考研数学线性代数强化习题-线性方程组.docx

点这里，看更多数学资料 2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-线性方程组知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块七 线性方程组经典习题一判断线性方程组解的情况1、已知线性方程组无解，则 .2、已知线性方程组有无穷多解，则 .3、已知齐次方程组，有非零解，则_.4、，方程无解，则_5、已知三阶矩阵,且的每一个列向量都是以下方程组的解:（1）求的值; （2）证明.6、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ）（A）若仅有零解,则有唯一解.（B）若有非零解,则有无穷多个解.（C）若有无穷多个解,则仅有零解.（D）若有无穷多个解,则有非零解.7、设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）（A）的列向量线性无关. （B）的列向量线性相关.（C）的行向量线性无关. （D）的行向量线性相关.8、非齐次线性方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则（ ）（A）时,方程组有解. （B）时,方程组有惟一解.（C）时,方程组有惟一解. （D）时,方程组有无穷多解.二齐次线性方程组的通解9、设是三阶非零矩阵，且的通解是_.10、已知为三阶非零方阵，为齐次线性方程组的三个解向量，且有解.（1） 求的值；（2）求的通解.11、设是秩为阶矩阵，是方程组的两个不同的解向量，则的通解必定是（ ） （A） （B） （C） （D） 12、设是四维非零列向量组，为的伴随矩阵，已知方程组的基础解系为的基础解系为（ ） （A） （B） （C） （D） 13、设是齐次线性方程组的基础解系，则的基础解系还可以是（ ） （A） （B） （C） （D） 14、设，已知有非零解，为一个三维非零列向量，若的任一解向量都能由线性表出，则（ ）（A） （B） （C）或 （D）15、设为阶方阵，齐次线性方程组有两个线性无关的解向量，是的伴随矩阵，则（A）的解均是的解（B）的解均是的解（C）与没有非零公共解（D）与恰好有一个非零公共解16、是n元齐次方程组的两个不同的解，若，则的通解为（ ）（A） （B） （C） （D）17、设是矩阵，是的转置，若为方程组的基础解系，则（ ）（A）t （B）n-t （C）m-t （D）n-m18、已知是矩阵，其个行向量的转置是齐次线性方程组的基础解系，设是阶可逆矩阵，证明：的行向量的转置也是线性方程组的基础解系.三非齐次线性方程组的通解19、若_.20、已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，那么 中，仍是线性方程组特解的共有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 21、设均为线性方程组的解，下列向量中导出组的解向量有（ ）个.（A） （B） （C） （D）22、设均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为_.23、已知矩阵，其中均为4维列向量，线性无关，又设，求的通解.四含参数的线性方程组24、对于线性方程组讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.25、已知线性方程组(1)满足何种关系时,方程组仅有零解?(2)满足何种关系时,方程组有无穷多解,并用基础解系表示全部解.26、设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.27、已知线性方程组（1）为何值时,方程组有解?（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系;（3）方程组有解时,求出方程组的全部解.28、已知齐次线性方程组 其中 试讨论和满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.29、设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.五同解与公共解30、设方程组（）的基础解系为. 设方程组（）的基础解系为 .（1）求线性方程组的基础解系及通解；求矩阵的秩.31、设是阶矩阵，对于齐次线性方程组（）和（）现有命题（）的解必是（）的解；（）的解必是（）的解；（）的解不一定是（）的解；（）的解不一定是（）的解；其中，正确的是（ ）.（A） （B） （C） （D）32、已知齐次线性方程组的所有解都是方程的解.试证明：线性方程组有解.六几何运用（*数学一）33、已知平面上三条不同直线的方程分别为，.