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最优流水作业调度问题摘要本文给出了双机流水作业调度的Johnson算法，并结合POJ上的一道题目详述了该算法的具体编程实现和应用。关键词： 双机流水作业调度 Johnson算法正文 流水作业是并行处理技术领域的一项关键技术，它是以专业化为基础,将不同处理对象的同一施工工序交给专业处理部件执行,各处理部件在统一计划安排下,依次在各个作业面上完成指定的操作。流水作业调度问题是一个非常重要的问题，其直接关系到计算机处理器的工作效率。然而由于牵扯到数据相关、资源相关、控制相关等许多问题，最优流水作业调度问题处理起来非常复杂。已经证明，当机器数(或称工序数)大于等于3时， 流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。粗糙地说，即该问题至少在目前基本上没有可能找到多项式时间的算法。只有当机器数为2时，该问题可有多项式时间的算法（机器数为1时该问题是平凡的）。我们先给出流水作业调度的定义： 设有 n 个作业，每一个作业 i 均被分解为 m 项任务: Ti1, Ti2, , Tim(1in，故共有nm个任务)， 要把这些任务安排到m台机器上进行加工。 如果任务的安排满足下列3个条件， 则称该安排为流水作业调度： 1. 每个作业 i 的第 j 项任务Tij (1in, 1jm) 只能安排在机器Pj上进行加工； 2. 作业 i 的第 j 项任务Tij(1in, 2jm)的开始加工时间均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后，任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务；3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。 最优流水作业调度是指： 设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。 如果所有的tij (1in, 1jm)均已给出， 要找出一种安排任务的方法， 使得完成这 n 个作业的加工时间为最少。 这个安排称之为最优流水作业调度。前面已经说过，当m3时该问题是NP问题，这里我们只给出m=2时时间复杂度在多项式以内的Johnson算法。求解流水作业调度问题的Johnson算法具体描述如下： 1) 设ai和bi (0in)分别为作业 i 在两台设备上的处理时间。建立由三元组（作业号，处理时间，设备号）组成的三元组表d。其中，处理时间是指每个作业所包含的两个任务中时间较少的处理时间。设n=4，a0,a1,a2,a3=(3,4,8,10)和b0,b1,b2,b3=(6,2,9,15)的作业0的三元组为(0,3,0)，作业1的三元组为(1,2,1)。 如图(a)所示。2) 对三元组表按处理时间排序，得到排序后的三元组表d。如图(b)所示。 3) 对三元组表的每一项di(0in),从左右两端生成最优作业排列cj(0jn),cj是作业号。如果di设备号为1，则将作业 i 置于 c 的左端末尾，否则置于 c 的右端末尾。如图(c)所示，由两端向中间存放。a) 三元组表作业号处理时间设备号0301212803100b) 按处理时间排序作业号处理时间设备号1210302803100c) 最优作业排列 (0, 2, 3, 1)d) 最优调度方案p138104p269152该算法是如此经典以至于ACM界已经有该算法的题目，下面是北大PKU POJ 第2751题Saving Endeavour(我校的BOJ上也有，不过是从POJ上照搬过来的)：有2台机器，n件任务，必须先在S1上做，再在S2上做。任务之间先做后做任意。求最早的完工时间。双机调度问题Johnson算法简析:1) 把作业按工序加工时间分成两个子集，第一个集合中在S1上做的时间比在S2上少，其它的作业放到第二个集合。先完成第一个集合里面的作业，再完成第二个集合里的作业。2) 对于第一个集合，其中的作业顺序是按在S1上的时间的不减排列；对于第二个集合，其中的作业顺序是按在S2上的时间的不增排列。Johnson算法的时间取决于对作业集合的排序,因此,在最怀情况下算法的时间复杂度为O(nlogn),所需的空间复杂度为O(n)。c语言代码如下：#include #include #include using namespace std;const int MAXN=10005;struct TNodeint s1,s2;wsMAXN;int topf,tops;int n;bool operator(TNode x,TNode y)if (x.s1=y.s2) return true;if (x.s1x.s2&y.s1y.s2) return x.s1=x.s2&y.s1=y.s2) return x.s2y.s2;return false;int max(int x,int y)return xy?x:y;void Work()sort(ws,ws+n);int i,t1=0,t2=0;for (i=0;in;i+)t1+=ws.s1;t2=max(t1,t2)+ws.s2;printf(%dn,t2);void