理论力学课件9.ppt

第七章 刚体的平面运动 第七章刚体的平面运动 在运动过程中 刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动 该种运动称为刚体的平面平行运动 简称为平面运动 第一节 刚体平面运动的运动方程 一 平面运动的特征 A点在II平面内运动 A1A2作平动 A1 A2 A各点运动轨迹相同 二 平面运动刚体的运动方程 1 基本概念 基点 O 与x o y 固结 角坐标 2 运动方程 或 特例 1 若 常数 AB的方位不变 刚体作平动 2 若xA 常数 yA 常数 则刚体作定轴转动 举例 圆轮A 半径为R 沿直线向右作纯滚动 轮心A的速度 v0 常数 试求圆轮的平面运动方程 圆轮的平面运动方程 三 平面运动的分解 平移和转动 举例 分解方式 先由A1B1平移到A2B 1位移为 r 再绕A2转到A2B2 转角 先绕A1转到A1B 2 转角 再由A1B 2平移到A2B2位移为 r 一般刚体平面运动的分解 以A为原点建立动坐标系x Ay A为基点 AB先随动系平移到A B1 再绕基点A 转 1 以B为原点建立平移动系Bx y B为基点 AB先随动系平移到B A1 再绕基点B 转 2 如图 平面S在定系中的运动可由其中的直线AB来代替 而AB的又可看成平动和转动的合成 或者说刚体的平面运动可分解成平动和转动 具体方法有如下两种 则 AB转动的角速度为 平面图形的角速度和角加速度 则 AB转动的角加速度为 结论 1 刚体平面运动可分解为基点 动系原点 的平移运动 牵连运动 和绕该基点的转动 相对运动 2 将刚体平面运动分解平移和转动时 基点选择不同 基点的平动轨迹不同 但转动规律与基点选择无关 3 平面图形相对于任选基点所建立的平移动系的角速度就是它的绝对角速度 第二节 求平面图形内各点速度的基点法 1 矢量表达式 如图 已知某一瞬时平面图形S内某一点的速度vA和图形的角速度w 求平面图形上任一点B的速度vB 2 定义 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和 基点法或称为速度合成法 3 举例 曲柄OA绕O轴转动 滑块B沿水平方向运动 连杆AB作平面运动 因此选AB杆作为研究对象 1 分析运动 选取研究对象 例1 发动机的曲柄连杆机构如下图所示 曲柄OA长为r30cm 以等角速度w 2rad s绕o点转动 连杆AB长为l 40cm 试求 当 OAB 900时 滑块B的速度和连杆AB的角速度 2 选基点 由于连杆AB上A点的速度已知 故选A点为基点 3 根据速度合成法 基点法 求未知量 如图所示 作出速度平行四边形 最后由几何关系得 瞬时针方向 水平方向 例2 图示椭圆规 已知 AB l 20 vA 20 s 30 C为杆AB的中点 试求 vB AB vC 解 1 分析各刚体的运动 选取研究对象 选取AB作为研究对象 2 分析与AB连接点的运动 选取运动已知的点为基点 选A点 基点 A点运动已知 vB vA vBA 3 由基点法的速度合成定理确定其余量 大小 方向 4 由三角关系求出所求量 顺时针 60 1 分析各刚体的运动 取研究对象 2 分析与平面运动刚体连接点的运动 选取运动已知的点为基点 vB vA vBA 3 由基点法的速度合成定理确定其余量 方向 4 由三角关系求出所求量 大小 基点法解题步骤 第三节速度投影定理 将矢量式 向AB连线上投影可得 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等 速度投影定理 1 定义 2 定理证明 因为vBA AB 所以 vBA AB 0 从而可得 3 例题 例1 发动机的曲柄连杆机构如下图所示 曲柄OA长为r30cm 以等角速度w 2rad s绕o点转动 连杆AB长为l 40cm 试求 当 OAB 900时 用速度投影法求滑块B的速度 解 因为A点的速度大小 方向已知 B点速度的方向已知 根据速度投影定理 将vA vB向AB杆轴线上投影 得 即 将 代入上式 得 例2 