示范教案(3 解三角形的实际应用举例 第1课时).doc

或3 解三角形的实际应用举例整体设计教学分析 本节重点研究底部不可到达的高度测量问题,这类问题在我们的日常生活中比比皆是,学生对实际背景非常熟悉,这给教学带来了极大的便利.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决,但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.教学时要充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知. 本节课主要是测量问题,一是要熟悉仰角、俯角的意义,二是要会在几个三角形中找出已知量与未知量之间的关系,逐步转化,最终归结为解三角形的问题.三维目标1.结合实际测量工具,能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题.2.使学生体会数学知识来源于生活并应用于生活,进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及观察、归纳、类比、概括的能力.提高灵活地选择正弦定理、余弦定理的解题能力.3.通过本节的探究,引导学生经过自己的数学活动,从实际问题中提取数学模型,使学生经历发现和创造过程,进一步拓展学生的数学活动空间,发展学生“做数学”“用数学”的意识.重点难点教学重点:分析测量物体高度问题的实际背景,正确运用正弦定理、余弦定理解决底部不可到达的测量物体高度的问题,进一步熟悉数学建模的方法步骤,熟悉解决实际问题的规范的解题过程.教学难点:将测量底部不可到达物体的高度问题转化为数学问题是本节的难点,另一个难点是灵活选用正弦定理和余弦定理.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)现实生活中,人们又是怎样测量底部不可到达的建筑物高度的呢?通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟窗高,在学生踊跃的状态下展开新课.或者先让学生说一说我们校园内水塔的高度测量问题,在学生纷纷寻求测量水塔高度的方法争论中自然地引入新课.思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗?如果身边带着测角仪,那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来,在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课.推进新课新知探究提出问题回忆正弦定理、余弦定理,并提出已知三角形的两边及一边的对角选用哪个定理?怎样将实际问题转化为解三角形问题的?如果底部可到达,如电线杆的高度应怎样测量?如果底部不能到达,如工厂的烟窗的高度应怎样测量呢?对解题中的近似值怎样处理才能减小误差呢?活动:教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容,学生很快回忆起来,若已知三角形的两边及其中一边的对角先用正弦定理较好.引导学生回忆数学建模的方法步骤:分析建模求解检验,鼓励学生多动手画图.特别是对想象能力较弱的学生,更应画出图形,在图形上标出已知的数据以加强直观感知. 对于底部可到达的物体的高度问题,如测量电线杆的高度,利用初中的知识即可解决.如图1,只要测出B及BC即可算出AC的高度.对底部不能到达的物体的高度怎样测量呢?图1 教师引导学生分组讨论,充分发挥学生的想象力.学生会提出许多的方案.教师可一一指导,选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点,比如有的学生会提出:既然底部不可到达则BC就不可测出,但作为解三角形至少需有一边,如此可否在原来的B点后退至B点,测量BB的距离.如图2,引导学生深入探究,效果将会很好.图2 在具体解题过程中,教师可针对解题中的近似值处理问题,适时地提醒学生注意:(1)应根据题中对精确度的要求,合理选择近似值.(2)为避免误差的积累,解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据,少用间接求出的量.讨论结果:略.应用示例例1 如图3所示，两点C、D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1、D1，利用高为1.5 m 的测角仪器测得烟囱的仰角分别是=45和=60,C、D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB(结果精确到0.01 m). 图3 图4解：在BC1D1中,BD1C1=180-60=120,C1BD1=60-45=15,由正弦定理,得,BC1=(18+6)(m),从而A1B=BC1=18+628.392(m),因此AB=A1B+AA128.392+1.5=29.89229.89(m).答：烟囱的高约为29.89 m. 点评:这样我就设计出一种测量底部不可到达的建筑物的高度的方法,利用测角仪器和长度测量工具即可完成,即要测量某一高度AB,只要在地面某一条直线上取两点D、C,量出CD的长a,并在C、D两点测出B的仰角、,则高度AB=+h,其中h为测角仪器的高.变式训练 如图5,B、C、D三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A点的仰角分别是、(),则A点离地面的高AB等于( )图5A. B. C. D.答案:C例2 如图6,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440,在塔底C处测得A处的俯角=501.已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).图6 活动:本题实际上是上例的变式训练. 