习题22变分法.pdf

391 试根据变分原理导出完全柔软的均匀弦的横振动方程 取弦上足够短的一段 该段弦的动能为dx 2 1 2 u dx t 势能为 2 1 2 u Tdx x 弦的 Hamilton 作用量 1111 0000 22 1 2 txtx tx txtx uu SF u udxdtTdxdxdt tx 该泛函的 Euler Lagrange 方程为 22 22 0 tx FFuu T tux utx 392 设 yy x F y y 不显含x 证明 b a J yF y y dx y aA y bB 取极值的必要条件 是 F yF y C 常数 x b bb aa x a FFFFdF J yyydxyyy dx yyyydx y 0 b a FdF ydx ydx y 所以0 FdF ydx y 由于0 dFFdFFFdFF yFyyyyy dxyydx yyydx yy 所以 F yF y C 393 求泛函 1 2 0 1 00 11 J yy dx yy 的极值曲线 Euler Lagrange 方程为 2 0 1 dy dx y 所以 2 1yCy 可得 1 yC 积分得 1 y xC xC 2 由边界条件得y x 394 如下图所示 写出单位球面上从 A 点到 B 点的 短程线 所满足的微分方程 并求出 短程线 证明此短程线在过 A B 两点的大圆上 基于对称性的考虑 不妨取 A 点坐标为 00 0 0 B 点坐标为 11 单位球面上弧元为 22 sindsdd 2 A B 间弧长为 1 22 0 1sinsd dd Euler Lagrange 方程为 2 22 sin 0 1 sin d d 即 2 22 sin 1 sin C 代入 A 点坐标可得 0C 所以0 d d 即 1 C 代入 B 点坐标得 1 这正是在大圆上 395 一质点在重力作用下沿光滑曲线由点 11 x y运动至点 22 xy 见下图 试求 捷 线 即质点沿此曲线运动费时最少 所满足的微分方程 2 01 2 ds vvg y dt y 所以 222 111 2 2 2 01 01 1 2 2 xyx x yx dsy td vg yy vg yy x 记 2 2 01 1 2 y F y y vg yy 由 392 题结论 F yF y C 即 2 2 222 0101 11 1 122 y yC yvg yyvg yy 还可写成 2 01 2 1 2 1 C vg yy y 396 若 y x使泛函 b a J yF x y y dx y aA y bB 在限制条件 1 b a JyG x y y dx C 下 取极值 且相应的 Lagrange 乘子0 试证明 y x也使泛函在 1 b a JyG x y y dx y aA y bB 限制条件 b a J yF x y y dx D下取极值 第一个泛函极值问题引入 Lagrange 乘子 则 y x满足 b a FG dx 的 Euler Lagrange 方程 0 FGFG yy yyyy 由于0 方程两边乘 1 得 11 0 GFGF yy yyyy 这正是 1 b a GF d x 的 Euler Lagrange 方程 即 y x是第二个泛函极值问题的解 397 过二已知点 11 x y 22 xy作一曲线 使此曲线绕x轴旋转所得曲面面积最小 求 曲线作满足的微分方程 旋转面面积为 222 111 2 221 xyx x yx Sydsyy dx 由 392 题结论 Euler Lagrange 方程 为 2 2 2 1 1 yy yy y C 即 2 1 y C y 398 试写出本征值问题 2 0 0 uu u u n 所对应的泛函极值问题 设0 由于 所以 2 u uuuuu 2 uuu uuu 2 VV uuudVu uuuu u dV 2 1 2 VV u udSuuu u dVu udSuuudV n 22 1 0 2 V u dSuuudV 即对应泛函 2 0 V u dSuudV u u n 在条件 2 V u dVC 下的极值 399 设有一长为 1 的弦 由同种质料组成 线密度 1xx 01x 则振动方程 为 22 2 1 uu xT tx 2 试用 Ritz 方法求出两端固定时的最低固有频率 令 i t u x ty x e 代入方程得 2 10yx T y 对应泛函 2 1 2 0 1yx y T 2 dx 的极值 取一组基函数展开 y x 1 n kk k ycx 泛函化为 2 1 0 1111 1 nnnn klklklklkl klkl c cxxxxxdxc c f T 要使它取极值 只需使它对 k c1 2 kn 的偏导数为 0 即 1 20 n lklkkk ll k c fc f 写成矩阵式 1 2 k n 11112 1 22122 2 12 2 2 0 2 n n nnnn n fff c fff c fff c 解之即可 400 用 Ritz 方法求出的最低两个本征值的近似值 取