新版湘教版八年级下册数学全册教案（完整版）教学设计含教学反思

新版湘教版八年级下册数学全册教案（完整版）教学设计含教学反思课题第1章1.1多边形第1课时多边形的概念及内角和授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能

1．理解多边形及正多边形的定义.2．掌握多边形的内角和公式.二、过程与方法1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.

三、情感、态度与价值观

经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系.教学重点、难点教学重点：多边形的内角和.教学难点：探索多边形的内角和公式过程.教学准备多媒体课件、三角尺教学过程1.情境导入小学时我们已经学习过多边形，对它有了初步的了解．提问1：若把长方形的一张纸片剪去一角，会出现什么形状的图形.三角形，四边形，五边形.提问2：三角形的内角和是180°，正方形和长方形的内角和是360°．提问3：你知道下列图形中，除三角形和正方形外，其他多边形的内角和分别是多少吗？我们能不能求出任意一个多边形的内角和？这节课就让我们一起来探究一下多边形的内角和如何计算．2.讲授新课多边形的内角和根据教材P2，完成下列内容：(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．组成多边形的各条线段叫作多边形的边．相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点．连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角．(2)在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形．归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形．注意：多边形有凸多边形和凹多边形之分.如图，把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形.我们探讨的一般都是凸多边形.多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA.我们了解了多边形的有关概念后，已知三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？我们可以借助四边形的对角线将四边形分成2个三角形，从而得到四边形的内角和.还有其他的方法吗？在求四边形的内角和时，先把四边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.完成教材P3探究中的填表.引导得出：从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n-3)条对角线，这时n边形被分割成(n-2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以我们可以得到：n边形的内角和为(n-2)·180°.想一想：n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？（必须是不小于3的整数）动脑筋：我们还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗?如图，在n边形内任取一点0，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）·180°.例1：(1)十边形的内角和是多少度？(2)一个多边形的内角和为1980°，它是几边形？解：(1)十边形的内角和是(10-2)×180°=1440°.(2)设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=1980°，解得n=13.所以这是一个十三边形.3.课堂练习1．一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？解：如图，正方形缺去一个角可能为三角形或四边形或五边形，所以内角和可能为(3-2)×180o或(4-2)×180o或(5-2)×180o，即180o或360o或540o.2．如图所示，回答下列问题：(1)小华是在求几边形的内角和？(2)少加的那个内角为多少度？解：(1)因为1125÷180=614，所以n-2≥614，即n≥86又因为n为整数，所以n=9，故小华求的是九边形的内角和.(2)因为1125÷180的余数为45，所以小华少加的那个内角度数为180°-45°=135°.3．如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．解：如图所示，连接BF，则∠A+∠G+∠1=∠2+∠3+∠4.因为∠1=∠2，所以∠A+∠G=∠3+∠4，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠D+∠C+∠CBF+∠BFE+∠E=(5-2)×180°=540°.方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法．4．若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为_______．解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n-3)条对角线．故n=2(n-3)，即n=6.故答案为6.方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n-3)条对角线；②一个n边形总共有n(n−3)25．一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？解：设这个多边形的边数为n，由题意得n(n−3)2=3n，所以n-3=2×3，所以n=9，所以(n-2)·180°=(9-2)×180°1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.方法总结：n边形的对角线条数为n(n−3)24.课堂小结1．与多边形有关的概念(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．组成多边形的各条线段叫作多边形的边．相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点．连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角．(2)在平面内，各边相等，各角也都相等的多边形叫作正多边形.2．多边形的内角和1．多边形的角与对角线的计算(1)多边形的内角和：n边形的内角和等于(n-2)·180°，且内角和一定是180°的整数倍.(2)正n边形的每一个内角都为(n−2)×180(3)已知边数求对角线的条数：n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线，把这个n边形分成(n-2)个三角形，n边形有n(n−3)25.板书设计1．多边形的定义及相关概念2．多边形的对角线总条数的计算公式n(n−3)2(n3．多边形的内角和公式：(n-2)·180°教学设计反思教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力.课题第1章1.1多边形第2课时多边形的外角和授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能

1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.二、过程与方法1．经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.