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为参考答案一判断线性方程组解的情况1、【答案】：【解析】：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得由于系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，可知.2、【答案】：【解析】：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得由于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，可知.3、【答案】：【解析】：齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于.由于 可见秩.4、【答案】1或3【解析】因为方程组无解，所以，因为，所以所以或3.5、【解析】：（1）由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数矩阵的行列式.（2）由题意,得.若,矛盾,所以.或 由;又,则.6、【答案】：（D）【解析】：有无穷多个解有非零解. 故选项（D）是正确的. 仅有零解的充要条件是，此时不一定有，也即线性方程组不一定有解.如令，则，故仅有零解；而，故无解.故选项（A）错误.与此类似地，有非零解的充要条件是，此时也不一定有，也即线性方程组不一定有解（反例请考生自行举出）.故选项（B）错误.7、【答案】：（A）【解析】：仅有零解的列向量线性无关.故选（A）.8、【答案】：（A）【解析】：问题关键是判断和的关系.易知.当时，由于为矩阵，故，因此.也即时,方程组有解，故选（A）.二齐次线性方程组的通解9、【答案】：为任意常数【解析】：由于矩阵，我们得知作变换 可见. 时，求得基础解系为，因此通解为.10、【分析】：的三个解向量，于是必有行列式，再根据有解，即可由线性表示（这里易知），从而可由线性表示，又得行列式.由此两个等式可解得，或由，可得，再根据，又可解得.【解析】：（1） 由的解，而知，必线性相关， 于是 ， 由此解得. 由有解，知， 可见有. 故. （2）由题设，于是的两个线性无关的解，故，可见即可作为的基础解系，故通解为（为任意常数）.【评注】：对于参数，也可根据向量的线性表出来确定.有非零解，即可由的三个列向量线性表示，而， 可见可由线性表示，因此线性相关，于是 ，解得.11、【答案】：（D）【解析】：因为通解中必有任意常数，显见（A）不正确.由知的基础解系由一个非零向量构成.中哪一个一定是非零向量呢？ 已知条件只是说是两个不同的解，那么可以是零解，因而可能不是通解.如果，则是两个不同的解，但，即两个不同的解不能保证.因此要排除（B）、（C）.由于，必有.可见（D）正确.【评注】：求齐次线性方程组基础解系的一般思路可以概括为：求的个线性无关的解.基本步骤可以总结为：求，求的个解，说明这个解是线性无关的.在本题中，由于，故基础解系中只有一个向量，由于单个向量线性无关的充要条件是该向量非零向量，故本题的关键在于确定的一个非零解.12、【答案】：（C）【分析】：注意到，可知的列向量都是的解.【解析】：由线性方程组的结构，四阶方阵的秩为3，则的秩为1，所以，方程组的基础解系包含三个线性无关的解向量.又，所以向量是方程组的解.因为是方程组的解，有，即向量组线性相关，所以向量组线性相关，故（A）不正确.由于（B）中的向量组都能被线性表出，故线性相关，可知（B）不正确.（D）中向量组含有四个向量，不为基础解系，可知（D）也不正确.综上，唯一可能的选项是（C）.事实上，由，得可由线性表示，又向量组的秩为3，所以，向量组线性无关，即它是方程组的基础解系.13、【答案】：（D）【分析】：的基础解系是它的任意4个线性无关的解.【解析】：由已知条件知的基础解系由4个线性无关的解向量所构成.现在（B）中仅三个解向量，个数不合要求，故（B）不是基础解系. （A）和（C）中，都有四个解向量，但因为 说明（A）、（C）中的解向量组均线性相关，因而（A）、（C）也均不是基础解系. 用排除法可知（D）入选，或者直接地，由 因为知线性无关，又因均是的解，且解向量个数为4，所以（D）是基础解系.14、【答案】（B）【解析】：由于有非零解，故，可得或.又由于的任一解向量都能由线性表出，可知即为的基础解系.的基础解系中仅含一个向量，因此.故，选（B）.15、【答案】：（B）【解析】：由题设知，从而有，故，任意维向量均是的解，故正确选项是（B）16、【答案】D【解析】因为，所以基础解系只含有一个解向量，为的非零解，所以的通解为。17、【答案】C【解析】的列数，即，所以18、【分析】：只要证明的每个行向量的转置均为齐次线性方程组的解向量且的行向量线性无关即可.