第四章工程材料课后习题.pdf

1 第四章 扭 转 第四章 扭 转 题号题号 页码页码 4 4 1 4 5 2 4 7 2 4 8 3 4 9 4 4 11 6 4 13 7 4 14 9 4 19 9 4 20 10 4 21 11 4 22 12 4 23 14 4 24 16 4 26 17 4 27 18 4 28 20 4 29 21 4 33 22 4 34 22 4 35 24 4 36 25 也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解 也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解 4 4 图示圆截面轴 图示圆截面轴 AB 与与 BC 段的直径分别为段的直径分别为 d1与与 d2 且 且 d1 4d2 3 试求轴内的 最大扭转切应力 试求轴内的 最大扭转切应力 题题 4 4 图图 解 由题图可知 解 由题图可知 AB段和段和BC段的扭矩分别为 段的扭矩分别为 MTMT 21 2 AB段内的最大扭转切应力为 段内的最大扭转切应力为 2 3 2 3 2 3 3 1 1 max1 5 13 4 3 2 16 16 d M d M d T BC段内的最大扭转切应力为 段内的最大扭转切应力为 3 2 3 2 2 2max 16 16 d M d T 结论 轴内的最大扭转切应力为 结论 轴内的最大扭转切应力为 16 3 2max dM 4 5 一受扭薄壁圆管 外径一受扭薄壁圆管 外径 D 42mm 内径 内径 d 40mm 扭力矩 扭力矩 M 500N m 切 变模量 切 变模量 G 75GPa 试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力 并计算管表面纵线的倾斜角 试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力 并计算管表面纵线的倾斜角 解 该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 解 该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 mm1 22 mm5 20 22 2 1 0 dDdD R 于是 该圆管横截面上的扭转切应力为 于是 该圆管横截面上的扭转切应力为 189 4MPaPa10894 1 m001 00 02052 N500 2 8 222 0 R T 依据切应力互等定理 纵截面上的扭转切应力为 依据切应力互等定理 纵截面上的扭转切应力为 MPa4 189 该圆管表面纵线的倾斜角为 该圆管表面纵线的倾斜角为 rad102 53rad 1075 10 4 189 3 9 6 G 4 7 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式 即式 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式 即式 4 7 并证明当 并证明当 R 0 10 时 该 公式的最大误差不超过 时 该 公式的最大误差不超过 4 53 解 我们设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为解 我们设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为 0 R和和 微剪力 微剪力A d对截面圆心 矩心 的微力矩为 对截面圆心 矩心 的微力矩为AR d 0 由构成关系知 该截面的扭矩为 由构成关系知 该截面的扭矩为 ART A d 0 a 由于中心对称 a 由于中心对称 沿圆周方向大小不变 又由于管壁很薄 沿圆周方向大小不变 又由于管壁很薄 沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的 这样一来 式 a 可以写成 沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的 这样一来 式 a 可以写成 ART 0 b 对于薄壁圆管 其横截面面积可表示为 b 对于薄壁圆管 其横截面面积可表示为 RA 0 2 c 将式 c 代入式 b 得薄壁圆管的扭转切应力公式为 c 将式 c 代入式 b 得薄壁圆管的扭转切应力公式为 3 R T 2 0 2 4 7 设 4 7 设 R 0 按照公式 4 7 计算的扭转切应力为 按照公式 4 7 计算的扭转切应力为 322 0 2 2 T R T d 按照一般空心圆轴考虑 轴的内 外直径依次为 d 按照一般空心圆轴考虑 轴的内 外直径依次为 RD Rd 