电磁场理论基础课件第二章.ppt

第二章静电场 静电场中的基本定律 静电场中的标量电位 存在电介质时的静电场 电介质的分类 静电场中的导体与电容 静电场的边界条件 泊松方程与拉普拉斯方程 标量位的多极展开 静电场的能量与力 静电场 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场 本章任务 阐述静电荷与电场之间的关系 在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法 或者反之 静电场是本课程的基础 由此建立的物理概念 分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场 恒定磁场及时变场 2 1 1库仑定律 N 牛顿 适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力 结论 电场力符合矢量叠加原理 图2 1 1两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律 大量试验表明 真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力 2 1静电场中的基本定律 2 1 2电场强度 a 点电荷产生的电场强度 V m V m 图2 1 2点电荷的电场 b n个点电荷产生的电场强度 注意 矢量叠加 c 连续分布电荷产生的电场强度 V m 面电荷分布 线电荷分布 图2 1 3体电荷的电场 解 采用直角坐标系 令y轴经过场点p 导线与x轴重合 直角坐标 圆柱坐标 图2 1 4带电长直导线的电场 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场 电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分 然后再合成 即 积分是对源点进行的 计算结果是场点的函数 点电荷的数学模型 当时 电荷密度趋近于无穷大 通常用冲击函数表示点电荷的密度分布 图1 1 5单位点电荷的密度分布 点电荷的密度 2 1 3高斯定律的积分和微分形式 对上式等号两端取散度 利用矢量恒等式及矢量积分 微分的性质 得 真空中高斯定律的微分形式 点电荷产生的电场 其物理意义表示为 1 静电场的散度 高斯定律的微分形式 高斯定律说明了静电场是一个有源场 电荷就是场的散度 通量源 电力线从正电荷发出 终止于负电荷 2 高斯定律的积分形式 式中n是闭合面包围的点电荷总数 利用高斯定理 求真空中无限长均匀直线电荷产生的电场强度E dS E 解 取如图所示高斯面 由高斯定律 有 分析 电场方向垂直表面 在平行电荷面的面上大小相等 解 1 取如图所示高斯面 在球外区域 r a 分析 电场方向垂直于球面 电场大小只与r有关 在球内区域 r a 2 解为球坐标系下的表达形式 3 点电荷 矢量恒等式 直接微分得 2 2静电场中的标量电位 可以证明 上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场 表明静电场是一个无旋场 即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零 即 2 静电场的环路定律 在静电场中 电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零 电场力作功与路径无关 静电场是保守场 无旋场一定是保守场 保守场一定是无旋场 由斯托克斯定理 得 2 2 2标量电位的定义及其物理意义 在静电场中可通过求解电位函数 Potential 再利用上式可方便地求得电场强度E 式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位 2 已知电荷分布 求电位 点电荷群 连续分布电荷 1 电位的引出 以点电荷为例推导电位 根据矢量恒等式 3 E与的微分关系 在静电场中 任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向 其大小等于电位的最大变化率 在直角坐标系中 4 E与的积分关系 设P0为参考点 根据E与的微分关系 试问静电场中的某一点 图2 2 1E与的积分关系 5 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关 同一个物理问题 只能选取一个参考点 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 且要有意义 例如 点电荷产生的电场 表达式无意义 电荷分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷分布在无穷远区时 选择有限远处为参考点 6 电力线与等位线 面 E线 曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致 若是电力线的长度元 E矢量将与方向一致 故电力线微分方程 当取不同的C值时 可得到不同的等位线 面 在球坐标系中 电力线微分方程 球坐标系 代入上式 得 将和代入上式 等位线方程 球坐标系 用二项式展开 又有 得 表示电偶极矩 方向由负电荷指向正电荷 电力线与等位线 面 的性质 E线不能相交 E线起始于正电荷 终止于负电荷 E线愈密处 场强愈大 E线与等位线 面 正交 