[高等教育]线性代数第二章矩阵.ppt

第二章矩阵及其运算 Matrix Operation 一矩阵的基本概念 二矩阵的运算 三逆矩阵 五矩阵的初等变换与秩 四矩阵分块法 总结 六初等矩阵 第一节矩阵的基本概念 一矩阵的引入 三几种特殊矩阵 四矩阵与线性变换 五小结 二矩阵的概念 1 某班级同学早餐情况 这个数表反映了学生的早餐情况 为了方便 常用下面的数表表示 一 矩阵的引入 2 某航空公司在 四城市之间的航线图 其中 表示有航班 为了便于计算 把表中的 改成 空白地方填上 就得到一个数表 这个数表反映了四城市间交通联接情况 为了方便 常用下面的数表表示 3 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 二 矩阵的定义 定义 排成的行列的矩形数表 称为数域 由数域中的个数 记作 称为矩阵的元 或 或 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 注 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵 行数与列数相等的矩阵称为 阶方阵 若 且 称两矩阵同型 称为方阵的行列式 若 且 称两矩阵相等 例如 实矩阵 矩阵 行矩阵 矩阵 阶方阵 两矩阵同型 两矩阵相等 三 几种特殊的矩阵 零矩阵 个元素全为零的矩阵称为零矩阵 注意不同的零矩阵未必相等的 记作或 对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵 记作 单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵 记作 4 数量矩阵 记作 主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵 5 三角矩阵 形如 形如 的矩阵称为 上三角矩阵 的矩阵称为 下三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵 记作 6 负矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵 1 若有零行 元素全为零的行 位于底部 若 则称 为的负矩阵 记作 7 行阶梯形矩阵 2 各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右 如 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵 1 行阶梯形矩阵 8 行最简形矩阵 2 各非零行的首非零元均为1 3 首非零元所在列其它元素均为 如 称满足下列两个条件的矩阵为标准形 1 左上角为单位阵 标准形 其它元素均为 如 之间的关系式 一个线性变换 四 矩阵与线性变换的关系 个变量与个变量 表示一个从变量到变量 其中为常数 线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为 称之为恒等变换 单位阵 线性变换 线性变换 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换 1 矩阵的概念 五 小结 2 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵 单位矩阵 对角矩阵 零矩阵 矩阵与行列式的有何区别 思考题 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个算式 一个数字行列式经过计算可求得其值 而矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同 另外行列式与矩阵的记号也是不同的 解答 第二节矩阵的运算 一加法 三乘法 四矩阵的幂 九小结 二数乘 六方阵的行列式 五矩阵的转置 七伴随矩阵 八共轭矩阵 课前复习 1 矩阵的定义 形数表 称为数域 中的一个 矩阵 由数域 中的 个数排成的 行 列的矩 记作 注 实矩阵 复矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 方阵的行列式 两矩阵同型 两矩阵相等 2 几种特殊的矩阵 1 零矩阵 个元素全为零的矩阵称为零矩阵 2 对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵 3 单位矩阵 主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为单位阵 4 数量矩阵 主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为数量阵 5 三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵 6 负矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵 1 若有零行 元素全为零的行 位于底部 7 阶梯形矩阵 2 各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵 