化工问题的建模与数学分析方法 第二章习题及答案.doc

第二章习题1. 求以下微分方程的解 解： (1)（2）（3）2. 求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型式中，成核速率B，生长速率G，流量F均可考虑为常数，加入流体的粒数分布 为l的任意函数nin=nin(l)。 解： 求解以下方程：的解。分离变量得：积分得：（C为常数）设，将n的表达式代入原微分方程，得：则，C1为常数。代入n表达式得原微分方程解：l0时，则原方程解为：3. 电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述式中D，U，A，T0均为常数，但导热系数k为温度的线性函数，kT = k0 -aT，试求出上述方程的通解（建议：采用改进的p变换，可使求解更为简捷）。解：设,则有 原方程变为: , 其中为任意常数;将带入,变形得:积分得XT关系式为: 其中 为任意常数。4. 设反应物A，B在液膜中发生以下瞬时反应v为化学计量系数，该反应受扩散限制，试导出相应的W-变换并求出反应物A，B和产物P的浓度分布。解：此反应受扩散限制 （1） （2） (1)-(2)得（3）令（4）易由（3）可知由定义式（4）可得的边界条件为；其中为液膜厚度由以上边界条件可得（5）在处，此时（5）中，得将定义式（4）两边平方，利用瞬时反应，不能共存的条件知，于是有将上式两边开平方，得（6）根据（4），（6），可以将，用新变量表出，（7），（8）将（5）代入（7），（8）得，产物的浓度分布为5O2和CO2在生物组织中的传递过程对于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物组织中，溶解在液体（血液、组织液）中的O2通过渗透与扩散两种机制输送到组织内部供细胞呼吸，研究表明，在某一临界溶氧浓度c* 以上，单位体积的氧消耗速率为常数，设为q，因此，对于厚度为l的一片组织，代谢过程中氧的衡算方程为式中U为液体渗透流率，D为溶氧扩散系数。设该组织外部的溶氧浓度为常数，则边界条件可表示为试求出溶氧浓度沿组织厚度方向的分布，据此判断氧浓度在何处达到最小值？渗透速率U需满足什么条件才能保证在组织内部不会出现缺氧的情况（c(x) c*）？解：齐次方程的特征方程为解得所以齐次方程的通解为（1）利用比较系数法，求得非齐次方程的特解（2）所以，非齐次方程的通解为（3）边界条件为所以溶氧浓度沿组织厚度方向的分布为（4）对关于求一次，及二次导数式中令得所以，氧浓度在达到最小值为保证组织内部不会出现缺氧的情况，要求即需要满足6（）求以下变系数方程的级数解（a）（b）(c) （a）解：将幂级数（4.5）代入方程，逐项比较系数，令首项的系数为0，得到指标方程为指标方程的两个根为，属于第一种情况，可以将c代入递推公式确定各系数。令项的系数为0，得递推公式为首先将代入递推公式，有可得 则方程的第一解为 接着将代入递推公式，整理得则方程的第二解为最后得到方程的通解为（b）指标方程，重根c1=c2=0递推公式为,将递推公式表示成an对参数c的函数形式于是含有任意参数c的幂级数y(x,c)由下式给出当c=0时，上式给出方程的第一解第二解即对各项求导，并令c0得所以方程的通解为（c）将幂级数代入后比较系数得到指标方程 递推公式 指标方程的根为 两根相差一个整数m时，递推公式中am的系数将成为0而使之无法确定。首先确定由大根得到的级数，递推公式为然后将c10代入得到第一解为注：级数推导详见微积分下册第274页考虑以下含任意常数c的级数y(x,c)上述级数在c-2处有奇异性，第二解y2由下式给出方程的通解为 7. 环形法兰上的散热问题可用以下方程描述式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T0为环境温度。边界条件为 在内圆边界 r = r1处: T = T1在外圆边界 r = r2处: T = T2试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。 （提示：作变换，化为标准形式）解： 8.（）用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。（1）（2）（1）解：系数矩阵A的特征方程为解得A的特征值当时，特征向量方程为式中的两个方程线性相关，取x1为独立变量，令x11，得到相应的特征向量为类似的得到对应的特征向量为因此，微分方程的通解为（2）解：系数矩阵A的特征方程为解得A的特征值当时，特征向量方程为式中的方程线性相关，取x1为独立变量，令x11，得到相应的特征向量为,相应的复数形式的解为上述实部和虚部为方程的两个线性无关特解，因此方程组的通解为9.（）对于上题（1）中的系数矩阵,请用下述方法求矩阵函数expAt（1） 待定系数法（2） lagrange插值法（1） 解：将特征根代入方程，得到解得 矩阵函数为 （2） 将特征根代入方程（7.24）得 10. 如所示, 两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V1和V2的溶液, 初始时刻釜中溶质浓度分别为y10与y20 , 从t = 0开始, 两釜中的溶液以流量q通过管道泵送而相互交换, 管道体积可以忽略, 求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。 图6.1 两串联搅拌釜之间的质量交换qqV1y1V2y2.习题10：两互联搅拌釜的动态响应 解： 由条件得，对第一个釜：对第二个釜：以上方程组成如下方程组：设，有：其特征方程为：展开得：其特征值为：，为相异实根。与对应的特征向量方程为：取为独立变量，则。