直线、圆、圆锥曲线.doc

直线、圆、圆锥曲线（一）直线1、直线倾斜角的范围。练习（1）直线的倾斜角的范围是_ _；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是_ 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： 。练习(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件；（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。练习（1）经过点（2，1）且方向向量为=(1,)的直线的点斜式方程是_；（2）直线，不管怎样变化恒过点_；（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_（提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（练习点斜式不适用于斜率不存在的直线，）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.,直线两截距相等不要忘了直线过原点；练习 过点，且纵横截距的相等的直线共有_条。 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（3）与直线平行的直线可表示为；（4）与直线垂直的直线可表示为.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为。6、直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。（4）直线与直线垂直。练习（1）已知直线的方程为，则与平行，且过点（1，3）的直线方程是_；（2）设分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线与的位置关系是_；（3）直线过点（，），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是_ 7、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：练习（1）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是_；（2）点（，）关于直线的对称点为(2,7)，则的方程是_；（二）圆1、圆的方程：圆的标准方程：。圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且）；练习（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为_；（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_；（3）练习果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_；（4）若，且，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于（ ）A. B. C. D.不确定 2、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内；（3）点M在圆C上。练习点P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1的内部,则a的取值范围是_3、直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。练习圆与直线，的位置关系为4、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。练习双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 5、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，练习何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；练习设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为_； （2）弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；6.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(练习半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!练习1.练习果直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是A B C1 D2 2.在圆有n条弦长的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为数列的第n项an，若公差，则n的取值的集合为A4，5，6B6，7，8，9C3，4，5D3，4，5，6（三）、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。练习(1)已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D （2）方程表示的曲线是_抛物线的定义：平面上到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹。特别要注意解题时要尽量多的考虑使用定义。练习已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_ _2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）；焦点在轴上时1（）。练习（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。练习（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。练习已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ _（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆； 练习若椭圆的离心率，则的值是_ _（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，两条渐近线：。练习（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_ （2）双曲线的离心率为，则=（3）设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_ （3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 练习设，则抛物线的焦点坐标为_5直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。练习（1）直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（2）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条。（2）相切： （3）相离：特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。练习果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；练习果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。练习（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（3）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_（4）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。练习（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当0时，点P的横坐标的取值范围是 (4)在RtABC中,AB=AC=1,练习果一个椭圆通过A,B两点，它的一个焦点为C点，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为 9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。练习（1）练习果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！11你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。练习与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，抛物线的通径为。 （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为AB，则；12动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；练习已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程；（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；练习(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程是_ (3) 一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为；相关点法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；练习动点P是抛物线上任一点，定点为,点M在线段PA上且PM=2MA，则M的轨迹方程为_；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(练习角平分线的双重身份对称性).14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量，一般地转化为斜率；（2）求角可以转化为向量的夹角，练习求异面直线所成的角，二面角等。练习：已知,动点在的边界及其内部区域上运动，又,求最大值。（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6），一般地转化为三点共线或坐标运算（7） 给出,等于