【证明】：令的行向量记为，的行向量记为，则，（1）可见能由线性表出，若齐次线性方程组的解，则也是该齐次线性方程组的解，又可逆，故由（1）可得，可见也能由线性表出，因此与等价，故若为齐次线性方程组的基础解系，线性无关，也是线性无关的，且每个解向量可由它线性表示，从而为齐次线性方程组的一个基础解系.三非齐次线性方程组的通解19、【答案】：是任意常数【解析】：由于矩阵不可逆，故可设，于是 ，得方程组，它可以看成两个线性方程组及解这两个线性方程组可得，是任意常数.所以是任意常数.【评注】：1）由于方程组与的系数矩阵完全一样，区别仅在于常数项，所以解这一类方程组可以合并在一起加减消元，即.2）对于矩阵方程，当矩阵不可逆时，就把与都按列分块，也即令，.则由矩阵乘法有故有.这样就将矩阵方程化为了个线性方程组.20、【答案】：（C）【解析】：由于，那么 可知均是的解 而.故不是的解，故应选（C）.【评注】：若是的解，则当时，则是的解；当时，是的解.21、【答案】（A）【解析】：由于，可知可知，这四个向量都是的解，故选（A）.22、【答案】：【解析】：设该线性方程组的系数矩阵为.原方程组有两个不同的解，可知系数矩阵不满秩，也即.通过观察不难发现，中存在非零的2阶子式，可知，故.因此导出组的基础解系中含有1个向量，由线性方程组解的性质可知是的解，也就是的基础解系.故原方程组的通解为.23、【解析】：由于线性无关，可见.由于，从而线性方程组有特解.由，导出方程组的两个线性无关的解 . 由于，则五元齐次线性方程组的基础解系由两个线性无关的解构成，故为的基础解系，方程组的通解为，其中为任意常数.四含参数的线性方程组24、【解析】：对增广矩阵作初等行变换得(1)方程组有惟一解且;(2)当时,方程组有无穷多解,且.则方程组的通解其中为任意常数;(3)当时,方程组无解.25、【解析】：系数矩阵的行列式.(1)当,即两两不相等时,方程组仅有零解.(2)当至少有两个相等时,方程组有非零解.且当时,方程组的通解为任意常数;当时,方程组的通解为任意常数;当时,方程组的通解为任意常数;当时,方程组的通解为任意常数.26、【解析】：.(1)当时,方程组有唯一解;(2)当时,则当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多解,且,则通解(一般解)为为任意常数. （*）综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为（*）式.27、【解析】：.(1)方程组有解;(2)当时,方程组的解.方程组的导出组的解,令,得方程组的导出组的一个基础解系.令,得方程组的一个特解.则方程组的通解,其中为任意常数.28、【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零.【解析】：方程组的系数行列式 =(1) 当时且时，方程组仅有零解.(2) 当时，原方程组的同解方程组为 由可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为 （将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第行同乘以倍） （将第行的倍加到第1行（），再将第1行移到最后一行） 由此得原方程组的同解方程组为 ， .原方程组的一个基础解系为【评注】 本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 (存在阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.29、【分析】：本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数的可能取值进行讨论即可.【解析】：方法一：对方程组的系数矩阵作初等行变换，有 当时，故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为： 于是方程组的通解为： 其中为任意常数.当时，对矩阵B作初等行变换，有 可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.方法二：方程组的系数行列式为 .当，即或时，方程组有非零解.当时，对系数矩阵作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数.当时，对系数矩阵作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.【评注】 矩阵的行列式也可这样计算：=+，矩阵的特征值为，从而的特征值为，.五同解与公共解30、【解析】：考虑线性方程组 其系数矩阵 因而得到方程组的基础解系，代入得到方程组（）的基础解系为.求得（）的通解为，其中为任意常数.由此可见矩阵的秩.31、【答案】（B）【解析】：当时，易知，故（）的解必是（）的解，也即正确、错误.当时，假设，则有均不为零，可以证明这种情况下是线性无关的.由于均为维向量，而个维向量都是线性相关的，