高三数学一轮复习 2.8 幂函数课件 理 新课标.ppt

第八节函数的图象 三年10考高考指数 1 在实际情境中 会根据不同的需要选择图象法 列表法 解析法表示函数 2 会运用函数图象理解和研究函数的性质 解决方程解的个数与不等式的解的问题 3 会用数形结合思想 转化与化归思想解决数学问题 1 知式选图 知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点 2 利用数形结合思想 借助相应函数的图象研究函数的性质 单调性 奇偶性 最值 值域 交点 零点 方程与不等式的解等问题是命题的重点 也是求解的难点 3 题型以选择题 填空题为主 属中 高档题目 1 六类基本初等函数的图象 a 0 a 0 k 0 k 0 a 1 0 a 1 1 1 a 1 0 a 1 y x 1 1 即时应用 1 下列四个图象是函数y log2x的图象的是 2 在同一平面直角坐标系中 函数f x ax与g x ax的图象可能是下列四个图象中的 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则点p a 所在的象限为 解析 1 为指数函数图象 为对数函数图象 中底数大于1 中底数大于0小于1 由题中对数函数底数大于1 知 正确 2 由g x ax结合图象知a 0且a 1 故f x ax图象为过原点且上升的直线 故 不正确 再结合 分析01知 正确 3 由图象知 图象的对称轴x 即0 由f 0 c知 抛物线与y轴的交点为 0 c c 0 0 故点p a 在第二象限 答案 1 2 3 第二象限 2 函数图象间的变换 1 平移变换 f x k f x h f x h f x k 2 对称变换 y f x y y f x y y f x y y ax a 0且a 1 y f x f x f x logax a 0且a 1 3 翻折变换 y f x y y f x y 4 伸缩变换 y y y y f x f x f ax af x 即时应用 1 判断以下四个图象是否是函数f x log22x与g x 21 x在同一坐标系下的大致图象 请在括号中填写 是 或 否 2 已知下图 1 中的图象对应的函数为y f x 则下图 2 中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中 可能是 y f x y f x y f x y f x 3 若f a x f b x x r恒成立 则函数y f x 的图象本身关于 对称 解析 1 f x log22x 1 log2x f x log22x的图象是函数f x log2x的图象向上平移1个单位得到的 又 g x 21 x x 1 g x 21 x的图象是函数g x x的图象向右平移1个单位得到的 因此 是 都不是 2 从图象中可观察到 图 2 中的函数图象为一个偶函数的图象 排除 又 当x 0时 图 1 与 2 中函数的图象一致 正确 3 由已知可得 关于直线x 对称 答案 1 否 否 是 否 2 3 直线x 作函数的图象 方法点睛 作函数图象的方法 1 直接法 当函数表达式 或变形后的表达式 是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的一部分 时 就可根据这些函数的奇偶性 周期性 对称性或曲线的特征直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称和伸缩得到 可利用图象变换作出 但要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉函数的要先变形 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 3 描点法 当函数的表达式不适合用以上两种方法时 则可采用描点法 其一般步骤为 第一步 确定函数的定义域以限制图象的范围 第二步 化简函数表达式 第三步 讨论函数的性质 如奇偶性 单调性 周期性 对称性等 第四步 列表 尤其注意特殊点 如 零点 最高点 最低点及与坐标轴的交点 第五步 描点 连线 提醒 当函数表达式是高次 分式 指数 对数及三角函数式等较复杂的结构时 常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状 例1 作出下列函数的图象 1 y elnx 2 y log2 x 1 3 y a x 0 a 1 4 y 5 y 解题指南 对于 1 先求定义域 化简解析式 用直接法画图象 对于 2 3 和 4 可通过图象变换画出图象 对于 5 可借助于导数用描点法作出其大致图象 规范解答 1 函数的定义域为 x x 0 且y elnx x x 0 其图象如图 1 2 将函数y log2x的图象向左平移一个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图象 如图 2 3 方法一 y 0 a 1 所以只需作出函数y ax 0 a 1 中x 0的图象和y x 0 a 1 中x 0的图象 合起来即得函数y a x 的图象 如图 3 方法二 作出y ax 0 a 1 的图象 去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象 并作关于y轴对称的图象 即得y a x 的图象 如图 3 4 y 故函数图象可由y 图象向右平移1个单位 再向上平移2个单位而得 如图 4 5 y y x2 2x 3 令y 0 得x1 1 x2 3 令y 0 得单调增区间为 1 和 3 令y 0 得单调减区间为 1 3 所以函数在x1 1 x2 3处取得极值分别为和 9 由此可得其图象大致如图 5 反思 感悟 要准确作出函数的大致图象 需做到 1 熟练掌握六类基本初等函数的图象 2 掌握平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧 变式训练 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y 4 y x2 2 x 1 解析 1 y lgx 函数y lgx 的图象 如图 1 2 将函数y 2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y 2x 2的图象 如图 2 3 y 可见原函数图象可由y 图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得 如图 3 4 y 且函数为偶函数 先用描点法作出 0 上的图象 再根据对称性作出 0 上的图象 得图象如图 4 识图与辨图 方法点睛 1 知图选式的方法 1 从图象的左右 