1 行阶梯形矩阵 8 行最简形矩阵 2 各非零行的首非零元均为 3 首非零元所在列其它元素均为 称满足下列两个条件的矩阵为标准形 1 左上角为单位阵 9 标准形 其它元素均为 一 矩阵的加法 1 定义 注意 只有同型矩阵才能进行加法运算 2 运算规律 设 均是同型矩阵 1 交换律 2 结合律 3 4 5 减法 二 数乘矩阵 1 定义 2 运算规律 设均是矩阵 1 2 3 4 6 1 数乘矩阵是数 去乘 中的每一个元素 注意 5 2 若 则 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算 三 矩阵的乘法 1 引例设甲 乙两家公司生产 三种型 如果生产这三种型号的计算机每台的利润 单位 万 那么这两家公司的月利润 单位 万元 为多少 号的计算机 月产量 单位 台 为 元 台 为 甲公司每月的利润为29 1万元 乙公司的利润为 由例题可知矩阵 的元素之间有下列关系 34 1万元 依题意 2 定义 若 规定 其中 注 1 条件 左矩阵 的列数等于右矩阵 的行数 2 方法 3 结果 左行右列 左矩阵 的行数为乘积 的行数 右矩阵 的列数为乘积 的列数 特别 为一阶方阵 即一个数 一个 阶方阵 例1 设 解 3 矩阵相乘的三大特征 1 无交换律 2 无消去律 3 若 4 运算规律 假定所有运算合法 是矩阵 2 3 4 5 注 不尽相同 亦不尽相同 1 定义 对于矩阵 若 称与可交换 例2 设 求的所有可交换矩阵 解 设 于是 即 建立方程组得 所以 四 方阵的幂 1 定义 注 1 一般矩阵的幂无意义 除了方阵 2 只能是正整数 1 2 4 3 5 注 7 例3 解 下用数学归纳法证明 猜想 当时 等式显然成立 当时 等式成立 即 等式成立 所以猜想正确 要证时成立 此时有 解 例4 易见 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 五 矩阵的转置 1 定义 2 运算规律 假定所有运算合法 是矩阵 1 2 4 3 特别 例5 已知 解 所以 而且 显然 对称矩阵的特点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 如 3 对称矩阵 定义 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵 对称矩阵的数乘也是对称矩阵 但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 特别 定义 反对称矩阵的主要特点是 主对角线上的元素为0 其余的元素关于主对角线互为相反数 如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵 但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵 特别 4 反对称矩阵 证明 例6 设列矩阵 满足 为阶单位矩阵 且 证明是对 称矩阵 且 是对称矩阵 又 证明任一阶方阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 命题得证 例7 设 则 设 则 六 方阵的行列式 注意方阵与行列式是两个不同的概念 1 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 叫做方阵 的行列式 记作 2 运算规律 假定所有运算合法 是矩阵 1 2 4 3 注 例8 已知 解 所以 易见 1 定义 行列式的各个元素的代数余子式按照的位置所构成矩阵的转置 七 伴随矩阵 称为矩阵的伴随矩阵 2 运算规律 假定所有运算合法 是矩阵 1 2 或 同理可得 性质 证明 所以 0 0 八 共轭矩阵 1 定义 当为复矩阵时 用表示的共轭复数 记 称为的共轭矩阵 2 运算规律 假定所有运算合法 是矩阵 1 2 3 4 6 5 7 九 小结 矩阵运算 数乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 方阵的幂 线性运算 对称矩阵 反对称矩阵 加法 一背景 二逆矩阵的概念与性质 三应用 四小结 第三节逆矩阵 课前复习 矩阵运算 加法 数乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 矩阵的幂 线性运算 对称矩阵 反对称矩阵 乘法运算中的 在数的运算中 当数 时 则称为的倒数 个矩阵 在矩阵的运算中 一 背景 1 数 2 矩阵 则矩阵 称为的可逆矩阵 或称为的逆 有 单位阵 相当于数的 那么 对于矩阵 如果存在一 有 称为的逆阵 3 线性变换 它的系数矩阵是一个 阶矩阵 若记 则上述线性变换可表示为 按Cramer法则 若 则由上述线性变换可 解出 在按第列展开得 即 则可用线性表示为 若令 易知这个表达式是唯一的 这是从到的线性变换 称为 原线性变换的逆变换 若把此逆变换的系数记作 则此逆变换也可以记作 为恒等变换所对应的矩阵 故 因此 于是有 由此 可得 可见 又 例 使得 的逆矩阵记作 二 逆矩阵的概念和性质 1 定义 对于阶方阵 