图2 2 3电偶极子的等位线和电力线 图2 2 4点电荷与接地导体的电场 图2 2 8点电荷位于一块介质上方的电场 图2 2 9点电荷位于一块导体平面上方的电场 2 3 1介质的极化 电介质在外电场E作用下发生极化 形成有向排列的电偶极矩 电介质内部和表面产生极化电荷 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源 式中为体积元内电偶极矩的矢量和 P的方向从负极化电荷指向正极化电荷 2 3 存在电介质时的静电场 实验结果表明 在各向同性 线性 均匀介质中 一个电偶极子产生的电位 极化强度P是电偶极矩体密度 根据叠加原理 体积V内电偶极子产生的电位为 式中 图2 3 2电偶极子产生的电位 电介质的极化率 无量纲量 矢量恒等式 图2 3 3体积V内电偶极矩产生的电位 在均匀极化的电介质内 极化电荷体密度 根据电荷守恒原理 这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中 任一点的电位及电场强度表示为 这就是电介质极化后 由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位 其中 相对介电常数 介电常数 单位 F m 在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷 图示平行板电容器中放入一块介质后 其D线 E线和P线的分布 D线由正的自由电荷发出 终止于负的自由电荷 P线由负的极化电荷发出 终止于正的极化电荷 E线的起点与终点既可以在自由电荷上 又可以在极化电荷上 电场强度在电介质内部是增加了 还是减少了 思考 q q D的通量与介质无关 但不能认为D的分布与介质无关 D通量只取决于高斯面内的自由电荷 而高斯面上的D是由高斯面内 外的系统所有电荷共同产生的 B 高斯定律的积分形式 图2 3 5点电荷的电场中置入任意一块介质 图2 3 6点电荷 q分别置于金属球壳的内外 4 高斯定律的应用 b 选择适当的闭合面作为高斯面 使容易积分 高斯定律适用于任何情况 但只有具有一定对称性的场才能得到解析解 图2 3 9球壳内的电场 图2 3 8球壳外的电场 2 4 1线性和非线性电介质依据极化强度矢量和外加电场的关系 可将介质分为线性和非线性介质 线性介质 极化强度矢量仅和外加电场的一次项有关 非线性介质 极化强度矢量不仅和外加电场的一次项有关 还和高次项有关 2 4 电介质的分类 2 4 2各向同性和各向异性电介质依据介质的电性质和方向的关系 可将介质分为 各向同性 介质的电性质和方向无关 各向异性 介质的电性质和方向有关 2 4 3均匀和非均匀电介质依据介质的电性质和空间位置的关系 可将介质分为 均匀介质 介质的电性质和空间位置无关 非均匀介质 介质的电性质和空间位置有关 2 5 1静电场中的导体 图2 5 1静电场中的导体 2 5静电场中的导体与电容 电容只与两导体的几何形状 尺寸 相互位置及导体周围的介质有关 电容的计算思路 工程上的实际电容 电力电容器 电子线路用的各种小电容器 电容 定义 单位 例2 5 1试求球形电容器的电容 解 设内导体的电荷为 则 同心导体间的电压 图2 5 1球形电容器 1 已知导体的电荷 求电位和电位系数 线性 多导体 三个以上导体 组成的系统 部分电容概念 以接地导体为电位参考点 导体的电位与各导体上的电荷的关系为 图1 8 2三导体静电独立系统 2 5 2导体系与部分电容 以此类推 n 1 个多导体系统只有n个电位线性独立方程 即 写成矩阵形式为 非独立方程 2 已知带电导体的电位 求电荷和感应系数 静电感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 自有感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 3 已知带电导体间的电压 求电荷和部分电容 矩阵形式 式中 C 部分电容 它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献 互有部分电容 自有部分电容 部分电容性质 n 1 个导体静电独立系统中 共应有个部分电容 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 例2 5 2试计算考虑大地影响时 二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容 已知如图示 解 部分电容个数 如图 b 由对称性得 线电荷与电位的关系为 图2 5 5两线输电线及其电容网络 静电网络与等效电容 利用镜像法 输电线两导体的电位 联立解之得 二线间的等效电容 图2 5 7两线输电线及其电容网络 令 号导体接地 得 静电屏蔽在工程上有广泛应用 图2 5 8静电屏蔽 4 静电屏蔽应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题 静电场是一个无旋 有源场 静止电荷就是静电场的源 这两个重要特性用简洁的数学形式为 解 根据静电场的旋度恒等于零的性质 例2 6 1已知试判断它能否表示个静电场 对应静电场的基本方程 矢量A可以表示一个静电场 能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场 2 6静电场的边界条件 以分界面上点P作为观察点 作一小扁圆柱高斯面 