00 22 横截面的极惯性矩为 横截面的极惯性矩为 4 2 2 2 32 32 22 0 0 4 0 4 0 44 p R R R RdDI 由此可得 由此可得 14 12 2 4 2 23 0 22 00 0 p max T R RR T R I T e 将式 d 与式 e 作比较 即 e 将式 d 与式 e 作比较 即 12 2 14 12 14 2 223 32 max T T 当 当10 0 R 时 时 9548 0 1102 102 1104 2 max 可见 当 可见 当10 0 R时 按公式 4 7 计算时 按公式 4 7 计算 的最大误差不超过 4 53 的最大误差不超过 4 53 4 8 图图 a 所示受扭圆截面轴 材料的所示受扭圆截面轴 材料的 曲线如图曲线如图 b 所示 并可用所示 并可用 m C 1 表示 式中的 表示 式中的 C 与与 m 为由试验测定的已知常数 试建立扭转切应力公式 并画横截面上的切应力分 布图 为由试验测定的已知常数 试建立扭转切应力公式 并画横截面上的切应力分 布图 题题 4 8 图图 解 这里是圆截面轴 平面假设仍然成立 据此 从几何方面可以得到 见书中 4 2 节 解 这里是圆截面轴 平面假设仍然成立 据此 从几何方面可以得到 见书中 4 2 节 4 xd d a 根据题设 轴横截面上距圆心为 a 根据题设 轴横截面上距圆心为 处的切应力为 处的切应力为 m x C 1 d d b 由静力学可知 构成关系 b 由静力学可知 构成关系 A mmm A TA x CAd d d d 1 1 c 可取径向宽度为 c 可取径向宽度为 d的环形微面积作为的环形微面积作为Ad 即 即 Ad 2d d 将式 d 代入式 c 可得 d 将式 d 代入式 c 可得 2 0 12 1 d d d 2 d mmm T x C 由此得 由此得 mm m d C T x 13 1 2 m 2 1m3 d d e 将式 e 代入式 b 并注意到 e 将式 e 代入式 b 并注意到T M 最后得到扭转切应力公式为 最后得到扭转切应力公式为 mm m d m m M 1 3 1 2 13 2 横截面上的切应力分布图 以某一半径上的分布为例 示如图 4 8 横截面上的切应力分布图 以某一半径上的分布为例 示如图 4 8 4 9 在图在图 a 所示受扭圆截面轴内 用横截面所示受扭圆截面轴内 用横截面 ABC 和和 DEF 与径向纵截面与径向纵截面 ADFC 切出 单元体 切出 单元体 ABCDEF 图 图 b 试绘各截面上的应力分布图 并说明该单元体是如何平衡的 试绘各截面上的应力分布图 并说明该单元体是如何平衡的 题题 4 9 图图 5 解 单元体解 单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图 4 9 a 所示 各截面上的应力分布图如图 4 9 a 所示 根据图 a 不难算出截面 根据图 a 不难算出截面DAOO1上分布内力的合力为 上分布内力的合力为 2 max 4 2 2 1 1 d Tl l d Fx 同理 得截面 同理 得截面 1 OCFO上分布内力的合力为 上分布内力的合力为 2 4 2 d Tl Fx 方向示如图 c 设 方向示如图 c 设 21 xx FF 作用线到作用线到x轴线的距离为轴线的距离为 1 z e 容易求出 容易求出 323 2 1 dd ez 根据图 b 可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 根据图 b 可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 d T I T F d z 3 8 dd 2 cos 0 2 0 p 2 同理 左端面上的合力为 同理 左端面上的合力为 d T Fz 3 8 1 方向亦示如图 c 设 方向亦示如图 c 设 2 z F作用线到水平直径作用线到水平直径DF的距离为的距离为 y e 见图 b 由 见图 b 由 0 2 0 32 p 4 d d 2 cos 2 T I T eF d yz 得 得 d d T dT ey295 0 32 3 8 3 4 同理 同理 1 z F作用线到水平直径作用线到水平直径AC的距离也同此值 的距离也同此值 6 根据图 b 还可算出半个右端面根据图 b 还可算出半个右端面EDO1上竖向分布内力的合力为 上竖向分布内力的合力为 2 0 2 0 p 3 4 dd 2 sin 3 d T I T F d y 设 设 3 y F 作用线到竖向半径作用线到竖向半径EO1的距离为的距离为 2 z e 见图 b 由 见图 b 由 2 0 2 0 32 p 8 ddcos 23 d zy T I T eF 得 得 