如果有一个阶方阵 则称方阵是可逆的 是的逆矩阵 并把方阵称为的逆矩阵 若设和是逆矩阵 则有 所以的逆矩阵是唯一的 即 说明若是可逆矩阵 则的逆矩阵是唯一的 证明 于是 例1 设 求的逆矩阵 解 设 则 证明 使得 两边求行列式 有 定理1 若矩阵可逆 则 若矩阵可逆 则即有 定理2 矩阵可逆的充要条件是 且 证明 因为矩阵与其伴随矩阵有 故有 又因为 所以 按逆矩阵的定义 即有 例2 解 当时 称为奇异矩阵 证明 推论 当时 称为非奇异矩阵 2 奇异矩阵与非奇异矩阵 易知 于是 3 运算规律 设均是阶可逆方阵 1 若 且 证明 由推论 即有 2 若 且 且 推广 证明 4 若 且 5 若 6 若 证明 且 证明 而 因为 所以 7 其它的一些公式 8 一些规定 四 应用 例3 求下列矩阵的逆 其中 解1 依对角矩阵的性质知 依矩阵的逆的定义 必有 易知 解2 即 计算 其中 例4 的行列式 解 例5 求 解 设 且满足 有 而 设 求 例6 解 例7 解矩阵方程 解 设 例8 证明 证明 例9 所以可逆 例10 可逆 并求它们的逆矩阵 由 证明 所以可逆 逆矩阵的概念及运算性质 逆矩阵的计算方法 逆矩阵存在 五 小结 定义法 初等变换法 后面介绍 一矩阵的分块 二分块矩阵的运算法则 五小结 六思考 第四节矩阵的分块法 三应用 四两种特殊的分块法 课前复习 使得 的逆矩阵记作 定义 对于 阶矩阵 如果有一个 阶矩阵 则称矩阵 是可逆的 并把矩阵 称为 的逆矩阵 说明若 是可逆矩阵 则 的逆矩阵是唯一的 定理1 若矩阵 可逆 则 定理2 矩阵 可逆的充要条件是 且 其中为矩阵 的伴随矩阵 当时 称为奇异矩阵 当时 称为非奇异矩阵 运算规律 设 均是 阶方阵 1 若 且 2 若 且 推广 4 若 且 5 若 6 若 且 且 其中 为整数 7 其它的一些公式 8 一些规定 一 矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 为了简化运算 经常采用分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算 具体做法是 将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵 每一个小矩阵称为子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例 即 注 分块时首先满足 再考虑对角或三角矩阵 然后考虑以及其它的特殊矩阵 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式 二 分块矩阵的运算规则 1 矩阵的加法 设与为同型矩阵 采用相同的分块法 有 其中与为同型矩阵 则 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似 2 数乘 则 3 乘法 设 分块成 其中的列数分别等于的行数 其中 4 转置 则 那么 分块矩阵的转置为先大转置 而后小转置 都是方阵 5 分块对角矩阵 设 为 阶方阵 若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 这些非零子块必须为方阵 其余子块全为零 那么方阵 就称为分块对角阵 即如 都是分块对角阵 分块对角矩阵具有下述性质 1 2 3 若 则有 若 则有 5 若 则 均为可逆方阵 4 若 则 6 设 则 例1设 三 应用 求 解 分块 则 又 于是 例2设 求 解 1 例3设 求 其中 解 例4设为阶方阵 分别为的伴随矩阵 分析 例5设 求 解令 其中 所以 而 所以可求 四 两种特殊的分块法 按行分块与按列分块 对于线性方程组 若记 其中称为系数矩阵 称为增广矩阵 称为未知数向量 称为常数项向量 按分块矩阵的记法 可记 利用矩阵的乘法 此方程组可记作 如果把系数矩阵按行分成块 则线性方程组 可记作 这就相当于把每个方程 记作 如果把系数矩阵按列分成块 则与相乘的相应 的应分为块 从而可记作 即 对于矩阵与矩阵的乘积矩阵 若把按行分成块 把按列分成 块 其中 便有 另外 以对角矩阵左乘矩阵时 把按行 分块 有 另外 以对角矩阵右乘矩阵时 把按列 分块 有 在矩阵理论的研究中 矩阵的分块是一种最基本 最重要的计算技巧与方法 1 加法 2 数乘 3 乘法 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 同型矩阵 采同相同的分块法 数乘矩阵 需乘的每一个子块 若与相乘 需的列的划分与 的行的划分相一致 五 小结 4 转置 5 分块对角阵的行列式与逆阵 6 两种特殊的分块法 按行分块与按列分块 六 思考题 证 一消元法 二矩阵的初等变换 五小结 六思考 第五节矩阵的初等变换与秩 三矩阵的秩 四应用举例 课前复习 1 矩阵的逆 2 分块对角矩阵 1 2 3 若 4 若 则 则 3 线性方程组的几种形式 4 与的乘法 引例 求解线性方程组 一 消元法解线性方程组 解 即 其中 为任意常数 总结 1 上述解方程组的方法称为高斯消元法 2 始终把方程组看作一个整体变形 用三种变换 1 交换方程次序 2 以不等于 的数乘某个方程 3 一个方程的 