三、情感、态度与价值观

经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯，通过对内角、外角之间的关系，体会知识之间的内在联系.教学重点、难点教学重点：理解和掌握多边形外角和定理的推导过程.教学难点：多边形内角和、外角和定理的综合运用.教学准备多媒体课件、三角尺教学过程1.情境导入清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，如图（课件出示）。(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角?在图中标出它们．(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少?(3)你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗?你是怎样得到的?下面大家来看某生的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5.∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.2.讲授新课1．外角与外角和阅读教材P5，完成下列内容：(1)多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫这个多边形的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．(2)多边形的每一个顶点处的内角与外角之间的关系是互补．一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角.那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？360°刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°.想一想：如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n-2)·180°，因此，外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°.性质：多边形的外角和都等于360°.由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.例2：一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形?解：设多边形的边数为n，则它的内角和为(n-2)·180°，由题意得(n-2)·180°=360°×5，解得n=12.因此，这个多边形是十二边形.2．四边形的不稳定性阅读教材P6观察，完成下列内容：活动的铁门就是利用了四边形不稳定性，而木栅栏上加钉斜木条构成了三角形，是利用了三角形的稳定性．归纳：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性.在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如下图(a)中的电动伸缩门、图(b)中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图(c)中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.3.课堂练习1．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的15解：不存在，理由是：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°-α，于是15×α=180°-α,解得α这个多边形的边数为360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形.2．如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了()A．60mB．100mC．90mD．120m解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°=18，故小陈行走的总路程为5×18=90(m)．故选C.3．如图所示，具有稳定性的有()A．只有(1)(2)B．只有(3)C．只有(2)(3)D．(1)(2)(3)解析：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性．4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为()A．90°B．180°C．270°D．360°解析：因为∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4.又因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.故选D.方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．5．下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形解析：根据多边形的内角和为(n-2)·180°，多边形外角和为360°，所以(n-2)·180°=360°，n=4.故选A.方法总结：内角和为(n-2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．4.课堂小结1．多边形的外角与外角和内容多边形的外角多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.多边形的外角和在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360°.2．四边形的不稳定性四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.四边形的不稳定性与三角形的稳定性是相对的，在现实生活中都各有运用.3．解题策略：I．各多边形的内(外)角和与边数间的关系(1)多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一条边，内角和就增加180°.(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数。II．转弯问题：如果每一次转过的角度相等，就可以用360°除以每一次转过的角度，算出转过的次数，从而可以解决具体问题.5.板书设计1．任意多边形的外角和是360°2．四边形具有不稳定性教学设计反思通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单.课题第1章1.2平行四边形1.2.1平行四边形的性质第1课时平行四边形边、角的性质授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．使学生理解并掌握平行四边形的定义.2．能根据定义探究平行四边形的性质.3．了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题.二、过程与方法经历运用平行四边形描述现实世界的过程，发展学生的抽象思维和形象思维，根据平行四边形的性质进行简单的计算与证明，通过观察、实验、归纳、证明，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑，培养学生的推理能力与演绎能力.三、情感、态度与价值观在应用平行四边形的性质的过程中培养独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验.通过平行四边形的性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系.教学重点、难点教学重点：理解平行四边形的概念；掌握平行四边形边、角的性质.教学难点：利用平行四边形边、角的性质解决问题．教学准备多媒体课件、三角尺教学过程1.情境导入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？2．你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？2.讲授新课1．平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“¨ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．(3)几何语言表达：①因为AB//DC，AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形；②因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//DC，AD//BC．