弹塑性力学——应力.ppt

弹塑性力学 绪论 研究对象弹性体 变形可完全恢复 几何上杆状构件 一维 板壳结构 二维 块体结构 三维 荷载 包括机械外力 温度 电磁力等各种物理因素 研究内容研究弹性体在外部荷载作用下其内部所产生的内力和变形 研究方法材料质点从宏观尺度上看它无限小 但微观尺度上看它无限大 它包含大量稀疏分布的分子 原子 材料质点的力学行为是这些大量分子 原子力学行为的统计平均 1 材料质点的平衡 未知应力数总是超出微分方程数 弹性力学问题总是超静定的 2 材料质点之间的变形必须是协调的 3 应满足应力与变形关系的方程 取决于材料性质 故称为物理方程 或称为本构方程 基本理论建立弹性力学的基本方程从静力学 变形协调和材料的物理关系等三个方面着手 弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程 求解方法 1 解析求解 2 数值求解法 差分方法 有限元方法和加权残数法等 弹性力学的基本体系 弹性力学基本假定 连续性完全弹性线弹性 小变形均匀性各向同性 应力矢量 T n 定义 坐标分量T n Txex Tyey Tzezex ey和ez表示坐标轴的单位基矢量 Tx Ty和Tz是应力矢量沿坐标轴分量 法线方向和切线方向分量沿法线方向的应力分量称为正应力 沿切线方向的应力分量称为剪应力 性质 同一点的T n 与所取截面的法线方向n有关 所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态只有三个面上的应力矢量是独立的 外法线为 n微面上的应力矢量为 T n T n 应力张量 zy z y x xy xz 微六面体 三个坐标面上的应力矢量T ex xex xyey xzezT ey yxex yey yzezT ez zxex zyey zez以上9个分量 构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量 张量表示用1 2 3取代下标x y z 应力正 负号规定正面上的应力若指向坐标轴正方向为正 否则为负 负面的应力若指向坐标轴负方向为正 否则为负 张量求和约定 哑指标 重复出现两次的指标 累加求和UiVi U1V1 U2V2 U3V3 ii 11 22 33自由指标 不重复出现的指标 例如 Aijxi Bj其中i是哑指标 而j是自由指标 可以取1 2 3 T ei ikek Chauchy公式 斜面应力公式 已知三个互相垂直面上的应力矢量 求任意一斜面上的应力矢量 由四面体平衡条件导出 由微四面体的平衡条件得 T n dS T ex ldS T ey mdS T ez ndS XdhdS 3 0T n T ex l T ey m T ez n将斜面应力矢量T n 沿坐标轴方向分解T n Txex Tyey Tzez斜截面公式Tx xl yxm zxnTy xyl ym zynTz xzl yzm zn张量表示Tj ni ij 求斜截面的各种应力 1 正应力 n T n n Txl Tym Tzn n xl2 ym2 zn2 2 xylm 2 yzmn 2 zxnl ijninj 2 剪应力确定力边界条件 例题 求在 面上的法向正应力和切向剪应力 解 平衡微分方程 在x 0的面上 应力是 x xy xz在x dx面上的应力由x方向的平衡 由y z方向的平衡力矩平衡 绕z轴 xydydz dx yxdxdz dy 0 xy yx绕x和y方向的形心轴取矩 yz zy xz zx 静力学边界条件 xl yxm zxn xyl ym zyn xzl yzm zn 例1 2如图所示的楔形体受水压力作用 水的容重为 试写出边界条件 解 在x 0上 l 1 m 0 x x 0 1 yx x 0 0 y xy x 0 1 y x 0 0 0 x x 0 y xy x 0 在斜边上l cos m sin xcos yxsin 0 xycos ysin 0 应力分量的坐标变换 面 斜截面 的应力矢量在旧坐标下的分量Tx xl1 yxm1 zxn1Ty xyl1 ym1 zyn1Tz xzl1 yzm1 zn1 新旧坐标的夹角 Txl1 Tym1 Tzn1 l1m1n1 T T 主应力 在主平面上T n n或Tx lTy mTz n x l yxm zxn 0 xyl y m zyn 0 xzl yzm z n 0l2 m2 n2 1非零解条件 特征方程 3 I1 2 I2 I3 0不变量I1 x y z kkI2 x y x z y z ij ij 主应力性质 1 主平面相互垂直 2 极值性 最大剪应力 在法线为n的斜截面上 应力矢量为T n T e1 l T e2 m T e3 n l 1e1 m 2e2 n 3e3 斜截面上的正应力 n T n n l2 1 m2 2 n2 3应力矢量的模为 l 1 2 m 2 2 n 3 2斜截面上的剪应力是 l 1 2 m 2 2 n 3 2 l2 1 m2 2 n2 3 2 l2m2 1 2 2 m2n2 2 3 2 n2l2 3 1 2当斜截面方向l m n变化时 剪应力 n随之变化 求上式的极值可得最大剪应力 约束条件l2 m2 n2 1条件极值 无条件极值F l2 m2 n2 1 为引进拉格朗日乘子 最大剪应力规定 1 2 3所在平面与 2平行而与 1和 3的角度分别为450 Mohr应力图 每个截面上有正应力和剪应力 建立平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力 l 1 2 m 2 2 n 3 2截面上的正应力 n T n n l2 1 m2 2 n2 3l2 m2 n2 1以上三个式子联立求解 应力张量分解 静水压力状态 偏应力状态 定义平均应力 0 x y z 两种应力状态用张量表示 ij sij 0 ij其中 ij是Kronecker符号 定义为 ij 1 当i j ij 0 当i j 关于静水压力状态任意一个面都是主平面主应力值均相等在应力圆上是一个点静水压力张量是各向同性张量 偏应力张量sij的主值 s3 J2s J3 0J1 skk sx sy sz 0J2 sijsij x y 2 y z 2 x z 2 6 与应力张量主值关系