倍加到另一个方程 3 这三种变换均可逆 4 方程组的变换可以看成矩阵的变换 1 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 互换两行 2 数乘某行 3 倍加某行 二 矩阵的初等变换 ElementaryTransformation 定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换 同理 把换成可定义矩阵的初等列变换 ERT ECT ET 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 逆变换 逆变换 逆变换 定义 就称矩阵 记作 等价关系的性质 具有上述三条性质的关系就称为等价 1 反身性 2 对称性 3 传递性 利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵 利用初等行变换 也可把矩阵化为行最简形矩阵 定理 利用初等行变换 再利用初等列变换最后可把矩 阵化为标准形矩阵 三 矩阵的秩 1 子阵与阶子式 将矩阵 的某些行和列划去 可以只 划去某些行或列 剩下的元素按原来的顺序构成的 新矩阵叫做 矩阵的子矩阵 位于这些行与列交叉处的 个元素 依照它们在 中的位置次序不变而得的 阶行列式 称为矩阵 的一个 定义 定义 阶子式 矩阵共有个阶子式 最低阶为阶 最高阶为阶 如 矩阵 取第1行 第3行和第1列 第4列交叉处的元素 二阶子式是 组成的 而在这个矩阵中 都是矩阵的子矩阵 2 矩阵的秩 定义 1 2 则称为矩阵的最高阶非零子式 记为或 1 性质 2 3 4 阶方阵 5 其中 6 最高阶非零子式 的阶数称为矩阵的秩 定义 阶方阵 为满秩阵 则称 定义 则称为行满秩阵 则称为列满秩阵 结论 矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 则称 为降秩阵 定义 所有与等价的矩阵的集合称为一个等价类 注 所有矩阵可以划分为 一个等价类 化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵 仅能 用初等行变换 而化为标准形矩阵时 初等行变 换和初等列变换均可使用 任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一 标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵 同型同秩矩阵等价 例 解 计算A的3阶子式 用定义求矩阵的秩并非易事 后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩 四 应用举例 解 例 并求的一个最高阶非零子式 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 求的一个最高阶非零子式 知的一个最高阶非零子式为 阶 的阶子式共有个 考察的行阶梯形矩阵 记 则在 中找一个三阶非零子式 根据初等行变换对应到A中可以找到一个三阶非零子式 易验证 的一个最高阶非零子式 例 设 其中 求 解 分析 直接将化为阶梯形矩阵即可 故 例4将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形 再化为行最简形 最后化为标准形 并求其秩 注意 化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换 化矩阵为标准形时 初等行变换和初等列变换均可以使用 依次为行阶梯形和行最简形矩阵 秩显然为 子阵与阶子式 秩的定义及性质 五 小结 矩阵的初等变换 Elementarytransformation 初等行 列 变换 1 2 则称为矩阵的最高阶非零子式 记为或 最高阶非零子式 的阶数称为矩阵的秩 就称矩阵 记作 矩阵等价具有的性质 利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵 利用初等行变换 也可把矩阵化为行最简形矩阵 利用初等行变换 再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵 矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 一初等矩阵 三小结 第六节初等矩阵 二应用举例 子式与阶子式 秩的定义及性质 课前复习 矩阵的初等变换 Elementarytransformation 初等行 列 变换 1 2 则称为矩阵的最高阶非零子式 记为或 最高阶非零子式 的阶数称为矩阵的秩 就称矩阵 记作 矩阵等价具有的性质 利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵 利用初等行变换 也可把矩阵化为行最简形矩阵 利用初等行变换 再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵 矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 相应的 三种初等变