经济数学练习题.doc

经济数学练习题一 判断题1 曲线不是正则曲线。 ( ) 2 圆柱螺线的切线与z轴成固定角。( ) 3 空间曲线r = r (t), 当常数时,该空间曲线是圆。 ( ) 4 若两个曲面间的变换是保角变换,则该变换也是等距变换。 ( ) 5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,则曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。 ( ) 6 可作为曲面的第一基本形式。( ) 7 若则方向是正交方向。( )8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。( )9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是。( )10 曲面的欧拉公式为。( )11 等距交换一定是保角变换。( )12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。( )13 曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。( )14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。( )15 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( )二 填空题1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，都与r (t)_。2 设r ( t )为可微分的向量函数，且（a为常向量，），则曲线r = r ( t )的图形是_。3 螺线r = cost , sin t , t上点（1，0，0）的切线方程是_。4 正螺线r = u cos v , u sin v , b v 坐标曲线的方程是_。5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的_性质。6 已知，=_,=_=_=_,=_。7 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是_曲线。8 曲面的曲纹坐标网是渐近网的_条件是L=N=0。9 曲面的曲纹坐标网是共轭网的_条件M=0。10 主方向的判别定理（罗德里格定理），如果方向是主方向则：_。11 曲面上的曲纹坐标网是率线网的充分必要条件是_。12 曲面的第三基本形式为_。13 每一个可展曲面或是柱面、或是锥面、或是_曲面。14 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。15 设；则：=_。16 沿曲面上一条曲线平行移动时，保持_不变。17 如果曲面的平行移动与路径无关，则_曲面。18 测地线是它的切线沿自身平行的曲线，即_曲线。19 当向量沿测地线平移时，它与测地线的_保持不变。20 正规曲线（c）：r = r ( t )称为简单的，如果向量函数r ( t )在_是_；_的。21若函数，则22设需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 23 24设是三个事件，则发生，但至少有一个不发生的事件表示为 25设为两个阶矩阵，且可逆，则矩阵方程的解 26.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_.27.对合由_唯一决定.28.二阶曲线就是_的全体.29.证明公理体系的和谐性常用_法.30.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_直线.31._，称为仿射不变性和仿射不变量.32.共线三点的简比是_不变量.33.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_.34.点坐标为(1，0，0)的方程是_.35. =0代表点_的方程.36函数的定义域是3738函数f (x) = -sin3x的原函数是39设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 40齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 . 三 选择题单选题1 曲线，从到的弧长是。（ ） A 、1 B、 2 C、 D、2 若空间曲线r ( t )与都平行于固定平面，则该曲线的挠率为。（ ） A。1 B。-1 C。2 D。03 抛物线y = x2在x = 0点的相对曲率是。（ ） A。1 B。2 C。-1 D。1/24 曲面上的点根据杜邦指标线Lx2 + 2Mxy + Ny2=进类，当LN - M20时，称点P为。 A。椭圆点 B。双曲点 C。抛物点 D。平点 （ ）5 已知曲面上一点P的高斯曲率K=2，平均曲率H=3/2，该曲面在点P处的两个主曲率为 A。 2、1 B。2、0 C。1、1/2 D。-1、1 （ ）多选题 7 空间曲线（C）满足下列条件之一，均是平面曲线。（ ） A。 B、 C、k=0 D、 8 下列关系式中表示曲线相对曲率的有（ ） A。 B。x y x y C。 D。9 下列曲线为一般螺线的有（ ） A。曲线的主法线与固定方向成固定角 B。曲线的切线与固定方向成固定角 C。曲线的副法线与固定方向成固定角 D。曲线的曲率与挠率之比为定值。 10线性方程组满足结论（ ）A无解 B有无穷多解C只有解 D有唯一解 11下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的A， B， C， D，12设函数 在x = 0处连续，则k = ( ) A-2 B-1 C1 D2 13. 函数在处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 14下列函数在区间上单调减少的是（ ）A B2 x Cx 2 D3 - x 15.若，则=（ ）. A. B. C. D. 16下列等式中正确的是（ ）A . B. C. D. 17设23，25，22，35，20，24是一组数据，则这组数据的中位数是（）A. B. C. D. 18设随机变量X的期望，方差D(X) = 3，则= ( ) A. 36 B. 30 C. 6 D. 9 19设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. （其中为非零常数）20设，则（ ） A B C D21曲线y = sinx +1在点(0, 1)处的切线方程为（ ）A. y = x +1 B. y = 2x +1 C. y = x -1 D. y = 2x -122. 若，则f (x) =（ ）A- B C D -23设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 24. 线性方程组 解的情况是（ ）A. 有无穷多解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 无解四 计算题1 求圆柱螺线在；点的三个基本向 Y和密切平面、主法线方程。2 求曲线曲率与挠率。3 已知曲面的第一基本形式为 求坐标曲线的测地曲率。4 求球面上的第一、第二基本形式及法曲率。5 求曲面z = xy2的渐近曲线。6 计算悬链面的第一、第二基本形式。