第二学期高等数学期末考试试卷及答案2.doc

第二学期高等数学B（）期末考试试卷（A卷）答案一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 1设，则 _ 解： 由，得，所以， 应填： 2交换累次积分的顺序 _ 解： 应填： 3设，则_ 解： ，所以， ，所以，而， 应填： 4设幂级数的收敛半径为，幂级数的收敛半径为，且，则幂级数的收敛半径为_ 解： 由于幂级数的收敛半径为，幂级数的收敛半径为，且，所以幂级数的收敛半径为 应填： 5微分方程的通解为_ 解： 这是一个可分离变量的微分方程，由，得，两端积分，得，得所以，即 （为任意常数） 应填： （为任意常数）二选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效 1函数在点处连续是函数在该点处存在偏导数的【 】 （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件； （D）既不是必要，也不是充分条件 解： 由二元函数的可导性与连续性之间的关系，可知：函数在点处连续是函数在该点处存在偏导数的既非必要，也非充分条件 应选：（D） 2设是平面上以、为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则积分等于【 】 （A）； （B）； （C）； （D） 解： 将平面区域分成两个小区域与，是以、为顶点的三角形区域，是以、为顶点的三角形区域则 由于区域是关于轴对称的，则 前一个积分中的被积函数是关于的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于的偶函数，所以 又由于区域是关于轴对称的，则 前一个积分中的被积函数是关于的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于的奇函数，所以 因此， 应选：（A） 3下列级数中，属于条件收敛的是【 】 （A） ； （B） ； （C）； （D） 解： 级数是发散的（因为其通项的极限不为0） 级数是绝对收敛的（因为，而级数收敛） 级数是绝对收敛的（因为，而级数收敛） 级数是条件收敛的（因为发散，而由Leibniz判别法，交错级数收敛） 应选：（D） 4设函数是以为周期的周期函数，它在上的表达式为 ，再设的Fourier（傅立叶）级数的和函数为，则【 】 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 解： 由于，所以， 应选：（） 5微分方程的特解的形式为【 】 （A）； （B）； （C）； （D） 解： 微分方程对应的齐次微分方程是，因此其特征方程为得其解为因此微分方程有形如的特解又微分方程有形如的特解所以，微分方程有形如的特解 应选：（D）三（本题满分7分） 设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求， 解： ， 四（本题满分7分） 计算二重积分 ，其中 解： 作极坐标变换，有 五（本题满分8分） 当轮船的前进速度为时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为，其中为常数，而为船的质量）问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？ 解： 由题意，得方程 ，解方程，得 ，由初始条件，得 ，因此，有 当时，即经过时间，船的速度减为原速度的一半六（本题满分8分） 判别级数的敛散性 解： 而 所以，由比值判别法，知级数收敛再由比较判别法知级数收敛七（本题满分8分） 计算曲面积分其中为曲面 ，取下侧 解： 取平面，取上侧则与构成封闭曲面，取外侧令与所围空间区域为，由Gauss公式，得 八（本题满分8分） 求微分方程的积分曲线，使该积分曲线过点，且在该点的切线斜率为 解： 这是一个不显含自变量的微分方程 设，则有，代入方程，得 解此方程，得由，得因此有方程 其解为，由，得，因此所求积分曲线为 或 九（本题满分8分） 选取与，使得成为某一函数的全微分，并求 解： ， 由，得 即有 解得，所以， 十（本题满分8分） 过直线作曲面的切平面，求此切平面的方程 解： 过已知直线作平面束方程，即， 其法向量为设所求切平面的切点坐标为，则有 ，解得，或 因此，所求切平面方程为，或 kebab n. (印度)烤腌羊肉串；肉串上的肉块十一（本题满分8分） 利用的幂级数展开式，求级数的和 解： 设，由于 make ones way 前往因此，Barry Minto 巴里?明托 dig out 掘出；发现 resolve n. 决心；决定 另一方面， diver n. 潜水员所以