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线.2．平行四边形的边、角性质阅读教材P8说一说，完成下列内容：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.互相平行的两边叫作梯形的底（通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底）.不平行的两边叫作梯形的腰.两底的公垂线段叫作梯形的高.两腰相等的梯形叫作等腰梯形.有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？(1)由定义知，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．(相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和邻补角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚)(2)猜想：平行四边形的对边相等、对角相等？下面证明这个结论的正确性．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．证明：连接AC，因为AB//CD，AD//BC，所以∠1=∠3，∠2=∠4，又因为AC=CA，所以△ABC≌△CDA(角边角)，所以AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，又因为∠1+∠4=∠2+∠3，所以∠BAD=∠BCD．由此得到：平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等、对角相等．用符号语言表示：如图.ABCDAD//BC，例1：如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，BF与CD相交于点G，AD=2，∠A=65°，∠E=33°，求EF和∠BGC．解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD=2，∠1=∠A=65°.因为四边形BCEF均是平行四边形，所以EF=BC=2，∠2=∠E=33°.于是在△BGC中，∠BGC=180°-∠1-∠2=82°.3．平行线之间的距离例2：如图，直线l1与l2平行，AB、CD是l1与l2之间的任意两条平行线段.试问：AB与CD是否相等？为什么？解：相等.证明：因为l1//l2，AB//CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.归纳：夹在两平行线间的平行线段相等.问：上题中若AB、CD都垂直于l1与l2，则可得到什么结论？结论：1.线段AB、CD叫做l1与l2的公垂线段.2.两平行线的所有公垂线段相等.3.课堂练习1．填空：(1)在ABCD中，∠A=50°，则∠B=130°，∠C=50°，∠D=130°．(2)如果ABCD中，∠A-∠B=24°，则∠A=102°，∠B=78°，∠C=102°，∠D=78°．(3)如果ABCD的周长为28cm，且AB∶BC=2∶5，那么AB=4cm，BC=10cm，CD=4cm，AD=10cm．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．解：DM与MC互相垂直，证明：因为M是AB的中点，所以AB=2AM，又因为AB=2AD，所以AM=AD，所以∠ADM=∠AMD.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD，所以∠AMD=∠MDC，所以∠ADM=∠MDC，即∠MDC=12∠ADC同理∠MCD=12∠BCD因为AD∥BC，所以∠BCD+∠ADC=180°，所以∠MDC+∠MCD=12∠BCD+12∠ADC=所以∠DMC=90°，所以DM与MC互相垂直．方法总结：根据平行四边形对边平行、对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题．3．如图，已知l1//l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．证明：因为l1//l2，所以点E，F到l2之间的距离都相等，设为h，所以S△EGH=12GH·h，S△FGH=12GH·所以S△EGH=S△FGH，所以S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，所以△EGO的面积等于△FHO的面积．方法总结：解题的关键是明确两平行线间的距离相等；同底等高的两个三角形的面积相等．4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE=2，则AD=________．解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AD=EF，AD∥EF，DE=AF=2，所以∠ACB＝∠FEB.因为AB=AC，所以∠ACB=∠B，所以∠FEB=∠B，所以EF=BF，所以AD=BF.因为AB=5，所以BF=5+2=7，所以AD=7.故答案为7.方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题．5．如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A=125°，则∠BCE的度数为()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠A=∠BCD=125°.又因为CE⊥AB，所以∠BEC=∠ECD=90°，所以∠BCE=125°-90°=35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．6．如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP=EP.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DGC=∠GCB.因为DG=DC，所以∠DGC=∠DCG，所以∠DCG=∠GCB.因为∠DCG+∠ECP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，所以∠ECP=∠FCP，在△PCF和△PCE中CE=CF所以△PCF≌△PCE(SAS)，所以PF=PE.方法总结：利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系，进而通过证明三角形的全等得出结论．4.课堂小结1．平行四边形的概念及边、角性质定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.性质定理1：对边相等；对角相等.解题策略：①ABCD的周长=2(AB+BC)；②连接AC，则△ABC≌△CDA；③∠BAD+∠1=180°，∠BAD+∠ABC=180°.2．两平行线间的平行线段夹在两条平行线间的平行线段相等.3．解题策略(1)平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用.(2)平行四边形的边角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补和相等提供了很重要的依据，常和全等三角形一起综合运用.(3)平行线间的距离是指垂线段的长度，平行线的位置确定了，它们之间的距离就是定值，不随着垂线段位置的改变而改变.5.板书设计1．平行四边形的定义2．平行四边形的边、角的性质3．两平行线间的距离教学设计反思从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只是在推理过程中不是很完美，在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练.课题第1章1.2平行四边形1.2.1平行四边形的性质第2课时平行四边形对角线的性质授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．使学生掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.二、过程与方法经历探索平行四边形的对角线性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理的能力.三、情感、态度与价值观培养学生严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值.教学重点、难点教学重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.教学难点：利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．教学准备多媒体课件、三角尺教学过程1.情境导入一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是如图这样划分的.