椭圆规尺的A端以速度vA沿X轴负向运动 AB L 已知 试求B端的速度及AB的角速度 解 1 求B的速度vB 因为A点的速度大小 方向已知 B点速度的方向已知 根据速度投影定理 将vA vB向AB杆轴线上投影 得 即 2 求AB的角速度 AB 1 问题的提出 第四节速度瞬心法 利用基点法求平面图形上点的速度 如若基点的速度为零的话 问题的求解将变的极为简单 速度瞬心法就是建立在这样一个思想基础上的 2 引例 右图所示为一沿直线轨道滚动而不滑动的车轮 所以车轮与地面接触点C具有与地面相同的速度 由于地面上的点总是不动的 其速度为零 故车轮上与地面接触点C的速度也必为零 即vc 0 3 速度瞬心 平面图形上某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心 简称速度瞬心 上例中 因基点C的瞬时速度为零 故平面图形上任一点的速度就等于该点绕瞬心转动的速度 图中A B两点的速度应分别为 结论 1 平面运动刚体上各点速度的大小与该点到瞬心的距离成正比 速度的方向垂直于该点到瞬心的连线 指向图形转动的一方 2 平面图形的运动可看成绕瞬心的瞬时转动 此时瞬心又称为转动瞬轴 3 已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度 则可以求出平面图形上任一点的速度 4 速度瞬心的位置随时间不断变化 在不同瞬时平面图形上有不同的速度瞬心 4 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上各点速度的方法称为速度瞬心法 5 速度瞬心位置的确定方法 1 当平面图形沿一固定平面作无滑动的滚动时 图形与固定平面的接触点即为平面图形的速度瞬心 只滚不滑 5 同一瞬时 速度瞬心的速度为零 但加速度不为零 2 如果已知平面图形上两点速度的方向 则分别通过这两点作速度的垂线 垂线的交点即为平面图形的瞬心 3 如果已知平面图形上A B两点速度的方向互相平行 且垂直于两点的连线AB 则此平面图形的速度瞬心必在AB线上或其延长线上 具体见下图所示 C 4 如果平面图形上两点的速度平行且相等 则速度瞬心在无远处 故图形的角速度 0 该时刻图形上各点速度相等 平面图形做瞬时平动 6 例题 例1 椭圆规尺的A端以速度vA沿X轴负向运动 AB L 已知 试求B端和中点C的速度及AB的角速度 AB作平面运动 由于A B两点速度方向已知 故确定速度瞬心C 1 求AB的角速度 AB 2 求B的速度vB 解 3 求C的速度vC 第五节平面图形内各点的加速度 基点法 1 加速度合成定理 平面图形的运动可分解为两部分 1 随基点A的平移 牵连运动 2 绕基点A的转动 相对运动 由加速度合成定理 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 7 7 求平面图形内点加速度的基点法 上式中的a BA anBA分别为 2 例题 例1 下图为一曲柄连杆机构 曲柄OA长r 连杆AB长l 曲柄以匀角速度 转动 当OA与水平线夹角 450时 OA正好与AB垂直 试求连杆AB的角加速度和滑块B的加速度 解 1 分析运动 确定基点 AB杆做平面运动 A点速度可求 选其作为基点 2 求A点加速度 3 求B点加速度 由求平面图形中点的加速度的基点法知 将上式向x轴上投影 并考虑下列两式 即可解出 顺时针 再将上式向AB方向投影 可求得 例2 外啮合行星齿轮 系杆O1O L以匀角速度 1绕O1转动 齿轮I半径为r 沿固定齿轮II滚而不滑 求齿轮I上两点A B的加速度 A位于O1O的沿长线上 B位于垂直于O1O的半径上 2 基点O的速度 加速度 轮I角速度 解 1 分析运动 确定基点 轮I做平面运动 O点加速度可求 选其作为基点 3 求B点的加速度 v0 4 求A点的加速度 由于轮I的 为常量 故 从而得 1 分析运动 杆BC 平面运动 例3 如图四连杆机构 已知AB杆以匀角速度 1 1 s 转动 试求 1 vC CD 2 aC CD 解 2 求速度 由速度投影定理 得