数学模型之减肥计划.ppt

减肥计划 节食与运动 数学模型之 在国人初步进入小康社会以后 不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台 可是大量事实说明 多数减肥食品达不到减肥的目标 或者能减肥但无法维持 许多医生和专家建议 只有通过控制饮食和适当运动 才能在不伤害身体的条件下 达到减肥并维持的目的 由此便可以引出本节的研究重点 建立体重变化规律的模型 并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划 问题背景 通常 人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏 人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等 导致体重增加 又由于代谢和运动消耗热量 引起体重减少 做适当的假设就可以得到体重变化的关系 模型分析 为方便起见 制定减肥计划我们以周为时间单位 所以这里用离散事件模型 差分方程模型来讨论 假设前提 模型假设 体重增加正比于吸收的热量 平均每8000kcal增加1kg 1kcal 4 2kj 正常代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal 320kcal 且因人而异 运动引起的体重减少正比于体重 且与运动形式有关 为了安全与健康 每周体重减少不宜超过1 5kg 每周吸收热量不少于10000kcal K 表示第几周 k 表示第k周的体重 C k 表示第k周吸收的热量 表示热量转换系数 1 8000 kg kcal 表示代谢消耗系数 因人而异 建立基本模型 减肥计划的提出 我们制定一个减肥计划来讨论基本模型 事例某甲身高1 7m 体重100kg BMI高达34 6 该人目前每周吸收20000kcal热量 体重长期不变 制定减肥计划 1 先确定甲的代谢消耗系数 根据已知条件c 20000kcal 1 8000 100kg不变 由基本模型得 c 0 025这相当于每周每公斤体重消耗热量20000 100 200kcal 从假设2知 甲的代谢消耗很弱 所以吃得多必将导致他变胖 第一阶段 要求每周体重减少b 1kg 吸收热量减至下限cmin 10000kcal 即 k k 1 1 0 k bk k 1 k c k 1 k 根据 b cmin已知 有C k 1 12000 200k cmin 10000得k 10 即第一阶段共10周 按照C k 1 12000 200k吸收热量 可使体重每周减1kg 至第10周末可减至90kg 第二阶段 要求每周吸收热量保持下限cmin 由基本模型得 k 1 k cmin k 1 k cmin要得到减至75kg所需周数 可将上式递推得已知 k 90 cmin 求 k 1 75 由上式得 75 0 975n 90 50 50解得n 19 即每周吸收热量保持在下限 再过19周就可减至75kg 2 为加快进程 第二阶段增加运动 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量 记表中热量消耗 每周运动时间t 利用增加运动后的基本模型 其中 1 1 t 即 k 1 k c k 1 t k 试取 t 0 003 即 t 24 则 0 028所以由上式带入已知条件得n 14 即若增加 t 24的运动 每周跳舞8小时或自行车10小时 就可将第二阶段时间缩短为14周 3 若要维持75kg的体重 最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c 使 k 不变 由上式 c t C t 若不运动得c 15000kcal 若运动 则c 16800kcal k 1 k c k 1 t k 减肥建议 通过减肥模型可以看出 当 由0 025变为 0 028 变化约为12 减肥时间就从19周减到14周 变化约为25 可见通过改变 即改变运动的形