当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？要想解决这个问题，我们应该先弄清楚平行四边形的对角线有什么性质，那么，现在就让我们一起探讨平行四边形对角线的性质．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？2.讲授新课1．平行四边形对角线的性质画出平行四边形ABCD的对角线AC和BD，它们交于点O.我们除了得出对边相等，还能在图形中得出那些线段相等吗？学生观察、讨论，并进行小组交流.通过以上活动，你们能得到哪些结论？并由各小组派学生表述看法.有的学生动手量；有的学生讨论如何进行折叠，动脑思考，议论；有的学生在思考如何证明OA=OC，OB=OD；有的学生讨论找全等三角形.最后得到：OA=OC，OB=OD.在学生得到OA=OC，OB=OD的基础上，概括出平行四边形的对角线的性质（若学生不能进行很好的叙述，可提示学生采用仿照性质定理1的方法进行叙述）：平行四边形的对角线互相平分.已知：如图，在£ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：因为在£ABCD中，AD//BC(平行四边形的定义)，所以∠1=∠2，∠3=∠4(两直线平行，内错角相等).又因为AD=BC(平行四边形的对边相等)，所以△AOD≌△COB(ASA)，所以OA=OC，OB=OD(全等三角形的对应边相等).由此我们可以得出平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分.例3：如图，在£ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD的周长.解：因为AC，BD为£ABCD的对角线，所以OC=12AC=3，OD=12BD又因为CD=4.8，所以△COD的周长为3+5+4.8=12.8.例4：如图，在£ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.证明：因为AC，BD为£ABCD的对角线，所以OA=OC.因为AD//BC，所以∠MAO=∠NCO，又因为∠AOM=∠CON，所以△AOM≌△CON（角边角），所以OM=ON，所以点O是线段MN的中点.3.课堂练习1．有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14cm和20cm，它的一边长为18cm?为什么?若平行四边形的边长为xcm，则x的取值范围为多少？解：不可能，理由：如图，在£ABCD中，AC，BD为£ABCD的对角线，且AC和BD交于点O，不妨设BD=14cm，AC=20cm，其中AB为£ABCD一边长，则OA=12AC=10，OB=12因为10+7<18，所以AB的长不可能其18cm.设AB=xcm，则10-7<AB<10+7，所以3<AB<17，故x的取值范围为3cm<x<17cm.2．在ABCD中：(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO=S△CBO；(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解：(1)在ABCD中，AO=CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO=12AO·h，S△CBO=12CO·所以S△ABO=S△CBO.(2)S△ABP=S△CBP.理由：在ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP=eq\f(1,2)BP·h，S△CBP=eq\f(1,2)BP·h，所以S△ABP=S△CBP.方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．现在，你能解决情境中的问题了吗？4.课堂小结1．平行四边形对角线性质2．平行四边形性质总结图形名称文字语言图形语言符号语言平行四边形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形因为AB//CD，AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形性质平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，OA=OC，OD=OB3．解题策略(1)平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成四对全等的三角形.对角线是把四边形转化为三角形的桥梁，可将平行四边形转化为三角形来研究.平行四边形对角线的性质是证明两条线段互相平分的重要依据.(2)若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.5.板书设计1．平行四边形对角线互相平分2．平行四边形的面积教学设计反思通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长.课题第1章1.2平行四边形1.2.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1、2授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法.2．会判定一个四边形是不是平行四边形.二、过程与方法经历“观察—猜想—验证—说理—建模”的探索过程和思维过程，丰富学生从事数学活动的经历，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性.三、情感、态度与价值观在观察分析探究问题过程中发展主动探索、独立思考的习惯.教学重点、难点教学重点：掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法教学难点：平行四边形判定定理的综合应用．教学准备多媒体课件、三角尺、两支等长铅笔、两只等长钢笔教学过程1.情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？2.讲授新课1．由一组对边的关系判定平行四边形动脑筋：从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB出发，画出一个平行四边形呢？如图，把线段AB平移到某一位置，得到线段DC，则可知AB//DC，且AB=DC.由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质：两组对应点的连线平行且相等，即AD//BC.由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.AABCD把上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如图，已知AB//DC，且AB=DC，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.可证明：△ABC≌△CDA(SAS)，所以∠3=∠4，所以AD//BC.又AB//DC，所以四边形ABCD是平行四边形.由此得到：平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例5：如图，点E，F在ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE.求证：四边形ABABCDEF证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC.因为BE=13BC，FD=13所以BE=FD.又因为BE//FD，所以四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).2．由两组对边的关系判定平行四边形动脑筋：如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？问题抽象出来是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？已知，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连接AC，如图.DDCAB12因为AB=CD，BC=DA，AC=CA，所以△ABC≌△CDA，所以∠1=∠2，所以AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）由此得到：平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.例6：如图，E，F，G，H分别是▱ABCD的边AD，AB，BC，CD上的点，且AE=CG，BF=DH.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C，AB=CD.因为BF=DH，所以AF=CH.