系数是由多种因素决定的 各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力 可从有关规范或设计手册中查到 在一般静载下 对于塑件材料通常取为1 5 2 2 对于脆性材料通常取为2 5 3 0 甚至更大 三 强度条件 1 强度校核 2 截面尺寸设计 3 确定许可载荷 已知荷载 杆件的截面尺寸和材料的许用应力 即可计算杆件的最大工作正应力是否满足强度的要求 已知结构的承受的荷载和材料的许用应力 即可计算杆件的最大工作轴力 并由此来确定横截面面积 已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力 可根据强度条件计算该杆能承受的轴力 例9 已知 s 160MPa A1 300mm2 A2 140mm2 试校核强度 解 1 作轴力图 2 校核强度 故钢杆强度符合要求 例10已知 q 40kN m s 160MPa 试选择等边角钢型号 解 1 计算拉杆的轴力 2 选择等边角钢型号 因为型钢的面积为cm2 A 3 54cm2 查型钢表 取A 3 791cm2 即等边角钢型号为40 5 也可以取A 3 486cm2 即等边角钢型号为45 4 如果取面积比计算的面积小 则必须满足5 的要求 练习 图示杆系中AC BC杆的直径分别为d1 12mmd2 18mm 两杆材料均为Q235钢 许用应力 s 170MPa 试按强度条件确定容许F值 分析 取C节点为研究对象 1 7拉伸 压缩超静定问题 即静不定问题 四个未知力 只有三个平衡方程 一次静不定 三个未知力 只有两个平衡方程 一次静不定 例12设1 2 3三杆用铰链连接如图 已知 各杆长为 l1 l2 l3 l 各杆面积为A1 A2 A A3 各杆弹性模量为 E1 E2 E E3 外力沿铅垂方向 求各杆的内力 解 平衡方程 几何方程 变形协调方程 物理方程 弹性定律 补充方程 由几何方程和物理方程得 解由平衡方程和补充方程组成的方程组 得 一般超静定问题的解法 1 画受力图 列平衡方程 确定静不定次数 2 根据约束条件 作位移变形图 找出变形协调条件 3 将力与变形的物理关系 胡克定律 代入变形协调条件 得到补充方程 4 联立平衡方程和补充方程 求出未知的约束反力和内力 变形协调条件 由协调的变形条件可列出补充方程 谓之变形协调条件 找出变形协调条件是解决静不定问题的关键 静不定系统的变形是系统的 而不是单个的某一个杆件的变形 故为了维护其系统性 组成系统的各个构件的变形应该是统一的 协调的 例13 略 已知 P A E 求 AB两端的支座反力 解 1 列平衡方程 2 列变形协调条件 只有一个平衡方程 一次静不定 3 列物理条件 胡克定律 4 建立补充方程 解出约束反力 由 a 和 d 联立可得 解 1 静力平衡方程 2 变形协调方程 3 物理方程 联立上面的方程可以求得 解法一 1 静力平衡方程 2 变形协调方程 3 物理方程 联立补充和静力平衡方程可以求得 所以得补充方程 L3 解法二 略 因为AC为刚性杆 可以把力F移动到B得到一个力和力偶 在力F作用下 结构对称 荷载也对称的 即内力和位移都是对称的 由此可以直接得出三杆轴力 在力m作用下 结构对称 荷载反对称的 即内力和位移都是反对称的 由叠加法可以得 例16 略 木制短柱的四角用四个40 40 4的等边角钢加固 角钢和木材的许用应力分别为 1 160MPa和 2 12MPa 弹性模量分别为E1 200GPa和E2 10GPa 求许可载荷F F 几何方程 物理方程及补充方程 解 平衡方程 角钢面积由型钢表查得 A1 3 086cm2 解平衡方程和补充方程 得 求结构的许可载荷 方法1 所以在 1 2的前提下 角钢将先达到极限状态 即角钢决定最大载荷 求结构的许可载荷 另外 若将钢的面积增大5倍 怎样 若将木的面积变为25mm 又怎样 结构的最大载荷永远由钢控制着 方法2 解 1 静力平衡方程 2 变形协调方程 3 物理方程 联立上面的方程可以求得 2 分析 分析 1 8装配应力和温度应力 解 1 列平衡方程 求 杆横截面上的应力 例17略 已知 l 1 5m A 20cm2E 200GPa e 0 5mm 得 2 列变形协调条件 3 列物理条件 胡克定律 4 建立补充方程 解出约束反力 这就是装配应力 在静定问题中 由于杆件因温度变化而引起的变形未受到什么限制 所以不会在杆内引起应力 在静不定问题上 由于约束增加 因温度变化而引起的变形将会收到阻碍 相应的在杆中就会引起应力 这种由于温度变化而引起的应力 称为温度应力 杆件的温度应力 可按静不定问题的解法求得 解 1 列平衡方程 2 列变形协调条件 3 列物理条件 胡克定律 4 建立补充方程 解出约束反力 求 杆横截面上的应力 例18 已知 l 1 5m A 20cm2E 200GPa T 40oC 得 横截面应力为 这就是温度应力 1 9应力集中的概念 1 生活中的例子包装袋上的小口 边缘做成锯齿状等 2 概念杆件在圆孔 缺陷等截面发生突变处 局部应力显著增高 这一现象称为应力集中 3 应力集中系数 用ANSYS计算的结果 1 9轴向拉伸或压缩的应变能 拉力所做的微功 所以 拉力所做的功 变形能 变形比能 本