高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第二课时 求空间角与距离课件 理.ppt

第二课时求空间角与距离 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 向量法求异面直线所成角 例1 导学号18702401在直三棱柱abc a1b1c1中 若bc ac bac ac 4 点m为aa1的中点 点p为bm的中点 q在线段ca1上 且a1q 3qc 则异面直线pq与ac所成角的正弦值为 向量法求异面直线所成角的方法 反思归纳 提醒 两异面直线所成角 的范围是 两向量的夹角 的范围是 0 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 教师备用 2015 全国 卷 如图 四边形abcd为菱形 abc 120 e f是平面abcd同一侧的两点 be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 1 证明 平面aec 平面afc 2 求直线ae与直线cf所成角的余弦值 考点二 向量法求直线与平面所成角 例2 导学号18702402如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 dab 60 pd 平面abcd pd ad 1 点e f分别为ab和pd的中点 1 求证 直线af 平面pec 2 求pc与平面pab所成角的正弦值 反思归纳 即时训练 导学号18702404在正方体abcd a1b1c1d1中 求bb1与平面acd1所成的角的余弦值 考点三 向量法求二面角的大小 高频考点 考查角度1 计算二面角的大小 例3 2016 山东卷 在如图所示的圆台中 ac是下底面圆o的直径 ef是上底面圆o 的直径 fb是圆台的一条母线 1 已知g h分别为ec fb的中点 求证 gh 平面abc 1 证明 设fc的中点为i 连接gi hi 在 cef中 因为点g i分别是ce cf的中点 所以gi ef 又ef ob 所以gi ob 在 cfb中 因为h i分别是fb cf的中点 所以hi bc 又hi gi i 所以平面ghi 平面abc 因为gh 平面ghi 所以gh 平面abc 1 利用向量法计算二面角大小的常用方法 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 2 利用法向量求二面角时的两个注意点 对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着 不用单独求 注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角 可结合图形进行 以防结论失误 反思归纳 即时训练 导学号18702406如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ad 平面a1bc 其垂足d落在直线a1b上 1 求证 bc a1b 1 证明 因为三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 所以a1a 平面abc 又bc 平面abc 所以a1a bc 因为ad 平面a1bc 且bc 平面a1bc 所以ad bc 又aa1 平面a1ab ad 平面a1ab a1a ad a 所以bc 平面a1ab 又a1b 平面a1ab 所以bc a1b 2 若ad ab bc 2 p为ac的中点 求二面角p a1b c的平面角的余弦值 考查角度2 已知二面角的大小求参数 例4 导学号18702408如图 在三棱柱abc a1b1c1中 已知ab 侧面bb1c1c ab bc 1 bb1 2 bcc1 1 求证 c1b 平面abc 考点四 向量法计算空间距离 例5 导学号18702409如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为4 动点p在棱a1b1上 当a1p a1b1时 求点c到平面d1dp的距离 1 空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模 因此 要求两点间的距离除了使用距离公式外 还可转化为求向量的模 2 求点p到平面 的距离的三个步骤 在平面 内取一点a 确定向量的坐标表示 确定平面 的法向量n 代入公式d 求解 反思归纳 即时训练 导学号18702410如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 则点a到平面mbc的距离为 解析 设cd的中点e 连接me be 因为 mcd是正三角形 所以me cd 又因为平面mcd 平面bcd me 平面mcd 平面mcd 平面bcd cd 所以me 平面bcd 因为 bcd是正三角形 所以be cd 以e点为坐标原点 ed eb em所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 备选例题 例1 如图所示 四棱锥s abcd的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 p为侧棱sd上的点 1 求证 ac sd 2 若sd 平面pac 求二面角p ac d的大小 3 在 2 的条件下 侧棱sc上是否存在一点e 使得be 平面pac 若存在 求se ec的值 若不存在 试说明理由 例2 如图所示 四边形abcd是边长为1的