d d T dT ez295 0 32 3 4 3 8 2 同理 可算出另半个右端面 同理 可算出另半个右端面FEO1以及左端面以及左端面OCBAOB 上的竖向分布内力的合力为 上的竖向分布内力的合力为 d T FFF yyy 3 4 214 方向均示如图 c 它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为 方向均示如图 c 它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为 2 z e 由图 c 可以看得很清楚 该单元体在四对力的作用下处于平衡状态 这四对力构成四个 力偶 显然 这是一个空间力偶系的平衡问题 由图 c 可以看得很清楚 该单元体在四对力的作用下处于平衡状态 这四对力构成四个 力偶 显然 这是一个空间力偶系的平衡问题 0 22 2e 2 0 121224 z TT eFFeFeFM yzyyzzyx 0 3 8 3 8 2 0 112 d Tl d Tl eFlFM zxzy 0 3 4 3 4 0 34 d Tl d Tl lFlFM yyz 既然是力偶系 力的平衡方程 共三个 自然满足 这是不言而喻的 上述讨论中 所有的 既然是力偶系 力的平衡方程 共三个 自然满足 这是不言而喻的 上述讨论中 所有的T在数值上均等于在数值上均等于M 4 11 如图所示 圆轴如图所示 圆轴 AB 与套管与套管 CD 用刚性突缘用刚性突缘 E 焊接成一体 并在截面焊接成一体 并在截面 A 承受扭 力矩 承受扭 力矩 M 作用 圆轴的直径作用 圆轴的直径 d 56mm 许用切应力 许用切应力 1 80MPa 套管的外径 套管的外径 D 80mm 壁 厚 壁 厚 6mm 许用切应力 许用切应力 2 40MPa 试求扭力矩 试求扭力矩 M 的许用值 的许用值 7 题题 4 11 图图 解 由题图知 圆轴与套管的扭矩均等于解 由题图知 圆轴与套管的扭矩均等于M 1 由圆轴 1 由圆轴AB求求M的许用值的许用值 1 M 16 1 3 1 p1 1 max1 d M W M 由此得 由此得 m2 76kNmN102 76mN 16 1080056 0 16 3 63 1 3 1 d M 2 由套管 2 由套管CD求求M的许用值的许用值 2 M 106mm37mmmm 2 680 2 00 R D R 此管不是薄壁圆管 此管不是薄壁圆管 85 0 80 68 80 2680 1 16 2 43 2 p2 2 max2 D M W M 由此得 由此得 mN 16 1040 0 85 1080 0 16 1 643 2 43 2 D M m1 922kNmN10922 1 3 结论 扭力矩的许用值为 结论 扭力矩的许用值为m1 922kN M 4 13 图示阶梯形轴 由图示阶梯形轴 由 AB 与与 BC 两段等截面圆轴组成 并承受集度为两段等截面圆轴组成 并承受集度为 m 的均匀分 布的扭力矩作用 为使轴的重量最轻 试确定 的均匀分 布的扭力矩作用 为使轴的重量最轻 试确定 AB 与与 BC 段的长度段的长度 l1与与 l2以及直径以及直径 d1与与 d2 8 已知轴总长为已知轴总长为 l 许用切应力为 许用切应力为 题题 4 13 图图 解 1 求解 1 求 1 d 在截面 在截面A处有最大扭矩 其值为 处有最大扭矩 其值为 mlT max1 由该截面的扭转强度条件 由该截面的扭转强度条件 16 3 1p1 max1 max1 d ml W T 得 得 3 1 16 ml d a 2 求 a 2 求 22 ld BC段上的最大扭矩在截面段上的最大扭矩在截面B处 其值为 处 其值为 2max2 mlT 由截面 由截面B的扭转强度条件可得 的扭转强度条件可得 3 2 2 m16 l d 3 求 3 求 2 lV 该轴的总体积为 该轴的总体积为 2 2 22 2 1 4 4 ldlldV 16 16 4 2 3 2 2 2 3 2 l ml ll ml 4 求 4 求 2 l 根据极值条件 根据极值条件 0 d d 2 l V 9 得 得 0 3 5 16m 16 3 2 2 2 32 3 l ml 即 即 lll465 0 5 3 3 2 2 b 5 求 b 5 求 21 dl和 l llll5350 5 3 1 3 2 21 c c 1 3 1 23 1 2 1 3 2 775 0 16 5 3 m16 d ml ld d 该轴取式 a d 所给尺寸 可使轴的体积最小 重量自然也最轻 d 该轴取式 a d 所给尺寸 可使轴的体积最小 重量自然也最轻 4 14 一密圈螺旋弹簧 承受轴向载荷一密圈螺旋弹簧 承受轴向载荷 F 1kN 作用 设弹簧的平均直径作用 设弹簧的平均直径 D 40mm 弹簧丝的直径 