向量数组矩阵行列式.ppt

向量及向量运算 数域F中的n个数a1 a2 an构成的有序数组 称为数域F上的一个n元向量 n维向量 记做 a a1 a2 an 其中ai称作a的第i个分量 数域F上全体n元向量组成的集合记做Fn向量加法 a b a1 b1 a2 b2 an bn 数乘 ka ka1 ka2 kan a b b a a b c a b c a 0n a a a 0n 1a a k la kl a k a b ka kb k l a ka la 0a 0n k0n 0n ka 0n 则k 0 或a 0n a x b 则x b a有唯一解 线性相关与线性无关 如果对m个向量 1 2 m Fn 有m个不全为零的数k1 k2 kn F 使k1 1 k2 2 km m 0n成立 则称 1 2 m线性相关 否则称线性无关向量组 1 2 m m 2 线性相关的充要条件是 1 2 m中至少有一个向量可以用其余m 1个向量线性表示 向量组的秩和极大线性无关组 如果向量组 1 2 s中存在r个线性无关的向量 且其中任一个向量可由这r个线性无关的向量线性表示 则数r称为向量组的秩 记做r 1 2 s 等价于 若向量组存在r个线性无关的向量 且任何r 1个向量都线性相关 就称r为向量组的秩秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组 称为该向量组的极大线性无关组 数组 数组是指由一组实数或复数排成的长方形阵列 array 可以是一维的行或列 也可以是二维的 矩形 还可以是三维的 若干同维矩阵的堆叠 甚至更高的维数 数组运算是指 无论在数组上施加什么运算 或函数 总认定该种运算对被运算数组中的每个元素 element 平等地实施同样地操作 矩阵的定义 定义1 数域F中m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成m行n列 并括以圆括弧 或方括弧 的数表称为数域F上的m n矩阵 通常用大写字母记做A或Am n 有时也记做A aij m n 定义2 矩阵就是由线性方程组的系数所构成的数表 方程组的系数及常数所构成的数表称为增广矩阵 矩阵的定义 元素全为0的矩阵成为零矩阵 m n时称n阶方阵 若两个矩阵A B的行列数相等 且各对应元素也相等 称A B当线性方程组的常数项为0时 称齐次线性方程组 否则称非齐次线性方程组 方程组中含有矛盾方程而无解时 称为不相容方程组 有解的方程组称为相容方程组 如果满足其他方程的解都满足某一方程 则该方程称为多余方程 矩阵与行列式的区别 行列式是一个算式 经过计算可以求值 矩阵为数表 有时也算n阶方阵的行列式 记做 A 或detA 方阵A和方阵A的行列式概念不同 当detA 0时 此时A不一定为零矩阵 称A为奇异矩阵 当detA 0时 称A为非奇异矩阵 行列式 行列式的概念是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的 由n2个数aij i j 1 2 n 组成的n阶行列式D 是一个算式 当n 1时 D a11 当n 2时 定义D a11A11 a12A12 a1nA1n其中A1j 1 1 jM1j称为a1j的代数余子式 简记作 行列式的性质 行列式的行与列按原顺序互换 其值不变 行列式对任一行按下式展开 其值不变 i 1 2 n 其中Aij 1 i jMij称为aij的代数余子式 行列式的性质 线性性质 1 2 某行元素全为零的行列式其值为零 行列式的性质 行列式中两行对应元素成比例 其值为零 行列式两行对换 其值反号行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j 线性非齐次方程组的系数行列式不为零 则方程组有维一解 xj Dj D 其中 Dj为用常数项替换D中第j列系数所成的行列式 线性齐次方程组有非零解的必要条件是其系数行列式为零 特殊矩阵 主对角元全为1 其余元素为0的n阶矩阵 称为n阶单位矩阵 单位阵 记为In或I或E 主对角元全为非零数k 其余全为0的n阶矩阵 称为n阶数量矩阵 记为kIn或kI或kE 非主对角元皆为0的n阶矩阵称为n阶对角矩阵 简称对角阵 记做 n阶方阵A aij n n 当i j时aij 0 j 1 2 n 1 的矩阵称为上三角阵 当i j时aij 0 j 2 3 n 的矩阵称为下三角阵 特殊矩阵 n阶方阵 如果aij aji i j 1 2 n 称A为对称矩阵 A为对称矩阵的充要条件是 