又AE=CG，因此△AFE≌△CHG(边角边)，从而EF=GH.同理，FG=HE，所以四边形EFGH是平行四边形．3.课堂练习1．如下左图，已知点E、H、F、G分别为£ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，ED与AH、GC分别交于点A′，D′，BF与AH，GC分别交于点B′，C′，找出图中有4个平行四边形.2．如上右图，£ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：在£ABCD中，AB//CD，AB=CD，所以∠BAE=∠DCF.因为BE⊥AC，DF⊥AC，所以∠AEB=∠D=90°，BE//DF.在△ABE与△CDF中，∠所以△ABE≌△CDF，所以BE=DF，所以四边形BEDF是平行四边形.方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．3．如图，在Rt△MON中，∠MON=90°.求证：四边形PONM是平行四边形．证明：在Rt△MON中，由勾股定理，得(x-5)2+42=(x-3)2，解得x=8，所以PM=11-x=3，ON=x-5=3，MN=x-3=5，所以PM=ON，OP=MN，所以四边形PONM是平行四边形．方法总结：要依据图形的特点及已知条件选择适当的方法来证明一个四边形是平行四边形．4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD=2cm，BC=8cm，AB=8cm，AF=5cm.试求此六边形的周长．解：延长ED、BC交于点N，延长EF、BA交于点M.因为∠EDC=∠BCD=120°，所以∠NDC=∠NCD=60°，所以∠N=60°.同理，∠M=60°，所以△DCN、△FMA均为等边三角形，所以∠E+∠N=180°.同理∠E+∠M=180°，所以EM∥BN，EN∥MB，所以四边形EMBN是平行四边形，所以BN=EM，MB=EN.因为CD=2cm，BC=8cm，AB=8cm，AF=5cm，所以CN=DN=2cm，AM=FM=5cm，所以BN=EM=8+2=10(cm)，MB=EN=8+5=13(cm)，所以EF+FA+AB+BC+CD+DE=EF+FM+AB+BC+DN+DE=EM+AB+BC+EN=10+8+8+13=39(cm)，所以此六边形的周长为39cm.方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决.4.课堂小结1．由边的关系判定平行四边形平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.2．解题策略(1)由边的关系判定平行四边形的方法有三种：两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等.(2)猜测两线段的位置关系时，一般为特殊关系：平行关系、垂直关系或互相平分关系；由图形判断两线段互相平分，可以证明分得的两线段所在的三角形全等，也可以证明以两线段为对角线的四边形是平行四边形.在有关四边形的问题中，一般的方法是先判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质解决问题.5.板书设计1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形教学设计反思本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.课题第1章1.2平行四边形1.2.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定定理3授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．使学生掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算.2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算.二、过程与方法经历观察、归纳等教学活动过程，培养学生的合作精神和有条理的思考和探究的能力.三、情感、态度与价值观通过生动有趣的数学活动，让学生主动探索、敢于表达、乐于合作交流，进一步体验数学在生活中的应用，体验因学习而带来的快乐.教学重点、难点教学重点：掌握平行四边形的判定定理3.教学难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．教学准备多媒体课件、三角尺、活动“十字架”木条教学过程1.情境导入1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？两组对边分别平行2．用所学的判定方法1判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？两组对边分别平行或一组对边平行且相等或两组对边分别相等3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形.逆命题是否为真命题，待探讨.2.讲授新课1．利用对角线的关系判定平行四边形设问：“对角线互相平分的四边形是平行四边形.”这一命题的条件是什么？结论又是什么？条件：四边形的对角线互相平分；结论：这个四边形是平行四边形.动脑筋：观察下图，将两根细木条的中点重叠，用钉子钉在一起，从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？DCDCBAO抽象几何作图：过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，OB=OD.连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图.你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，所以△OAB≌△OCD(SAS)，所以AB=CD，∠ABO=∠CDO，所以AB//DC，所以四边形ABCD是平行四边形.由此得到：平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.例7：如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E，F在BD上，且OE=OF.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.又因为OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形.2．利用角的关系判定平行四边形例8：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：因为∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠A+∠B=360°2=180°，所以BC//AD同理，AB//DC，所以四边形ABCD是平行四边形.议一议：1．两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗?如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.2．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗?如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.3.课堂练习1．如图，延长△ABC的中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE，求证：∠BAE=∠BCE.证明：因为BD是△ABC的中线，所以AD=CD.又因为DE=BD，因为四边形ABCE是平行四边形，所以∠BAE=∠BCE.2．如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形证法一：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD，所以∠BAE=∠DCF.因为AE=CF，所以△ABE≌△CDF，所以BE=DF，∠AEB=∠CFD，所以∠BEF=∠DFE，所以BE∥DF，所以四边形BEDF是平行四边形.证法二：连接BD，交AC于点O，如图.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).因为AE=FC，所以OE=OF，所以四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．思考：本例把结论改成“求证：∠EBF=∠FDE.”怎么证明？3．如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，点G、H分别在AB、CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O.求证：(1)EG//FH；(2)EF与GH互相平分．