成贤教材-高数B下§8.1多元函数的概念.doc

8.1多元函数的概念8.11 预备知识1.n维欧几里得空间 有序元数组的全体为n维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标。维空间记为。 。 即， 中两点，间的距离规定为 ，记为，即 。 可以证明距离满足下列性质：（1）非负性 ，的充要条件是；（2）对称性 ；（3）三角形不等式。 定义了距离之后的称为n维欧几里得空间。 唯一确定了以为起点，为终点的向量，常称为一个，记。2.邻域设点， ： ； ： 。在中，就是平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体，即若不需要强调邻域半径，则用表示点的邻域；用表示点。外点内点边界点E3.开集、闭集、区域 设点集，。（1）内点：若，则称是内点。（2）外点：若，则称是外点。（3）边界点：若的任何邻域中既含有点，又含有非点， 则称是边界点。的边界点的全体称为边界。（4）有界集与无界集：如果存在原点的某个邻域，使， 则称为有界集，否则称为无界集。（5）开集：如果点集的点都是内点，则称为开集。（6）聚点：如果在的任一邻域中至少含有的一个异于的点， 则称是的聚点。（7）闭集：若的所有聚点都在内，则称是闭集。（8）连通的：设是一个开集，如果对于内任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于，则称开集是连通的。（9）区域（或开区域）：连通的开集称为区域（或开区域）。（10）闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。（11）区域的直径：称为集合的直径。 例如：点集中每一个点都是的内点；的边界 是和；是有界开区域。 是有界闭区域。 是无界开区域。 8.12 n元函数 定义：设点集，如果存在一个对应法则，对，有唯一的数与之对应，则称是定义在上的元函数，简记为或其中为自变量，称为的定义域。例1确定并画出下列函数的定义域D。（1） 解：， 函数的定义域 为，是无界区域。 （画图时介绍“以点示面法”。） （2） 解： 定义域为。例2设，求。解：设， ，。8.1.3 二元函数的几何意义 设函数的定义域，对应的函数值为，于是有序实数组确定了空间的一点。当遍取的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为函数的图形。通常二元函数的图形是一张空间曲面。 例如：线性函数 的图形是一张平面。 函数的图形是上半球面。函数的图形是旋转抛物面。82 多元函数的极限与连续821多元函数的极限 先讨论二元函数当（或当）时的极限。，即。定义1 设函数在点集上有定义，是聚点，一个定数。若， 时，总有 成立，则称A为函数当（或当）时的极限，记作 或 。 二元函数的极限称为二重极限。例1设，求证证明：， ，取，则当时，总有 成立，故注意：二重极限存在，其值，是指动点以任何方式趋向于时，且其值都。如果点沿不同路径趋向于时，趋向于不同的值，那么就可断定的极限不存在。例4考察函数在点是否存在极限？解：（1）当点，即当，时，有 ， （2）当点，即当，时，有 ， （3）当点沿直线趋于点时，即当，时有 ，因此不存在。 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到元函数上去。 822多元函数的连续性1二元函数在点连续的定义定义2 设函数的定义域，是聚点。若 或，则称函数在点处连续。 若函数在点处不连续，则点称为函数的间断点。 若在开区域（或闭区域）某些孤立点，或者沿某些曲线，函数没有定义，但在其余部分，都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点都是函数的间断点。 例如函数的间断点是圆周上的点。 函数的间断点是。2函数在区域D上的连续性 如果函数在区域D上任意一点都连续，则称在区域D上连续。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。3二元函数和、差、积、商的连续性和二元复合函数的连续性 二元连续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）均为连续函数；二元连续函数的复合函数也是连续函数。4二元初等函数 由自变量，常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和复合步骤所构成的，并能用一个解析式子所表示的函数称为二元初等函数。例如： ；等都是二元初等函数。 结论：一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。 故求二元初等函数在定义域内某点的极限值，就是求该点处的函数值。一元函数极限的有关性质和运算法则，例如极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、夹逼定理等都可以推广到二重极限中来。例5求下列极限：（1）； 解：。（2） 解：愿式。（3）； 解：；（4）； 解：以上关于二元函数连续性的概念可相应推广到多元函数上去。5有界闭区域上多元连续函数的性质（1）有界性定理在有界闭区域的多元连续函数，在必有界。（2）最大值、最小值定理在有界闭区域多元连续函数，必有最大值和最小值。（3）介值定理在有界闭区域多元连续函数，如果在取得两个不同的函数值， 则它在取得介于这两个值之间的任何值至少一次。8.3偏导数8.3.1 偏导数概念定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，若存在，则称此极限为在点处对，记为，或.即 。类似地，在点处对定义为，记为 ，或 。即 若函数在区域数都存在，则这个偏导数是，称为对自变量，记为，。 即 ，。 类似地，可以定义对自变量，记为，。即 ， 在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值；在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值。偏导函数简称偏导数。 偏导数的概念还可以推广到二元以上的多元函数。函数 在点处对的偏导数定义为 。 例1设，求，。 解：， ，。例2求下列函数的偏导数（1）； 解：； 。（2）；解： ， 。例3设（是常数），求证：。证：，；，；， ； 。注意：要当作一个整体来对待，不能像看作与的微商。与是没有意义的。例4设，求，。 解：不存在，在点处不连续。 ，由的轮换对称性可知，。注意：在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点必连续，而这个结论在多元函数中未必成立。也就是说，多元函数在某点可导，并不能保证函数在该点连续。8.3.2二元函数偏导数的几何意义 设为曲面上的一点，作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即偏导数，。同样偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线的斜率。833高阶偏导数 设函数在区域具有偏导数，一般地，它们仍是的函数，若这两个偏导数对的偏导数也存在，则称它们为函数的二阶偏导数，并分别记为：； 。其中和称为二阶混合偏导数。 同样地，如果二阶偏导数的偏导数存在，就称它们为函数的三阶偏导数。例如。 依次类推，函数阶偏导数的偏导数称为函数阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