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广东北江中学高二数学补充讲义教师版直线方程的求法要点1倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。典型范例题1.: 直线在X轴、Y轴上的截距之比是2:3,且过点,求直线的方程.解: 直线在X轴、Y轴上的截距分别是,则直线的方程可设为 又直线过点,故故直线的方程为即题2. 过点P（2，1）作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求的值最小时直线的方程。 解析：依题意作图，设BAO， 则， ， 当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135， 斜率。故直线的方程为，即。题3.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.解法一：设所求直线l的方程为y=kx+b.k6，方程为y=6x+b.令x=0，y=b，与y轴的交点为（0，b）；令y=0，x=，与x轴的交点为（，0）.根据勾股定理得（）2b237，b6.因此直线l的方程为y=6x6解法二：设所求直线为+=1，则与x轴、y轴的交点分别为（a，0）、（0，b）.由勾股定理知a2b237.又k=6，解此方程组可得a2b237，=6.或a1， a1，b6 b6.因此所求直线l的方程为x+=1或x+=1，即6xy60题4. 已知两点A（1，2）、B（m，3）.（1）求直线AB的斜率k与倾斜角；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围解：（1）当m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角当m1时，k，当m1时，arctan，当m1时，arctan（2）当m=1时，AB：x=1，当m1时，AB：y2=（x+1）（3）1当m=1时，；2当m1时，k（，），）（，.故综合1、2得，直线AB的倾斜角，.题5. 光线从点A（-3，4）射出，经x轴上的点B反射后交y轴于C点，再经C点从y轴上反射恰好经过点D（-1，6），求直线AB，BC，CD的方程解：作点A关于x轴的对称点A1（-3，-4），D点关于y轴的对称点D1(1，6)， 直线A1D1（即直线BC）的方程为5x-2y+7=0, 令y=0，得x= -，即B(-,0), 同理可求得C（0，），于是可求得直线AB的方程为5x+2y+7=0, 直线CD的方程为5x+2y-7=0.直线方程作业班次 姓名 题6.选择题1. 直线必过定点，该定点的坐标为（ B ）A（3，2） B（2，3） C（2，3） D（2，3）2. 已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( A )A.k或k4 B.4kC. k4 D.k43与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为的直线的方程为 .答案:题7已知三角形的顶点，中点为，当的斜率为1时，求的值.解：点坐标为，题8. 一束光线从点射到点后被X轴反射,求入射线和反射线所在的直线方程解:直线PQ的两点式方程为即入射线的方程为:故入射线的斜率为1,入射角为故反射角为,反射线的斜率为1,又反射线过点所以反射线所在的直线方程为,即.题9.某房地产公司要在荒地ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m2）解：如下图，在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则AB的方程为+=1.设P（x，20x），则长方形面积S=（100x）80（20x） （0x30）.化简得S=x2+x+6000（0x30）.配方，易得x=5，y=时，S最大，其最大值为6017 m2.教师版两直线的位置关系一、知识梳理1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则（1）直线l1l2的充要条件是k1=k2且b1b2.（2）直线l1l2的充要条件是k1k2=1.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1l2.2.相交（1）两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.到角：直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2，则有1（0，），2（0，），且1+2=.当k1k21时，有公式tan1=.当k1k2=1时，l1l2，1=2=.夹角：l1到l2的角1和l2到l1的角2中不大于90的角叫l1和l2的夹角.设为，则有（0，当时，有公式tan=|.二.例题分析题1求过点且与直线平行的直线方程解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 根据点斜式，得到所求直线的方程是 即 解二：设与直线平行的直线的方程为， 经过点， ，解之得 所求直线方程为注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线中系数、确定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为，其中待定（直线系）题2 求与直线平行，且在两坐标轴上载距之和为的直线的方程。解法一：由于直线与已知直线平行，故设直线的方程为，则交轴于点，交轴于点由题意得：，所以所以所求直线方程为解法二：高直线的方程为由题意可得解得所以直线方程为所求直线方程为题3. 求直线关于点对称的直线方程。解：在直线任取一点，则点关于点对称的点为因为所求直线过点且与直线平行，所以所求直线方程为即题4. 下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合分析 根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解 （1）三条直线交于一点时：4xy40由解得l1和l2的交点A的坐标（， ），由A在mxy0l3上可得23m=4，解之m或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4时，l1l2；当m时，l1l3；若l2l3，则需有，m2不可能综合（1）、（2）可知，m1，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是1，4 题5.求过点，且与直线垂直的直线的方程。解：已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，的斜率为，所以，所求直线的方程为，即另解：设与直线垂直的直线方程为，直线经过点，所以，所求直线的方程为题6. 求点P关于直线对称的点的坐标。解：设所求点的坐标为，则直线 ，线段的中点在上所以解得所以点P关于直线对称的点的坐标是题7. 直线y=2x是ABC中C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断ABC的形状.解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A在BC所在直线上，设A点坐标为（x1，y1），则x1、y1满足=，即x1=2y1. =2，即2x1y110=0. 解两式组成的方程组，得x1=4，y1=2.BC所在直线方程为=，即3x+y10=0.得解方程组 3x+y10=0， x=2，y=2x， y=4.所求C点坐标为（2，4）.由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，ABC为直角三角形.题8. 已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小.解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）.据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0.得交点P（，）.令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）.解方程组x+2y7=0，x2y+2=0，故点P（，）、Q（0，）即为所求.题9.求过点P（5，2），且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程.解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45=|，得k=0，所求l的直线方程为y=2.