证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，所以∠GAE=∠HCF，又因为AE=CF，AG=CH，所以△AGE≌△CHF，所以∠AEG=∠CFH，所以180°-∠AEG=180°-∠CFH，即∠OEG=∠OFH，所以EG//FH.(2)连接FG、EH.因为△AGE≌△CHF，所以EG=FH，又因为EG//FH，所以四边形GFHE是平行四边形，所以EF与GH互相平分．方法总结：综合运用平行四边形的性质和判定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题.4．如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC=8，AD=6，求AB+CD的长．解：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，因为AB∥CD，AD∥CE，所以四边形AECD是平行四边形，所以AE=CD，CE=AD=6.由CE∥AD得∠BCE=∠BOA=90°，所以BE=BC2+CE2因为BE=AB+AE=AB+CD，所以AB+CD=10.方法总结：求线段长度之和时，如果不能求出各条线段的长度，一般通过作辅助线，将两条线段转化到同一条线段上，再放到一个直角三角形内，利用勾股定理求解．4.课堂小结1．利用对角线、角的关系判定平行四边形2．平行四边形的性质与判定总结3．解题策略证明一个四边形是平行四边形的方法：(1)如果已知一组对边平行，则可通过证明另一组对边平行，或证明这组对边相等的方法判定该四边形是平行四边形；(2)如果已知一组对边相等，则可通过证明另一组对边相等，或证明这组对边平行的方法判定该四边形是平行四边形；(3)如果已知一组对角相等，则可通过证明另一组对角相等的方法判定该四边形是平行四边形；(4)如果已知对角线的条件，则首选用证明对角线互相平分的方法判定该四边形是平行四边形.5.板书设计1．对角线互相平分的四边形是平行四边形2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形教学设计反思大部分学生都能根据已知条件判断平行四边形，但对于平行四边形的性质与判定在综合运用过程中所表现出来的灵活度还不够，特别是少数同学还不知从何处着手，在今后的教学中，应适时专项重点强化，使学生不断提高.课题第1章1.3中心对称和中心对称图形授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．了解中心对称、对称中心、对称点和中心对称图形的概念.2．理解中心对称的性质.3．掌握运用中心对称的性质作图的方法.二、过程与方法通过对中心对称的性质的探究及运用，初步学会从正反两方面去思考问题的数学思考方法．以及类比思想的应用.三、情感、态度与价值观通过一系列探索活动，培养学生严谨的科学态度和探索的精神；经历数学知识融于生活实际的学习过程，体验数学学习的快乐.教学重点、难点教学重点：掌握中心对称和中心对称图形的概念和基本性质.教学难点：会运用中心对称的性质作图．教学准备多媒体课件、三角尺教学过程1.情境导入1．复习轴对称的概念.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴.2．观察下列两组图片：提出问题1：这两组图片中的两个图形都具有什么共同特征？3．再观察以下三组图片：提出问题2：这三组图形还关于某条直线成轴对称吗？提出问题3：这三组图片中的两个图形能否重合？怎样才能重合呢？能，两个图形(或一个图形的两部分)通过绕某点旋转(180°)后重合.这节课我们来学习中心对称.2.讲授新课1．中心对称的定义如图，在平面内，将△OAB绕点O旋转180°，所得到的像是△OCD.从这个例子我们引出下述概念：在平面内，把图形（Ⅰ）绕一个点旋转180°，得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.在平面内，设点A与点B关于点O成中心对称，则把点A绕点O逆时针（或顺时针）旋转180°得到点B，如图所示.根据旋转的基本性质和概念可得，OA=OB，∠AOB=180°.于是点A，O，B在一条直线上，且点O是线段AB的中点.归纳：①有两个图形，能够完全重合，即形状、大小完全相同．②方式有限制：将其中一个图形绕某点旋转180°后能够与另一个图形重合．2．中心对称的性质一般地，在平面内，设图形（I）与图形（I）关于点O成中心对称，则图形（I）绕点O旋转180°的像是图形（I），且图形（I）上任一点P在该旋转下的对应点P'都在图形（I）上.同时，点P，O，P'在一条直线上，且点O是线段PP'的中点.由此得到下述性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.如图，AA′，BB′，CC′都经过点O，且被点O平分.例题：如图，已知△ABC和点O，求作一个△A′B′C′，使它与△ABC关于点O成中心对称.作法：(1)如图所示，连接AO并延长AO到A′，使OA′=OA，于是得到点A关于点O的对应点A′.(2)用同样的方法作出点B和C关于点O的对应点B′和C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′.则图中△A′B′C′即为所求作的三角形.3．中心对称图形的定义观察与思考：如图，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？线段AB绕它的中点O旋转180°后，与它自身重合如果一个图形绕一个点旋转180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.4．平行四边形的中心对称性思考：平行四边形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？如图，已知▱ABCD，连接AC，BD，AC与BD相交于点O.由平行四边形的性质可知OA=OC，OB=OD.于是，点A，C，B，D在关于点O中心对称下的像分别是点C，A，D，B，从而边AB，CD，DA，BC的像分别是CD，AB，BC，DA.又ABCD，DABC，因此▱ABCD绕点O旋转180°，它的像与自身重合.因此：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.动脑筋：你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？说一说：下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形?字母Z、X、N是中心对称图形3.课堂练习1．(1)选择点O为对称中心，画出点A关于O的对称点A′，以点O为对称中心；(2)作出线段AB的对称线段A′B′；(3)选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.如图.(2)(3)观察并思考：问题1：怎样画点A关于点O的对称点A′？连接AO，并延长AO至点A′，使得OA′=OA问题2：这样画的依据是什么？关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.问题3：类比画点A关于点O的对称点A′的方法，怎么画线段AB关于点O的对称线段呢？作出分别点A、B关于点O的对称点A′、B′，连接点A′与点B′即可.(1)(2)(3)逆向思考：问题1：反过来如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形是否关于这一点对称？根据中心对称的概念，我们就可以得出以下结论：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称．问题2：性质2反过来，即两个全等的图形是中心对称的，对吗?举例说明不一定是对的2．如图，已知△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心，并找出图中的等量关系．解：如图，分别连接AD、CF交于点O，点O就是对称中心.相等的线段：AC=DF，BC=EF，AB=DE.相等的角：∠CAB=∠FDE，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.方法总结：在成中心对称的两个图形中寻找对称点的规律：①对称点与对称中心在一条直线上；②对称点分别位于对称中心的两侧；③对称点到对称中心的距离相等．3．下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心．4．正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？解：正三角形、正五边形等不是中心对称图形，正方形、正六边形等是中心对称图形规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，而边数为奇数数的正多边形都都不是中心对称图形.5．下列说法错误的是（C）A.