教师引导学生观察图形,弄清俯角是什么意思.假若把该图以D为支点逆时针旋转90,如图7,让学生观察此图与例1图形的异同.教师要给学生留出一定的探究时间,让学生充分讨论思考,学生会发现,例1、例2两题图形的形状是一致的,这里易知ABC=90-,ACB=90+及BC=27.3 m,而求CD(如图7).学生只要探究到这步,以下的问题可完全由学生自己解决,教师只是点拨其解题步骤的书写及近似值的确定即可.图7解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理,所以AB=.解RtABD,得BD=ABsinBAD=.将测量数据代入上式,得BD=177(m),CD=BD-BC177-27.3150(m).答:山的高度约为150米.点评:本题学生也可能这样求解:先在ABC中求得AC,再在RtACD中直接求得CD,教师应鼓励学生这样思考很好,更直接.变式训练 有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延伸( )A.5 m B.10 m C.10 m D.10 m解析:如图8,在ABC中,由正弦定理,可知图8,x=10m.答案:C例3 如图9,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.图9 活动:教师引导学生充分理解题目背景,引导学生画出图形.首先理解什么是仰角,西偏北25是什么意思.本题的图形是一个立体几何图形,让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量.解:在ABC中,CAB=15,ACB=25-15=10,根据正弦定理,7.452 4(km),CD=BCtanDBCBCtan81 047(m).答:山的高度约为1 047米.点评:本例中三角形较多,要根据已知条件及所求的边长恰当选取我们需要的三角形.变式训练 如图10,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上选一基线AB,AB=20 m,在A点处测得P点的仰角OAP=30,在B点处测得P点的仰角OBP=45,又测得AOB=60,求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)图10活动:在看图时要注意结合实际旗杆OP垂直地面,所以AOP和BOP都是直角三角形.又这两个三角形中各已知一个锐角,那么其他各边均可用h的代数式表示.在AOB中,已知一边及其对角,另两边均为h的代数式,可利用余弦定理构造方程,解这个方程即求出旗杆高h.解:在RtAOP中,OAP=30,OP=h,OA=OPcot30=h.在RtBOP中,OBP=45,OB=OPcot45=h.在AOB中,AB=20,AOB=60,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60,即202=(3h)2+h2-2hh.解得h2=176.4,h13.答:旗杆高度约为13 m. 点评:(1)仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线之下时,称为俯角.(2)由余弦定理(正弦定理)构造方程,是解决此问题的关键方程思想是解决问题的一种常用思想方法.例4 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长度,如图11所示.已知车厢的最大仰角为60(指车厢AC与水平线夹角),油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m,AB与水平线之间的夹角为620,AC长为1.40 m.计算BC的长度(结果精确到0.01 m).图11 活动:本例是一道经典例题,教师引导学生先观察实物模型,通过阅读题意画出几何图形. 这个问题就是在ABC(如图12)中,已知AB=1.95 m,AC=1.40 m,BAC=60+62=6620,求BC的长.图12解:由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=1.952+1.402-21.951.40cos66203.571,所以BC1.89(m).答：顶杆BC约长1.89 m.点评：解三角形的知识在测量、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用.如果我们除去每个应用题中与生产生活所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要求我们提高分析问题和解决问题的能力,以及把实际问题转化为数学问题的能力.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结 先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可达到的建筑物高度的方法,是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的,你是否能根据题意准确地画出示意图?你没有画出的原因是什么呢? 在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候,教师可作进一步的归纳.解决实际问题的关键是建立数学模型,特别是画出示意图是准确迅速解这个数学问题的关键,也是本节要体现的技能,这在高考中体现得很突出,需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力.作业课本习题2-3 A组4.设计感想 本教案设计以情境教学、问题教学为主,教师引导和学生积极参与探究相结合,充分体现以学为主、逐步领悟的原则.日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用.通过合作学习和相互