弹簧丝的直径 d 7mm 许用切应力 许用切应力 480MPa 试校核弹簧的强度 试校核弹簧的强度 解 由于 解 由于 10715 7 40 d D m 故需考虑曲率的影响 此时 故需考虑曲率的影响 此时 372MPaPa1072 3 m371 54 0070 N271 54 040 01000 18 34 2 48 8 23 3 3 max md mFD 结论 结论 max 该弹簧满足强度要求 该弹簧满足强度要求 4 19 一薄壁圆管 两端承受扭力矩一薄壁圆管 两端承受扭力矩 M 作用 设管的平均半径为作用 设管的平均半径为 R 0 壁厚为 壁厚为 管 长为 管 长为 l 切变模量为 切变模量为 G 试证明薄壁圆管的扭转角为 试证明薄壁圆管的扭转角为 3 0 2RG Ml 证明 解此证明题的思路是证明 解此证明题的思路是 薄壁圆管的扭转切应力为 薄壁圆管的扭转切应力为 R M W T 2 0p 2 从而有 从而有 RG M G 2 0 2 10 注意到切应变注意到切应变 代表了圆管母线代表了圆管母线AB的倾斜角 示如图 4 19 右端点的倾斜角 示如图 4 19 右端点B绕所在截面圆心转过绕所在截面圆心转过 弧段 弧段 BB 在小变形条件下 其值 在小变形条件下 其值 2 0 2RG Ml ls 弧段 弧段 BB 所对应的圆心角 正是圆管右端面相对于左端面的扭转角 即 所对应的圆心角 正是圆管右端面相对于左端面的扭转角 即 3 00 2RG Ml R s 4 20 图示圆锥形薄壁轴图示圆锥形薄壁轴 AB 两端承受扭力矩 两端承受扭力矩 M 作用 设壁厚为作用 设壁厚为 横截面 横截面 A 与与 B 的平均直径分别为的平均直径分别为 dA与与 dB 轴长为 轴长为 l 切变模量为 切变模量为 G 试证明截面 试证明截面 A 和和 B 间的扭转角为间的扭转角为 22 2 BA BA BA dd dd G Ml 题题 4 20 图图 证明 自左端证明 自左端A向右取坐标向右取坐标x 轴在 轴在x处的平均半径为 处的平均半径为 2 1 2 1 0 cxdx l dd dxR A AB A 式中 式中 l dd c AB 轴在 轴在x处的极惯性矩为 处的极惯性矩为 333 0p 4 2 1 2 2cxd cxdRI AA 依据 依据 3 p 4 d d cxdG M GI xT x A 得截面 得截面A和和B间的扭转角为 间的扭转角为 11 l A A A l BA cxd G M cxd cxd G M 0 2 3 0 c 2 c d 4 2222 d 2 11 2 BA BA ABAB dG ddMl ddddG Ml 4 21 图示两端固定的圆截面轴 承受扭力矩作用 试求支反力偶矩 设扭转刚度为 已知常数 图示两端固定的圆截面轴 承受扭力矩作用 试求支反力偶矩 设扭转刚度为 已知常数 题题 4 21 图图 a 解 此为静不定轴 但有对称条件可以利用 设 a 解 此为静不定轴 但有对称条件可以利用 设BA 两端的支反力偶矩分别为两端的支反力偶矩分别为 BA MM和 它们的转向与扭力矩 它们的转向与扭力矩M相反 由于左右 对称 故知 相反 由于左右 对称 故知 BA MM 由 由0 x M可得 可得 MMMM ABA 22 即 即 MMM BA b 解 此为静不定轴 可解除右端约束 代之以支反力偶矩 b 解 此为静不定轴 可解除右端约束 代之以支反力偶矩 B M 示如图 4 21 b 示如图 4 21 b 变形协调条件为 变形协调条件为 0 B a a 12 利用叠加法求利用叠加法求 B 得到 得到 p B pp B GI aM GI aM GI Ma 3 2 b 将式 b 代入式 a 可得 b 将式 b 代入式 a 可得 MMB 3 1 进而求得 进而求得 MMA 3 1 转向与 转向与 B M相反 c 解 此为静不定轴 与 a 类似 利用左右对称条件 容易得到 相反 c 解 此为静不定轴 与 a 类似 利用左右对称条件 容易得到 2 ma MM BA BA MM 的转向与的转向与m相反 d 解 此为静不定轴 可解除右端约束 代之以支反力偶矩 相反 d 解 此为静不定轴 可解除右端约束 代之以支反力偶矩 B M 从变形趋势不难判断 从变形趋势不难判断 B M的转向与的转向与m相反 变形协调条件为 相反 变形协调条件为 0 B c 利用叠加法求 c 利用叠加法求 B 得到 得到 x从左端向右取 从左端向右取 pp 2 p 0 p 2 2 2 d GI aM GI ma GI aM x GI xam BB a MBmBB B d 将式将式 d 代入式代入式 c 可得 可得 4 ma MB 进而求得进而求得 4 3ma MmaM BA A M的转向亦与的转向亦与m相反 相反 说明 用书中例说明 用书中例 