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点B.轴对称图形的对称轴是对称点连线的垂直平分线C.关于中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等D.关于轴对称的两个图形中，对应线段平行且相等6．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是________．解析：先找到题图中横着的三个阴影正方形的对称中心，即中间的小正方形的中心，根据此中心及中心对称图形的概念，可得到其上面一行的阴影小正方形关于此对称中心对称的图形是标有序号②的小正方形．故答案为②.方法总结：补全中心对称图形时可先找出部分图形的对称中心，再根据对称中心和中心对称的性质补全其他图形的对称图形．7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)画出△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)探究AB+AC与2AD之间的大小关系；(3)若AB=3，AC=5，求AD的取值范围．解：(1)延长AD到E，使DE=AD.连接BE，则△EBD与△ACD关于点D成中心对称.(2)AB+AC>2AD.理由：因为BD=CD，∠1=∠2，AD=DE，所以△ACD≌△EBD，所以BE=AC，所以在△ABE中，AB＋BE>AE，即AB＋AC>2AD.(3)AB=3，AC=5，即AB=3，BE=5.在△ABE中，因为BE-AB<AE<BE+AB，所以5-3<AE<5+3，所以2<2AD<8，所以1<AD<4.方法总结：遇到有线段中点的问题时，我们可以考虑先找或构建中心对称图形，然后运用成中心对称的两个图形全等的性质把分散的线段放在一起来解决问题．4.课堂小结1．中心对称及其性质内容中心对称定义在平面内，把图形（Ⅰ）绕一个点旋转180°，得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.性质成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分拓展成中心对称的两个图形是全等图形，因此，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等中心对称图形定义如果一个图形绕一个点旋转180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.性质平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.2．中心对称与轴对称的区别与联系中心对称轴对称1有一个对称中心——点有一条对称轴——直线2图形绕中心旋转180°图形沿轴对折，即翻折180°3旋转后与另一个图形重合折叠后与另一个图形重合4平面内旋转变化空间内旋转变化3.中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形图形个数两个图形一个图形联系把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为中心对称图形；把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，它们成中心对称4．解题策略(1)掌握中心对称性质的“三个对应”=1\*GB3①对应边相等；=2\*GB3②对应边平行或在同一线上；=3\*GB3③对应角相等.(2)判断中心对称的“两个方向”=1\*GB3①连接两个图形对应点的线段是否想过同一个点，并且被该点平分；=2\*GB3②把其中一个图形绕着某一个点旋转180°是否能与另一个图形重合.(3)中心对称图形的判方法:=1\*GB3①中心对称图形上，每一对对称点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分.=2\*GB3②顶点是否是偶数个.5.板书设计1．中心对称、对称中心、中心对称图形的概念2．中心对称的性质教学设计反思本节课都是让学生自己操作，独立思考进而得出中心对称、中心对称图形的性质，本节课的练习部分是以生活中最常见的图形为例的，可激发学生的学习兴趣，增强学生的参与意识.课题第1章1.4三角形的中位线定理授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．使学生掌握三角形中位线的定义与性质.2．能够利用三角形的中位线的知识解决三角形的相关问题.3．掌握三角形的中位线的定理和应用.二、过程与方法训练学生利用三角形的中位线的知识解决三角形的相关问题；把“三角形的中位线”这一知识提升为解决四边形的相关问题，形成三角形的中位线性质是判定四边形中点四边形的依据这种思想.三、情感、态度与价值观经历从认识发现三角形的中位线到推理三角形的中位线的定理的过程，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心，使学生掌握三角形相似的有关知识.通过观察、讨论、比较，研究三角形的中位线的图形和定理，培养学生收集提取信息的意识和推理能力，使学生会将复杂问题转化为简单问题.培养学生的数形结合的思想.教学重点、难点教学重点：掌握三角形的中位线定理.教学难点：综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．教学准备多媒体课件、三角尺、三角形纸片、剪刀教学过程1.情境导入1．提出问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？做一做：(1)剪一个三角形，记为△ABC.(2)分别取AB、AC的中点E、F，连接EF.(3)沿EF将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得四边形EBCG.想一想：四边形EBCG是什么特殊的四边形？为什么？四边形EBCF是平行四边形2．如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？2.讲授新课1．三角形中位线的定义操作：作△ABC，分别取AB、AC中点D、E，在图中，连接DE.提问：线段DE是什么点间的连线？三角形两条边中点这条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？（学生交流、讨论）图中线段DE是连接△ABC两边AB、AC的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线.归纳：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.AABCDEF思考：(1)三角形有几条中位线？三条(2)三角形中位线与中线有什么区别？中位线是连接任意两边中点的线段，中线是一个顶点和该顶点的对边中点的连线段.理解：三角形的中位线定义的两层含义：①因为D、E分别为AB、AC的中点，所以DE为△ABC的中位线.②因为DE为△ABC的中位线，所以D、E分别为AB、AC的中点.2．三角形中位线的定理探究：如图，EF是△ABC的一条中位线，现在我们来探究EF与BC的位置关系？数量关系？位置关系：你能从图中猜想EF//BC吗？数量关系：量一量，EF，BC的长各是多少？你有什么猜想？猜测：EF//BC，EF=12BC即：三角形中位线平行第三边，且等于第三边的一半。这些猜想正确吗？证明：如图，将△AEF绕点F旋转180°，至△CGF的位置.设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G在一条直线上.由旋转不改变图形的形状和大小，得CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF，则AE//CG，即BE//CG.又因为BE=CG，所以四边形BEGC是平行四边形，所以EGBC.又因为EF=GF，所以EF=12EG=12BC，EF//由此得到三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.几何表示：因为EF是△ABC的中位线，所以EF=12BC，EF//BC思考：三角形的三条中位线将原三角形分成了几个小三角形？它们之间有什么样的关系？三角形的三条中位线将原三角形分成了4个小三角形，它们之间相互全等.例题：如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？解：连接AC.因为EF是△ABC的一条中位线，所以EF//AC，且EF=12AC又因为HG是△DAC的一条中位线，所以HG//AC，且HG=12AC所以EF//HG，且EF=HG，所以四边形EFGH是平行四边形.由此得到中点四边形的规律：顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.3.课堂练习1．如图，点D、E、F分别是△ABC的AB、AC、BC边的中点．(1)若AB=8cm，求EF的长；(2)若DE=5cm，求BC的长．(3)若增加M、N分别是BD、BF的中点，问MN与AC有什么关系？为什么？