令，得特征向量：与对应的特征向量方程为：取为独立变量，则。令，得特征向量：综上，微分方程组的通解为：、为常数由初始条件，得：解得：代入得到原方程组的通解为：其中11设l = li为矩阵A的特征值，试根据特征向量方程(2.4.6)证明Sylvester定理(2.5.24) 。解:对于求齐次方程的通解,有式2.4.6: 定义 方程2.4.6欲有非零解,其充分必要条件是 可表示为: 由Cayley-Hamilton定理 有 ,其中mn; 则任何由矩阵级数定义的函数f(A)都可用不高于n-1次的A的多项式表示: 考虑其参数形式, 若欲确定其中的(i=0,1,n-1),常用的方法是用函数上的n个点上的值(i=1,2,n),lagrange插值法来得到, 因是n-1次的多项式,故可通过lagrange插值的方法来准确表达,即 其中 将参数代换为A上式同样成立,有 此式即为Sylvester定理. 12. 不同形状的催化剂颗粒上的反应-扩散问题可用以下方程描述式中s为颗粒的形状指数，s = 0为片形，s = 1为长圆柱形，s = 2为球形，D为内扩散系数，k为一级反应速率常数，hm为外表面传质系数，cb为流体相本体浓度。(a) 选择适当的特征尺度将问题无量纲化；(b) 分别求取s = 0，1，2时的粒内浓度分布；(c) 求催化剂有效系数与Thiele模数和Biot数之间的关系，并讨论这两个参数对h的影响趋势。 解： (1)取颗粒的半径为x的特征尺度。取cb为cA的特征尺度。可将问题无量纲化。选择R与cb分别为自变量x与因变量的特征尺度，作变换r=x/R, c=/cb代入方程和边界条件，整理得：(2)S=0 S=1将上式对c求导，再令c=0,得第二解：cA=A+B A,B均为任意常数。S=2(3)所以与成正比，与成反比。13. 对于可逆反应，反应的转化率由于受到化学平衡的限制而难以提高，采用反应分离耦合操作的方法就可以打破这一限制。设在一催化剂颗粒内部发生上述双组分可逆反应，同时也筛选出了某种吸附剂，使得A、B的吸附性能呈现较大差别，这样，我们就可以将催化剂与吸附剂掺混，然后采用逆流移动床来实现反应分离耦合操作。 设吸附等温线为线性，反应关于固相浓度为一级，忽略颗粒内外的传质阻力和床层返混，则逆流移动床数学模型由以下方程描述式中，c 和n分别表示流体和固体相的浓度，u, us 分别为流体和固体的运动速度，求1） 解上述方程，给出浓度A、B的沿塔分布。2）如果令，则二者分别表示床层任一截面上组分A、B的净流率。研究表明，只有当qA和qB的方向相反时，才能实现A、B的分离，此时边界上的间断条件表述为塔底（z = 0）：塔顶（z =l）： 式中上标“”与“”分别表示塔顶和塔底边界外部的值，根据上述条件确定流体相和固体相的出口浓度。3）如果取以下参数计算相关的浓度分布并作图考察各参数变化的影响。解： 1)原方程组可化为如下形式：其特征方程为：展开得：其特征值为：，为相异实根。与对应的特征向量方程为：取为独立变量，得。令，得到特征向量：与对应的特征向量方程为：取为独立变量，得。令，得到特征向量：综上，微分方程组的通解为： 、为常数即：且时，知：解得：则得到原方程组的解：时，知：解得：则得到原方程组的解：即A、B的沿塔分布。2)时，因，否则静流率为0，则由条件得：时，同上原因，由条件得：3)由条件得：则代入原浓度分布为：14（）发生在催化剂颗粒上的放热反应总是与传热相互耦合，从而导致多重稳态的产生和相关的稳定性问题，CO在铂催化剂表面的氧化反应曾被作为一个典型的体系而得到广泛的研究。现考虑CO在铂金属丝表面的氧化，相应的质量与热量衡算方程可表示为试从上述方程出发，在稳态解附近作线性近似，导出相关的稳定性判据。解：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为（AS,TS）,考虑系统的小扰动并令代入原方程，即得扰动（x，y）满足的瞬态方程将k展为泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程相应的特征方程为特征根实部的正负由参数决定，分为以下情况：（1） 当tr0时，两特征根的实部为负值，系统是渐进稳定的；（2） 当tr0,或者D0时，两特征根为相异的虚根，x与y将围绕稳态进行振荡，系统是稳定的但不是渐进稳定的。系统渐进稳定的物理变量判据为第二种解法：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为（AS,TS）,考虑系统的小扰动原方程化为将k展成泰勒级数，并忽略二阶以上项方程化为略去方程的高阶项再按稳定性的常规方法判断。15 考虑催化剂颗粒的内扩散阻力时，一般情况下颗粒热稳定性问题的分析将变得十分复杂，但是，若对内扩散过程采用拟稳态假定，则问题就可以大大简化。试从第一章给出的催化剂颗粒简化模型(1.5.15）、(1.5.16）出发，对热量衡算方程采用稳态附近的线性近似，然后针对薄片型催化剂颗粒（s0）导出相关的失稳条件（斜率条件）。解：当时，有：特征方程：得：则方程的解为：代入热量衡算方程为：对系统：设系统的稳态解为，考虑小扰动代入以上方程得到扰动满足的瞬态方程：将展成泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程：其特征方程为以下代数方程的解：其中当时系统渐近稳定，得到相应的斜率条件：16. 在釜式反应器的热稳定性问题中，如果采用控制装置来对移热过程进行自动调节，就有可能把一个本来不稳定的反应器状态变成稳定状态。设控制装置对反应器增加了一个正比于温度偏差的移热速率，使得总的移热速率成为试给出相应条件下釜式反应器的热稳定性判据并结合图2.6分析在何种情况下系统只存在唯一且稳定的稳态解。解：反应器的质量与热量衡算方程：设系统的稳定解为，考虑系统的小扰动：代入衡算方程，