二项式排列组合.doc

二项式定理与多项式1二项工定理2二项展开式的通项 它是展开式的第r+1项.3二项式系数 4二项式系数的性质（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例题：求的展开式中的常数项. 【解】常数项为例题：求的展开式里x5的系数. 【解】 例题：已知实数均不为0，多项的三根为，求 的值.例题：，其中为常数，如果求的值常见题型及解法一、求二项展开式1“”型的展开式 例1求的展开式；2 “”型的展开式 例2求的展开式3二项式展开式的“逆用”例题：计算；解：原式=二、通项公式的应用1确定二项式中的有关元素例题：已知的展开式中的系数为，常数的值为 2确定二项展开式的常数项例题：展开式中的常数项是 是3求单一二项式指定幂的系数例题：（03全国）展开式中的系数是 三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例题：的展开式中，的系数等于 例题：（02全国）的展开式中，项的系数是 。四、利用二项式定理的性质解题（1）求中间项 例题：求（的展开式的中间项； 解：。（2）求有理项 例题：求的展开式中有理项共有 项； 解：有4项。总结：当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。（3）求系数最大或最小项例题：（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；例题：求展开式中系数最大的项；例题：在（的展开式中，系数绝对值最大项是 5、 利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例题：若， 则的值为 例题：设， 则 2010年高考排列组合与二项式定理题目汇编（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种（2010江西理数）展开式中不含项的系数的和为（ ）高考资源*网A.-1 B.0 C.1 D.2（2010重庆文数）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种2010重庆文数）的展开式中的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）20（2010重庆理数）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种2010北京理数）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A） （B） （C） （D） （2010四川理数）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 （2010全国卷1文数）的展开式的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3（2010全国卷1理数）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种（2010全国卷1理数）的展开式中x的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4（2010四川文数）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36 （B）32 （C）28 （D）24（2010湖北文数）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 AB. C. D.（2010湖南理数）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.1515（2010湖北理数）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152 B.126 C.90 D.54（2010浙江理数）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有_种（用数字作答）.（2010辽宁理数）的展开式中的常数项为_.（2010江西理数）将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为，则的概率是A. B. C. D.【解析】C （2007年山东卷第12题）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（ ）A BC CC DCC【解析】B (2007年全国卷第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种(B)60种(C) 100种 (D) 120种 【解析】B (2007年重庆卷第4题)若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）【解析】B (2007年重庆卷第6题) 从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（）【解析】C (2007年辽宁卷第9题) 一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）A B C D【解析】D (2007年福建卷第9题) 把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）A BCD2 【解析】D 组合问题常见类型及策略在解组合应用题时，常会遇到“至少”、“最多”、“含”等词，要仔细审题，理解其含义。例题：从12人中选出5人去参加一项活动。按下列要求，有多少中不同的选法。（1）A、B、C三人必须入选。（2）A、B、C三人不能入选。（3）A、B、C三人只有一人入选。（4）A、B、C三人至少1人入选。（5）A、B、C三人至多二人入选。解法：（1）：须从其余9人中任选2人，所有C92=36种。（2）：须从其余9人中任选5人，所以有C95=126种。（3）：从三人中任选一人，有C31种结果，再从其余9人中人选4人，有C94种选法，由分步记数原理，共C31C94=378种。（4）：（直接法）可分三类： 三人中只选一人，从其余9人中任选4人。有C31C94=378种。 三人中选二人，从其余9人中任选3人。有 C32C93=252种。 三人都选，从其余人中任选人。有C33C92=36种。由分类记数原理，共有378+252+36=666种不同选法。（间接法）：从12人中任选人，再减去A、B、C三人都不入选的情况。共有C125-C95=666种选法。（）（直接法） 三人都不入选，有C95=126种选法。 三人中选人，其余人中选人，有C31C94=378种选法。 三人中选人，其余人中选人，有C32C93=84种选法。由分类记数原理，共有16+378+84=756种选法。（间接法）：先从12人中任选人，再减去A、B、C三人都入选的情况。即C125-C92=756中选法。例题：如图，从56方格中的顶点A到顶点B的最短线路有多少条？ 分析：从A到的最短路线均需走11步，（一步即为一个单位），即横向走6步，纵向走5步，因此要确定一种走法，只需确定这11步中哪6步是横向走即可，故不同的走法为C116=462种。例题：有10人，按照下列要求分组，求不同的分法种数。分成两组，一组人，一组人。分为甲、乙两组，一组人，一组人。分成甲、乙两组，每组人。两组，每组人。分析：从人中选人作为一组，其余人自为一组，有C106=210种。从人中选人作为一组，其余人自为一组，再分别作为甲乙组，共有C106A22420种。先从人中选人作为甲组，剩下人自为乙组，共有C105=252种方法。从人中选人作为一组，剩下人为另一组，由于两组人数相同，组与组之间没有顺序，例题：有个三好学生名额，分配给高三年纪个班，每班至少一个名额。有多少种不同的分配方案？分析：个班分这些名额，用个隔板，将个名额排成一排，名额之间有个空，将个隔板插入个空，每种插法对应一种分配方案。因此有C95=126种方案。 排列组合应用题的类型排列组合应用题的步骤为：明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法。 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。1相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例题：6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题，插空法例题：要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 解：不同排法的种数为3600（2） 不全相邻排除法，排除处理例题：五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：12例题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一：前后各一个，有8122192种方法前排左、右各一人：共有44232种方法两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐2个位置乙可坐1个位置224112此种情况共有426种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6612种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右甲左乙右总共有种方法同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有552110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 1923212110346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有种2、顺序一定，除法处理或分类法。例题：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例题：（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有30种不同排法。解二：=30例题：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）A）210个 B）300个 C）464个 D）600个 解： 4、多元问题，分类法例题：(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有=240种选法；甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；甲、乙、丙都不去，有种选法，共有600种不同的选派方案例题：（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种 D52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，选A 说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例题：从6名运动员中选出4名参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集U=6人中任选4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=252例题：某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例题：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A）6种 B）9种 C）11种 D）23种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有331=9种填法。故选B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例题：（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）6、多排问题，单排法例题：两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A） B） C） D）解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。选（D） 7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）例题：（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B.例题：（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数作答) 【解析】两老一新时, 有种排法；两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.例题：(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（A）种（B）种 （C）种（D）种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.8、部分符合条件淘汰法例题：四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150种 B）147种 C）144种 D）141种解：10个点取4个点共有 种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有 9分组问题与分配问题例题：有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。例题：（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 解析：（D）10隔板法：隔板法及其应用技巧 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例题：求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？) 例题：将20个相同的小球放入编号分