解：(1)因为EF是△ABC的一条中位线，所以EF=12AB=12(2)因为DE是△ABC的一条中位线，所以BC=2DE=2×5=10(cm).(3)MN//AC且MN=14AC，因为DF是△ABC的一条中位线，所以DF//AC且DF=12AC因为MN是△BDF的一条中位线，所以MN//DF且MN=12DF所以MN//AC且MN=14AC2．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，则AC的长为()A.eq\f(3,2)B．3C．6D．9解析：如图，因为D、E分别为AC、BC的中点，所以DE∥AB，所以∠2=∠3.又因为AF平分∠CAB，∠1=∠3，所以∠1=∠2，所以AD=DF=3，所以AC=2AD=2DF=6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用．3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD=AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.因为BD=AB，所以BF为△ADC的中位线，所以DC=2BF.因为E为AB的中点，且AB=AC，所以BE=CF，∠ABC=∠ACB.因为BC=CB，所以△EBC≌△FCB，所以CE=BF，所以CD=2CE.方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．4．如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为()A．80°B．90°C．100°D．110°解析：因为C、D分别为EA、EB的中点，所以CD是△EAB的中位线，所以CD∥AB，所以∠2=∠ECD.因为∠1=110°，∠E=30°，所以∠ECD=∠2=80°，故选A.方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM=∠OMN.证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线，所以EP∥BD，EP=12BD所以∠PEF=∠ONM，同理可知PF为△ADC的中位线，所以FP∥AC，FP=12AC，所以∠PFE=∠OMN因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，所以∠ONM=∠OMN.方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．4.课堂小结三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图，DE为△ABC的中位线，则DE//BC，且DE=12BC解题策略：①如图，DE是△ABC的中位线，则S△ADE=14S△ABC，△ADE的周长为△ABC周长的一半②如图，DE，DF都是△ABC的中位线，故四边形DECF是平行四边形.③运用三角形中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法：当题目中有中点时，特别是有两个中点时，I.如果中点都在一个三角形中，直接用三角形中位线定理；II.如果不在一个三角形中，就需要作辅助线取某边的中点，构造三角形的中位线，然后利用三角形中位线定理及相关的知识解决问题.5.板书设计1．三角形的中位线的概念2．三角形的中位线定理教学设计反思本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.课题第1章1.5矩形1.5.1矩形的性质授课教师授课类型新授课教学目标一、知识与技能1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.二、过程与方法经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点.三、情感、态度与价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值.教学重点、难点教学重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论；会用矩形的性质定理及推论进行推导证明.教学难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．教学准备多媒体课件、三角尺、平行四边形演示器教学过程1.情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点A，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角（如图），就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形．2.讲授新课1．矩形的定义观察与思考：在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？说一说.回答(1)：我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.回答(2)：我发现这些四边形的四个角都是直角.回答(3)：我发现在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.矩形的性质四边形、平行四边形、矩形的关系如图.矩形是特殊的平行四边形，由此可知矩形具有平行四边形的所有性质，同时也有自身特色的性质.可以按照边、角、对角线及对称性四个方面去描述.思考：矩形的四个角都是直角吗？矩形的两条对角线相等吗？为什么？如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角，根据矩形的定义可知，四边形ABCD是平行四边形，于是AD//BC，且AB//DC.因此∠ABC=∠ADC=180°-∠DAB=90°，∠BCD=∠DAB=90°.由此得到矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.如图，四边形ABCD是矩形，于是AB=DC.根据矩形的性质定理1得，∠ABC=∠DCB=90°.又BC=CB，所以△ABC≌△DCB（边角边），从而AC=DB.由此得到矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.例1：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°，如图所示.求BC的长.解：因为四边形ABCD是矩形.所以OA=OB=12AC又∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形.于是AB=OA=2cm.因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=思考：矩形是不是中心对称图形?如果是，那么对称中心是什么？由于矩形是平行四边形，因此：矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心.探究：画出一个矩形ABCD(如下左图)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴?你的猜测正确吗？如上右图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.由于OB=12BD=12AC=OC，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段由于AD//BC，因此EF⊥AD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴.过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.由此得到：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.3.课堂练习1．如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.证明：在矩形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，所以∠AEB=∠FBC.因为CF⊥BE，所以∠BFC=∠A=90°.由作图可知，BC=BE，在△BFC和△EAB中，∠所以△BFC≌△EAB(AAS)，所以BF=AE.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC≌△EAB是解题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.证明：因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，所以∠BEF+∠BFE=90°.因为EF⊥ED，所以∠BEF+∠CED=90°，所以∠BFE=∠CED