2 6 2 电场强度E的衔接条件 以点P作为观察点 作一小矩形回路 2 6 1 电位移矢量D的衔接条件 分界面两侧E的切向分量连续 分界面两侧的D的法向分量不连续 当时 D的法向分量连续 图2 6 2在电介质分界面上应用环路定律 则有 根据 根据则有 图2 6 1在电介质分界面上应用高斯定律 表明 1 导体表面是一等位面 电力线与导体表面垂直 电场仅有法向分量 2 导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度 在交界面上不存在时 E D满足折射定律 折射定律 图2 6 3b分界面上E线的折射 因此 表明 在介质分界面上 电位是连续的 2 6 3 用电位函数表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧 其间距为d 则 表明 一般情况下 电位的导数是不连续的 图2 6 4电位的衔接条件 解 忽略边缘效应 例2 6 1如图 a 与图 b 所示平行板电容器 已知和 图 a 已知极板间电压U0 图 b 已知极板上总电荷 试分别求其中的电场强度 2 7 1泊松方程与拉普拉斯方程的导出 泊松方程 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性 线性的均匀媒质 2 7泊松方程与拉普拉斯方程 已知场域边界上各点电位值 边值问题研究方法 计算法 实验法 作图法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 积分法 分离变量法 镜像法 电轴法 微分方程法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法 图1 4 3边值问题研究方法框图 例2 7 1图示长直同轴电缆横截面 已知缆芯截面是一边长为2b的正方形 铅皮半径为a 内外导体之间电介质的介电常数为 并且在两导体之间接有电源U0 试写出该电缆中静电场的边值问题 解 根据场分布对称性 确定场域 阴影区域 场的边值问题 图2 7 1缆心为正方形的同轴电缆横截面 边界条件 积分之 得通解 例2 7 2设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中 电荷体密度为 试用解微分方程的方法求球体内 外的电位及电场 解 采用球坐标系 分区域建立方程 参考点电位 图2 7 2体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度 球坐标梯度公式 对于一维场 场量仅仅是一个坐标变量的函数 只要对二阶常系数微分方程积分两次 得到通解 然后利用边界条件求得积分常数 得到电位的解 再由得到电场强度E的分布 电位 2 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 例2 7 3图示平板电容器的电位 哪一个解答正确 答案 C 唯一性定理为静电场问题的多种解法 试探解 数值解 解析解等 提供了思路及理论根据 图2 7 3平板电容器外加电源U0 2 7 2唯一性定理 证明 反证法 2 8标量位的多极展开 考虑真空中给定电荷分布激发的电势 在区域V内取一点O作为坐标原点 以R表示由原点到场点的距离 为变量的函数在 考虑场点到坐标原点的距离远大于电荷分布区域的线度的情况 把以 附近作展开有 1 带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中 由外力作功转化而来的 1 连续分布电荷系统的静电能量 假设 电荷系统中的介质是线性的 2 9 1静电能量 电场的建立与充电过程无关 导体上电荷与电位的最终值为 在充电过程中 与的增长比例为m 建立电场过程缓慢 忽略动能与能量辐射 2 9静电场的能量与力 这个功转化为静电能量储存在电场中 体电荷系统的静电能量 t时刻 场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点 外力作功 t时刻电荷增量为 即 电位为 式中是元电荷所在处的电位 积分对源进行 点电荷的自有能为无穷大 自有能 互有能 自有能是将许多元电荷 压紧 构成q所需作的功 互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量 是所有导体 含K号导体 表面上的电荷在K号导体产生的电位 2 静电能量的分布及能量密度 V 扩大到无限空间 S 所有带电体表面 将式 2 代入式 1 得 应用散度定理 得 图2 9 1推导能量密度用图 能量密度 矢量恒等式 例2 9 1试求真空中体电荷密度为 半径为的介质球产生的静电能量 1 9 2静电力 2 虚位移法 VirtualDisplacementMethod 虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法 广义坐标 距离 面积 体积 角度 广义力 企图改变某一个广义坐标的力 广义力的正方向为广义坐标增加的方向 1 由电场强度E的定义求静电力 即 常电荷系统 K打开 它表示取消外源后 电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现 常电位系统 K合上 外源提供能量的增量 静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量 另一半用于