（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线xy+5=0相交成45角.综合（1）（2），直线l的方程为x=5或y=2.题10.等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x2y2=0，底边所在直线l2的方程是x+y1=0，点（2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是1，l2到l3的角是2，则k1=，k2=1，tan1=3.l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，1=2，tan1=tan2=3，即=3，=3，解得k3=2.又直线l3经过点（2，0），直线l3的方程为y=2（x+2），即2xy+4=0.题11. 在三角形ABC中，BC边上的高所在直线方程是，的内角平分线所在直线方程是，若点B的坐标是，求顶点A、C的坐标。解： 又，AC方程为 又， 两直线位置关系的作业作业班次 姓名 题12.选择题1若直线 平行，那么系数a等于()ABCD答案：B2下列各组直线中，两条直线互相平行的是（ ）与 与与 与答案：A3直线的位置关系是 （ ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定答案：C4.以（，），（，）为端点的线段的垂直平分线方程是（）3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0答案：B5直线Ax+By+C=0与直线x+3y-5=0垂直，则系数A，B，C之间的关系一定是 A3A+B=0 BA+3B=0 C3A=B+C D3B=A+C答案：B题13已知直线l1：(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l2：2x+4(m-3)y-1=0，如果l1l2，求m的值l2时，m=3故m=-4和m=3为所求说明：本题不要忽略第二种情况题14已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为解：设直线的方程为，令，得，令，得，由题意：，即，所以，所求直线的方程为题15已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（1，4）关于直线y+1=0的对称点为A（x1，y1），则x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A（x2，y2），则有（1）=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y3=0为边BC所在直线的方程.题16.求函数的最小值。解：可看作点到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点 题17. .光线从A（3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（1，6），求BC所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为（a，0），由入射角等于反射角得1=2，3=4，kAB=kBC.又kAB=（a3），kBC=.BC的方程为y0=（xa），即4x（3+a）y4a=0.令x=0，解得C点坐标为（0，），则kDC=.3=4，=.=.解得a=，代入BC方程得5x2y+7=0.解法二：点A关于x轴的对称点为A（3，4），点D关于y轴的对称点为D（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A、D都在直线BC上，BC的方程为5x2y+7=0.教师版两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离一. 知识梳理的解一一对应.（1）交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.(2).点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=.两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=二.典型范例题1: 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1:x+3y-4=0,l2:5x+2y+6=0.解：解方程组,所以l1与l2的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即x-4y+10=0.说明:此题也可设所求直线方程为x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R），点(2，3)在直线上.2334（5223）0，.所求直线方程为x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0.即x-4y+10=0.题2. 求与直线l：5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x-12y+c=0.在直线5x-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5x-12y+c=0的距离为d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.所以所求直线的方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离.题3. 求函数y=+的最小值.解：因为y=+，所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A （0，3），则|PA|+|PB|的最小值等于|AB|，即=4.所以ymin=4.题4.已知ABC的三边方程是AB：5xy12=0，BC：x3y4=0，CA：x5y12=0，求（1）A的平分线所在的直线方程；（2）BC边上的高所在的直线的方程 解（1）由角A平分线AD上任意一点到AC、AB的距离相等得： ，化简得：x+y6=0或y=x，由画图可知结果应为： y = x (2)由，BC边上的高AH所在的直线斜率k=3,BC边上的高AH所在的直线方程是: 3xy6=0题5. 已知点P（2，1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.由已知，得=2，解之得k=.此时l的方程为3x4y10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x4y10=0.（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP =1，所以kl =2.由直线方程的点斜式得y+1=2（x2），即2xy5=0，即直线2xy5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线. 题6.已知直线是ABC的一条内角平分线,点A(1,2),B(1,1),求ABC的面积.解：显然，A、B不在l上l是C的平分线，如右图设，则由可知：即C到AB的距离题7. 已知过点A（1，1）且斜率为m（m0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值.解：设l的方程为y1=m（x1），则P（1+，0），Q（0，1+m）.从而可得直线PR和QS的方程分别为x2y=0和x2y+2（m+1）=0.又PRQS，RS=.又PR=，QS=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ=+=（m+）2（2+）2=3.6.四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.距离作业班次 姓名 题8.选择题1. 点到直线的距离为()ABCD答案B2. 三直线相交于一点，则a的值是()ABC0D1答案B3已知的一个顶点为，被轴平分，被直线平分，则直线的方程是 （ ）ABCD 答案C题9.已知ABC的两条高线所在直线的方程为2x3y+1=0和x+y=0，顶点A（1，2），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）ABC的面积.解：（1）A点不在两条高线上，从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y7=0，xy+1=0.C（2，1）、B（7，7）.边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.（2）BC，点A到边BC的高为h，从而ABC的面积是3题10.求函数的最