AT A 如果aij aji i j 1 2 n 称A为反对称矩阵 A为反对称矩阵的充要条件是 AT A对于矩阵A 如果存在矩阵B 使得AB BA I 就称A为可逆矩阵 简称A可逆 并称B是A的逆矩阵 记做A 1 B 逆矩阵是唯一的 单位阵I的逆矩阵是其自身 特殊矩阵 n阶方阵A aji n n 设Ai j是行列式detA中的元素aji的代数余子式 称cofA Aji n n为A的代数余子式矩阵 并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵 记做adjA或A 即 矩阵A可逆的充要条件是 A 0 且A 1 1 A A 若n阶矩阵A B满足AB I 则BA I 即A B均可逆 且A B互为逆矩阵 矩阵的秩 把矩阵A的每一行 列 称为A的一个行 列 向量 把A的行 列 向量组秩称为A的行 列 秩 矩阵A的行秩与列秩相等 称该数值为矩阵的秩 记做 秩 A 或r A r A n的n阶矩阵也称满秩矩阵 n阶矩阵是满秩矩阵的充要条件是A为非奇异矩阵 即 A 0 矩阵的初等变换与初等矩阵 矩阵的如下3种行列变换称为初等变换 倍乘变换 以非零的常数c乘矩阵的某一行 列 倍加变换 将矩阵的某一行 列 乘以常数c并加到另一行 列 对换变换 将矩阵的某两行对换位置 将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称初等矩阵 对应以上3种初等变换得到 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵 初等对换矩阵可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换 当A变为单位阵时 I就变为A 1 矩阵的运算性质 矩阵加法 A B aij bij 满足A B B A A B C A B C 存在矩阵 A 满足A A 0 称 A 为A的负矩阵 且 A aij m n 即A中每个元素都乘 1 减法 A B A B 数乘 数k乘矩阵A 需要把k乘矩阵的每一个元素 这与行列式完全不同 矩阵的运算性质 矩阵乘法 设A是m n矩阵 B是一个n s矩阵 则A与B的乘积AB 记做C cij 是一个m s矩阵 且满足 cij ai1b1j ai2b2j ainbnj 矩阵A与B可乘要求A的列数与B的行数相等 AB C A BC k AB kA B A kB A B C AB AC B C A BA CA矩阵乘法不满足交换率和消去率 1 AB BA 2 AB 0不能推出A 0或B 0 即A 0B 0可能AB 0 此时称B是A的右零因子 A是B的左零因子 一般地 如果A有非零的零因子 则其零因子不是唯一的 3 若AB AC 不能推出B C 只有当A为非奇异矩阵时 AB 0时有B 0 AB AC时有B C 矩阵的运算性质 设A B是两个n阶矩阵 则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积 即 AB A B 把一个m n矩阵的行列互换得到的一个n m矩阵 称为A的转置矩阵 记做 AT或A AT T A A B T AT BT kAT kAT AB T BTAT A 1 1 A kA 1 k 1A 1 AB 1 B 1A 1 AT 1 A 1 T det A 1 I detA 即 A 1 A 1 矩阵的特征值和特征向量 定义 设A为复数域C上的n阶矩阵 如果存在数 C和非零的n维向量x 使得 Ax x就称 是矩阵A的特征值 x是A的对应于特征值 的特征向量 注意 特征向量x 0 特征值问题是对方阵而言的 n阶方阵A的特征值 就是使齐次线性方程组 I A x 0有非零的 值 即满足det I A 0的 都是A的特征值 因此 特征值是 的多项式det I A 的根 矩阵的特征多项式和特征矩阵 设n阶矩阵A aij 则f det I A 称为矩阵A的特征多项式 I A称为A的特征矩阵 n阶矩阵A的特征多项式是 的n次多项式 特征多项式的k重根也称k重特征值 当n 5时 特征多项式没有一般的求根公式 即使是三阶矩阵的特征多项式 一般也很难求根 所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法 特征值和特征向量性质 矩阵的迹 若x1和x2都是A的属于特征值 0的特征向量 则k1x1 k2x2也是A的属于 0的特征向量 其中k1 k2是任意常数 但k1x1 k2x2 0 设n阶矩阵A a