圆锥曲线专题练习(含答案).doc

1 圆锥曲线专题 重庆市荣昌中学刘作宽 2012 年 4 月 8 日 一 选择题 1 已知抛物线的顶点为 抛物线上两点满足 则点到直线xy4 2 OBA 0 OBOAO 的最大距离为 D AB A 1 B 2 C 3 D 4 2 2010 四川理数 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点 为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 3 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜 率为3的直线交C于AB 两点 若4AFFB 则 C的离心率为 w w w k s 5 u c o A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 2 解 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由直线 AB 的斜率为3 知直线 AB 的倾斜角为 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 故选 A 4 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线 段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 5 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两 点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如图 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐 标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故 选 D 3 6 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相交 于 A B 两点 与抛物线的准线相交于 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 考点定位 本小题考查抛物线的性质 三点共 线的坐标关系 和综合运算数学的能力 中档题 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 F 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 A B F C 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由 A B M 三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故选择 A 7 四川卷 12 已知抛物线 2 8C yx 的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在 C上且2AKAF 则AFK 的面积为 B 4 8 16 32 8 2010 重庆南开中学第八次月考 过双曲线 22 22xy 的右焦点作直线l交双曲线于 AB 两点 若4 AB 则这样的直线有 A 4 条B 3 条C 2 条D 1 条 答案 B 4 解析 因为双曲线方程为 x2 1 过右焦点垂直于 x 轴的弦长 即通径为 4 又实 y2 2 2b2 a 轴长为 2a 2 4 由对称性可知 过右焦点长度为 4 的弦与左右两支各有一个交点的弦 有两条 与右支有两个交点的弦只有 1 条 故共有 3 条长度为 4 的弦 选 B 9 2010 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 10 浙江卷 10 如图 AB 是平面a的斜线段 A 为斜足 若点 P 在平面a内运动 使得 ABP 的面积为定值 则动点 P 的轨迹是 B A 圆 B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 11 所在的平面和四边形 ABCD 所在的平面垂直 且PAB 4 8 6 ADBCADBCABAPDCPB 则点 P 在平面内的轨迹是 A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 解 在 以 AB 的中点 O 为原点 以射线 OBsinsin 2 PB Rt PBCRt PADCPBAPD PA 和和中中 为 x 轴 在内建立平面直角坐标系 则 化简得 2 2 2 2 3 2 3 xy xy 故选 A 2 2 516xy 12 2009 重庆卷理 已知以4T 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中 0m 若方程3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 A 15 8 33 B 15 7 3 C 4 8 3 3 D 4 7 3 答案 B 解析 因为当 1 1 x 时 将函数化为方程 2 2 2 1 0 y xy m 实质上为一个半 椭圆 其图像如图所示 同时在坐标系中作出 D C B A P 5 当 1 3 x 得图像 再根据周期性作出函数其它部分的图像 由图易知直线 3 x y 与第二 个椭圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 相交 而与第三个半椭圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 无公共 点时 方程恰有 5 个实数解 将 3 x y 代入 2 2 2 4 1 0 y xy m 得 2222 91 721350 mxm xm 令 22 9 0 1 8150tm ttxtxt 则 由 22 15 8 4 15 1 0 15 915 0 3 tt ttmmm 得由且得 同样由 3 x y 与第二个椭圆 2 2 2 8 1 0 y xy m 由0 可计算得7m 综上知 15 7 3 m 二 填空题 1 上海市五校 2011 年联合教学调研理科 已知点 2 2 0Q及抛物线 2 4 x y 上一动点 00 P xy 则 0 yPQ 的最小值为 2 2 2010 湖北文数 15 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的两焦点为 12 F F 点 00 P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y 则 1 PF 2 PF 的取值范围为 直线 0 0 1 2 x x y y 与椭圆 C 的公 共点个数 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时 12max 2 