上下分布 观察函数的定义域 值域 2 从图象的变化趋势 观察函数的单调性 3 从图象的对称性方面 观察函数的奇偶性 4 从图象的循环往复 观察函数的周期性 利用上述方法 排除 筛选错误与正确的选项 2 知式选图的方法 1 从函数的定义域 判断图象左右的位置 从函数的值域 判断图象上下的位置 2 从函数的单调性 有时可借助导数判断 判断图象的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 从函数的周期性 判断图象的循环往复 5 从函数的极值点判断函数图象的拐点 利用上述方法 排除 筛选错误与正确的选项 提醒 注意联系基本函数图象的模型 当选项无法排除时 代特殊值 或从某些量上也能寻找突破口 例2 1 2012 南阳模拟 函数y x cosx的大致图象是 2 定义在r上的偶函数f x 的部分图象如图所示 则在 2 0 上 下列函数中与f x 的单调性不同的是 a y x2 1 b y x 1 c y d y 解题指南 1 对函数求导 利用排除法求解 2 由f x 的奇偶性作出其在 2 0 上的图象 由图象判断其单调性 再逐个验证选项中函数在 2 0 上的单调性是否与f x 在 2 0 上的单调性不同 从而作出判断 规范解答 1 选b 由y x cosx 得y 1 sinx 令y 0 得sinx 1 x 2k k z 即函数y x cosx有无穷多个极值点 从而排除c选项 又x 0时 y 1 即图象应过 0 1 点 再排除a 比较b d与y轴交点纵坐标与的大小知应选b 2 选c 由奇偶性知函数f x 在 2 0 上的图象如图所示 则知f x 在 2 0 上为单调减函数 而y x2 1 y x 1和y 作出其图象知在 2 0 上均为减函数 又y x3 1 x0 故y x3 1在 2 0 上为增函数 与f x 的单调性不同 故选c 反思 感悟 识图与辨图是一个比较综合的问题 解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息 最终使二者相吻合 变式训练 1 设ab时 y 0 当x b时 y 0 故选c 2 函数y f x 与y g x 的图象如图 则函数y f x g x 的图象可能是 解析 选a 方法一 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 故可以排除c d 由于当x为很小的正数时f x 0且g x 0 故f x g x 0 故选a 方法二 由函数f x g x 的图象可知 f x g x 分别是偶函数 奇函数 则f x g x 是奇函数 可排除b 又 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 可以排除c d 故选a 函数图象的应用 方法点睛 1 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但一定要注意性质与图象特征的对应关系 2 利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时 可以通过函数图象来研究方程的根 方程f x 0的根就是函数f x 图象与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象的交点的横坐标 3 利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将不等式问题转化为两函数图象的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 例3 已知函数f x x m x x r 且f 4 0 1 求实数m的值 2 作出函数f x 的图象并判断其零点个数 3 根据图象指出f x 的单调递减区间 4 根据图象写出不等式f x 0的解集 5 求集合m m 使方程f x m有三个不相等的实根 解题指南 求解本题先由f 4 0 求得函数解析式 再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象 进而应用图象求解 3 4 5 三个小题 规范解答 1 f 4 0 4 m 4 0 即m 4 2 f x x m x x 4 x 函数f x 的图象如图 由图象知f x 有两个零点 3 从图象上观察可知 f x 的单调递减区间为 2 4 4 从图象上观察可知 不等式f x 0的解集为 x 04 5 由图象可知若y f x 与y m的图象有三个不同的交点 则0 m 4 集合m m 0 m 4 互动探究 在本例的条件下 求f x 在 1 5 上的值域 解析 f 5 5 4 由图象知 函数在 1 5 上的值域为 0 5 反思 感悟 利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题 方程根的个数问题 函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题 但其关键是作出准确的函数图象 数形结合求解 否则若图象出现失误 将得到错误的结果 变式备选 1 已知函数f x 满足f x 2 f x 当x 1 1 时 f x x 则方程f x lgx的根的个数是 解析 构造函数g x lgx 在同一坐标系中画出f x 与g x 的图象 如图所示 易知有4个根 答案 4 2 使log2x 1 x成立的x的取值范围是 解析 构造函数f x log2x g x 1 x 在同一坐标系中作出两者的图象 如图所示 直接从图象中观察得到不等式成立时x 0 1 答案 0 1 易错误区 作图不准确或数与形不吻合致误 典例 2011 新课标全国卷 函数y 的图象与函数y 2sin x 2 x 4 的图象所有交点的横坐标之和等于 a 2 b 4 c 6 d 8 解题指南 在同一坐标系中画出函数y 和y 2sin x 2 x 4 的图象 然后根据图象探究交点横坐标之间满足的关系 从而求解 规范解答 选d 由题意知y 的图象是双曲线 且关于点 1 0 成中心对称 又y 2sin x的周期为t 2 且也关于点 1 0 成中心对称 因此两图象的交点也一定关于点 1 0 成中心对称 再结合图象 如图所示 可知两图象在 2 4 上有8个交点 因此8个交点的横坐标之和x1 x2 x8 4 2 8 阅卷人点拨 通过对高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 潮州模拟 函数y 的图象的大致形状是 解析 选d 当x 0时 y ax 0 a 1 当x 0时 y ax 0 a 1 y 的图象的大致形状是d 2 2012 清远模拟 已知f x 则下列选项中错误的是 a 是f x 1 的图象 b