7 计算抛物面2x3=5x12+4x1x2+2x22 在原点的第一、第二基本形式。8 计算位于半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率。9 计算球面的第一基本形式10 求正螺面上的测地线。 1112设函数由方程确定，求 13 14求微分方程的通解15.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。16.求仿射变换的不变点.17.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.18.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-x3=0与x2-x3=0 (=)所决定的.19.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.20求微分方程的通解21设矩阵，求. 22求线性方程组 的一般解五 证明题1 证明：如果空间曲线的所有切线都经过一个空点则此空间曲线是直线。2 在曲面上一点，含du ; dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2确定两个切方向和()证明这两个方向垂直的充要条件是：ER-2FQ+GD=03 问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？4 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。5 证明一条曲线为一般螺线的充要条件是)。6 证明：在曲面Z=f (x)+g (y)上曲线族 x=常数；y=常数构成共轭网。7 证明：命题1 K2=Kg2+Kn2。8 曲面的第一基本形式为I=E（u）du2+G(u)dv2求证：u-曲线是测地线。9设是矩阵，试证明是对称矩阵10.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l，证明ll. 证明：11试证：若均与可交换，则也与可交换12试证：若均与可交换，则也与可交换六 综合题1 如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面交成空角,则它是平面曲线。2 给出曲面上一条曲率线,设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线。3 证明曲面上曲纹坐标网是曲线网的充分必要条件是F=M=0。4 求证平面族a2x+2ay+2=2a的包络5 证明的曲面是柱面。6求半径为R的球面上测地三角形三内角之和。7 证明曲率恒等于零的曲线是直线。8 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。经济数学练习题答案一 判断题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 填空题1.垂直 2.直线 3. 4. 5. 内在 6. 7 。渐近 8 。充分必要 9。充分必要 10。 11。F=M=0 12。 III=ds*2=dn2=edu2+2fdudv+gdv2 13。 一条曲线的切线 14。 高斯曲率 15。 16 。向量的内积 17。纹曲面一定是可展 18。 测地线是自平行 19。夹角 20。 一个周期内21. 22. 23. 24. 2526. -1 27. 两对不同的对应元素28. 两个射影线束对应直线交点 29. 模型 30. 分散31. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量 32. 仿射 33. 仿射变换34. u1=0 35. (1，1，0)、(1，-1，0) 36. -5，2） 37. 0 38. cos3x + c (c 是任意常数) 39. 可交换 40 (其中是自由未知量)三 选择题1。A 2。D 3。A 4。B 5。A 7。ABD 8。ACD 9 。BCD 10. D 11D 12. C 13. A 14. D 15. B 16. C 17. A 18. C 19. B 20C 21. A 22. B 23. C 24. D 四 计算题1解：三个基本向量 密切平面： 所求密切平面方程为 = 0，即 主法线方程为：法平面方程为。即 ,即Y=Z=02.解：于是， ， ， 所以曲率为， 挠率为，3已知曲面的第一基本形式为求坐标曲线的测地曲率。解 E=G=v，F=0，Gu=0 , Ev=1u-线的测地曲率 u-线的测地曲率：4解：， ， ， 由此得第一类基本量因而 。 又 ， 故因而法曲率。5 解： ， , , , , 故渐进曲线方程为。6 见教材77页。7 见教材86页。8见教材158页。9 解：由可得出 由此得到曲线面的第一类基本量 因而10见教材150页。11解 （6分）12解 （3分） 故 （6分）13 解：=- （ 4分） = （ 6分） 14解 ， 用公式 （2分） （6分）15.解：化为齐次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 无穷远点坐标为(2，1，0)16.解：由 得 解此方程，得不变点为17.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，则(2，1，-1)+1(1,-1,1)相当于(1，0，0) 得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)得 2=-所求交比为 18.解：= (1)将x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程 19.解： 系数行列式 A31=, A32=, A33=-,因此中心坐标 =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)将 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即为所求的渐近线方程20解 将原方程分离变量 两端积分得通解 21解 因为= = 所以= 22解 因为 一般解为：， 其中，是自由未知量 五 证明题1证明：如果空间曲线的所有切线都经过一个定点，则此空间曲线是直线 证明：设空间曲线方程为 切线方程为 t0为任意值。 若空间曲线的所有切线都经过一个定点，则对任意的t0，切线方程有公共解，易见该曲线的曲率恒为0，即，因而，由此（常向量），积分得r = at +b, b也为常向量，这是直线参数方程。2 在曲面上一点，含du , dv的二次方程： 确定两个切方向和，证明这两个方向互相垂直的充要条件是： 证明：设曲面方程为则 是曲面S的第一类基本量。 若与互相垂直。 则易见若 则3答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地 线。事实上，设，则的切向量为 记 则曲线的切向量沿平行移动 为测地线4 见教材38页5 见教材41页6 见教材93页7 证明：8 证明：u-曲线的方程为由得到所以 代入刘维尔公式得 因此得到u-曲线是测地线。9、解证 因为，所以是对称矩阵。 10、.证明：已知F为焦点，l，l为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.从而 (FI，FJ，l，l)=-1，所以 ll11. 证 因为，且（）=（）所以