高中数学一轮复习 第7讲 空间向量的应用.doc

第7讲 空间向量的应用随堂演练巩固10用心 爱心 专心1.设平面的法向量为（1，2，2），平面的法向量为（2，4，k），若/则k等于（ ） a.2b.4c.4d.2 【答案】c 【解析】(2， k=4. 2.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0，2，1)，b那么这条斜线与平面的夹角是( ) a.90b.60c.45d.30 【答案】d 【解析】cos因此a与b的夹角为30. 3.已知abc的三个顶点坐标分别为a(2，3，1) 的重心坐标为（ ）a.b. c.d. 【答案】b 【解析】abc的重心坐标为. 4.如图平面ac=则二面角apbc的余弦值大小为 . 【答案】 【解析】 以c为原点,ca为x轴,cb为y轴建立空间直角坐标系cxyz, 因为a(1,0,00,0),p(1,0,1), =(0,0,1), 设平面apb的法向量为n平面pbc的法向量为n 则 nn. cosnn. 二面角apbc的余弦值为. 5.(2012安徽怀宁检测)在空间直角坐标系中，定义:平面的一般方程为:ax+by+cz+d=0r，且a，b，c不同时为零)，点到平面的距离为:则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心o到侧面的距离等于 . 【答案】 【解析】如图，以底面中心o为原点建立空间直角坐标系oxyz，则a(1，1，0)，b(1，1，0)，p(0，0，2)，设平面pab的方程为ax+by+cz+d=0，将以上3个坐标代入计算得a=0，b= 即2y+z2=0，课后作业夯基基础巩固1.(2012北京西城检测)下列命题中，正确命题的个数为( ) 若nn分别是平面的法向量，则nn;若nn分别是平面的法向量，则nn;若n是平面的法向量，a与共面，则na=0; 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直. a.1b.2c.3d.4 【答案】:c 【解析】中平面可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确，故选c. 2.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) a.75b.60c.45d.30 【答案】c 【解析】如图，四棱锥pabcd中，过p作平面abcd于o，连结ao，则ao是ap在底面abcd上的射影，即为所求线面角， cos. ，即所求线面角为45. 3.在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的法向量为n=(2，2，1)，已知p(1，3，2)，则点p到平面oab的距离d等于( ) a.4b.2c.3d.1 【答案】b 【解析】. 4.已知a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)，则平面abc的一个单位法向量是( ) a.b. c.d. 【答案】d 【解析】:设平面abc的一个法向量为n=(x，y，z)，则n，n， 于是n=0，n=0， =(1，1，0)，=(1，0，1)， 取z=1，则x=y=z=1. n=(1，1，1)，故所求平面abc的一个单位法向量为. 5.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n则l与所成的角为 ( ) a.30b.60c.120d.150 【答案】 a 【解析】 sin|. 又直线与平面所成角满足0,. 6.已知长方体-中是侧棱的中点,则直线ae与平面所成角的大小为( ) a.60b.90 c.45d.以上都不正确 【答案】 b 【解析】 e是的中点且1, . 又在长方体abcd-中平面. 平面.故所求角为90. 7.已知在长方体-中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离是 ( ) a.b.c.d. 【答案】 c 【解析】 如图,以d为原点建立空间直角坐标系d-xyz, 则a(2 设平面的法向量为n=(x,y,z), 则 即 解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1), 设点到平面的距离为d, 则. 8.(2012海南海口检测)正方体-中,二面角a的大小为( ) a.60b.30c.120d.150 【答案】 c 【解析】 以d为坐标原点建立空间直角坐标系,如图. 设 (1b(1,1,0)c(0,1,0),则=(-1,1,0)为平面的一个法向量. 设n=(x,y,z)为平面的一个法向量. 则nn=0, 又=(0,1,0), n=(1,0,1). 令x=1,则z=1. cos,n. ,n,即二面角的大小为120. 9.与a(1，2，3)，b(0，0，5)两点距离相等的点满足的等式为 . 【答案】2x4y+4z11=0 【解析】设到a 两点距离相等的点位由|pa|=|pb|，即 整理得:2x4y+4z11=0. 10.长方体-中e为的中点,则异面直线与ae所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】 以d为坐标原点建立空间直角坐标系如图, 则a(1,0,0),e(0,2,1),b(1. =(-1,2,1), cos. 11.如图,正方体-的棱长为2,m,n分别是的中点,则直线与平面bdm所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】 以d为坐标原点,分别以,的方向为x轴 、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图,则n(0 又m(0,1,2),d(0,0,0),b(2,2,0),则=(2,2,0), =(0,1,2), 可得平面bdm的一个法向量n=(2,-2,1),因为cosn 故直线与平面bdm所成角的正弦值是. 12.如图，正abc的边长为2a，cd是ab边上的高，e(1)试判断翻折后直线ab与平面def的位置关系，并说明理由; (2)求异面直线ab与de所成角的余弦值;(3)求二面角bacd的余弦值. 【解】(1)以d为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则d(0，0，0)，a(0，0，a)，b(a，0，0. =(a，0，a)， 从而， ，又平面平面def， 故ab平面def. (2)，即为异面直线ab与de所成的角. cos. 异面直线ab与de所成角的余弦值为. (3)=(a，0，0)为平面acd的一个法向量， 设n=(x，y，z)为平面abc的一个法向量， 则n=axaz=0，n 取z=1，则. n 从而cos. 所以二面角bacd的余弦值为. 13.如图甲,在直角梯形abcd中,ab,ab=2,ad=3,cd=1,点e 、f分别在ad、bc上，且ae=ad,bf=.bc.现将此梯形沿ef折至使的位置(如图乙). (1)求证:平面abcd; (2)求点b到平面cdef的距离; (3)求直线ce与平面bcf所成角的正弦值. 【解】 (1)证明:由题意知:ae=1 . ,即. 又平面abcd. (2)作于点k. ,abef. 又平面平面cdef,ab平面cdef. 点b到平面cdef的距离即为点a到平面cdef的距离. 平面aed,平面aed, . 又平面cdef. ak的长即为点b到平面cdef的距离. 在rtade中 点b到平面cdef的距离为. (3)以点a为坐标原点,ad c(,e(0,0,1), -1,1),设平面bcf的法向量n=(x,y,z), 由 得n. 设直线ce与平面bcf所成的角为 则sin. 所以直线ce与平面bcf所成角的正弦值为. 14.(2012福建厦门月考)如图,矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直,becf且ad=. (1)求证:ae平面dcf; (2)设当取何值时,二面角aefc的大小为? 【解】 (1)证明:四边形abcd是矩形,abdc. 又be 平面abe平面dcf. 又平面abe,ae平面dcf. (2)过点e作交cf于点g, 由已知可得:egbcad,且eg=bc=ad, .又ef=2,gf=1. 四边形