PFPF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PFPF 为 21 21 2 2 故范围为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直 线 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 3 2006 年四川卷 如图 把椭圆的长轴 22 1 2516 xy 分成 等份 过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部AB8x 分于七个点 是椭圆的一个焦点 1234567 P P P P P P P F 6 则 1234567 PFP FPFP FPFP FP F 考查意图 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 解答过程 由椭圆的方程知 22 1 2516 xy 2 25 5 aa 1234567 7 2 77 535 2 a PFP FPFP FPFP FP Fa 故填 35 4 2010 全国卷 2 理数 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M且 斜率为3的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若AMMB 则p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线l于 E AMMB M 为中点 1 BMAB 2 又 斜率为3 0 BAE30 1 BEAB 2 BMBE M 为抛物线的焦点 p 2 5 2009 重庆卷理 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若双曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线的离心率的取 值范围是 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 且知点 P 在双曲线的右支上 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFexa 则 00 a aexc exa 解得 0 1 1 a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理 得 2 210 ee 解得2121 1 ee 又 故椭圆的离心率 7 1 21 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由双曲线的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFcacacaca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 6 2011 年高考重庆卷理科 15 设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域C 2 2yx 3x 包含边界 内 则圆的半径能取到的最大值为 C 解析 为使圆的半径取到最大值 显然圆心应该在 x 轴上且与直线相61 C3x 切 设圆的半径为 则圆的方程为 将其与联立得 CrC 2 22 3xryr 2 2yx 令 并由 得 2 22960 xrxr 2 224 960rr 0r 61r 7 2010 重庆理数 14 已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx 上的两点 A B 满足3AFFB 则 弦 AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 ABC 中 AC 2m AB 4m 3 AB k 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 三 解答题 1 如图所示 抛物线y2 4x的顶点为O 点A的坐标为 5 0 倾斜角为 4 的直线l与线 段OA相交 不经过点O或点A 且交抛物线于M N两点 求 AMN面积最大时直线l的方程 并求 AMN的最大面积 解 由题意 可设l的方程为y x m 5 m 0 8 由方程组 xy mxy 4 2 消去y 得x2 2m 4 x m2 0 直线l与抛物线有两个不同交点M N 方程 的判别式 2m 4 2 4m2 16 1 m 0 解得m 1 又 5 m 0 m的范围为 5 0 设M x1 y1 N x2 y2 则x1 x2 4 2m x1 x2 m2 MN 4 1 2m 点A到直线l的距离为d 2 5m S 2 5 m m 1 从而S 2 4 1 m 5 m 2 2 2 2m 5 m 5 m 2 3 5522mmm 3 128 S 82 当且仅当 2 2m 5 m 即m 1 时取等号 故直线l的方程为y x 1 AMN的最大面积为 82 2 2010 年高考数学湖北卷理科 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上任一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有连个交点 A B 的任一直线 都有 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 FA FB 9 3 上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科 本题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 7 分 已知椭圆E 22 22 1 xy ab 0ab 过点 3 1 P 其左 右焦点分别为 12 FF 且 12 6FP F P 1 求椭圆E的方程 2 若 M N是直线5x 上的两个动点 且 12 FMF N 则以MN为直径的圆C是否过 定点 请说明理由 解 1 设点 12 F F的坐标分别为 0 0 0 ccc 则 12 3 1 3 1 FPcF Pc 故 2 12 3 3 1 106FP F Pccc 可得4c 2 分 所以 2222 12 2 34 1 34 16 2aPFPF 4 分 故 222 3 2 18 162abac 所以椭圆E的方程为 22 1 182 xy 6 分 2 设 M N的坐标分别为 5 5 mn 则 12 9 1 FMm F Nn 又 12 FMF N 可得 12 90FM F Nmn 即9mn 8 分 又圆C的圆心为 5 2 mn 半径为 2 mn 故圆C的方程为 222 5 22 mnmn xy 即 22 5 0 xymn ymn 也就是 22 5 90 xymn y 11 分 令0y 可得8x 或 2 故圆C必过定点 8 0 和 2 0 13 分 另法 1 中也可以直接将点P坐标代入椭圆方程来进行求解 2 中可利用圆 C 直 径的两端点直接写出圆C的方程 4 上海市虹口区 2010 2011 学年第二学期高三教学质量测试理科 本题满分 1