4 7 介绍的方法求解本题 结果相同 但工作量要大一些 介绍的方法求解本题 结果相同 但工作量要大一些 4 22 试确定图示轴的直径 已知扭力矩试确定图示轴的直径 已知扭力矩 M1 400N m M2 600N m 许用切应力 许用切应力 40MPa 单位长度的许用扭转角 单位长度的许用扭转角 0 25 m 切变模量 切变模量 G 80GPa 13 题题 4 22 图图 解 1 求解 1 求 B M 画扭矩图 此为静不定轴 设 画扭矩图 此为静不定轴 设B端支反力偶矩为端支反力偶矩为 B M 该轴的相当系统示如图 4 22 a 该轴的相当系统示如图 4 22 a 用叠加法求 用叠加法求 B 500225016005000400 1 p M GI BB 将其代入变形协调条件 将其代入变形协调条件0 B 得 得 mN220 m5002 m N50004002501600 2 MB 该轴的扭矩图示如图 4 22 b 2 由圆轴扭转的强度条件求 该轴的扭矩图示如图 4 22 b 2 由圆轴扭转的强度条件求 d 由扭矩图易见 由扭矩图易见 mN380 max T 将其代入扭转强度条件 将其代入扭转强度条件 16 3 max p max max d T W T 由此得 由此得 mm4 36m0364 0 1040 m38016 16 3 6 3 3 max T d 14 3 由圆轴扭转的刚度条件求3 由圆轴扭转的刚度条件求 d 将最大扭矩值代入将最大扭矩值代入 32 4 max p max dG T GI T 得 得 mm7 57m0577 0 25 01080 m18038032 32 4 9 4 4 max G T d 结论 最后确定该轴的直径 结论 最后确定该轴的直径mm757 d 4 23 图示两端固定阶梯形圆轴 承受扭力矩图示两端固定阶梯形圆轴 承受扭力矩 M 作用 为使轴的重量最轻 试确定 轴径 作用 为使轴的重量最轻 试确定 轴径 d1与与 d2 已知许用切应力为 已知许用切应力为 题题 4 23 图图 解 解法 1 1 几何方面 此为静不定轴 本题从几何分析入手比较方便 解题思路为 解 解法 1 1 几何方面 此为静不定轴 本题从几何分析入手比较方便 解题思路为 212 dTdd 在 在M作用下 作用下 M所在截面所在截面C只有一个扭转角 故知变形协调条件为 只有一个扭转角 故知变形协调条件为 CBCAC a 这里足标中的 a 这里足标中的BA和系指轴的左端面和右端面 2 物理方面 依据剪切胡克定律 有 系指轴的左端面和右端面 2 物理方面 依据剪切胡克定律 有 GG max2 max2 max1 max1 b 要使轴最轻 只有使 b 要使轴最轻 只有使 max2max1 才能实现 等强度观点 由式 b 可得 才能实现 等强度观点 由式 b 可得 max2max1 c 注意到 c 注意到 a d a d CC 2 2 2 2 max2 1 max1 d 将式 d 代入式 c 得到 d 将式 d 代入式 c 得到 2 12 d d e e 15 3 静力学方面 从 3 静力学方面 从M作用截面处取一轴段 由该轴段的力矩平衡条件 可得 作用截面处取一轴段 由该轴段的力矩平衡条件 可得 MTT 21 f 又从等强度要求可知 f 又从等强度要求可知 21 p2p1 WTWT 由此可得 由此可得 8 3 1 2 p p 1 2 1 2 d d W W T T g 联解方程 g 与 f 得 g 联解方程 g 与 f 得 MTT 9 8 8 12 进而由 进而由 M d T 9 8 16 3 2 2 得到轴的直径为 得到轴的直径为 12 2 9 16 2 9 816 33 d MM d 解法 2 1 静力学方面 设该轴左 右端的支反力偶矩分别为 解法 2 1 静力学方面 设该轴左 右端的支反力偶矩分别为MA和和MB 并设它们均与 并设它们均与M反向 由反向 由 x M 0 得 0 得 0 MMM BA 或以扭矩表示为 或以扭矩表示为 0 21 MTT a 2 几何方面 设 a 2 几何方面 设M所在截面为所在截面为C 可写出变形协调条件为 可写出变形协调条件为 0 CDAC 或写成 或写成 CBAC b 3 物理方面 b 3 物理方面 21 p 2 p 1 2 GI aT GI aT CBAC c c 16 将式 c 代入式 b 得 将式 c 代入式 b 得 4 2 4 1 p p 2 1 2 2 2 1 d d I I T T d 为使该轴最轻 引入等强度条件 d 为使该轴最轻 引入等强度条件 max2max1 即 即 21 p 2 p 1 W T W T e 由此得 e 由此得 3 2 3 1 p p 2 1 2 1 d d W W T T f 比较式 d 和 f 得 f 比较式 d 和 f 得 d 2 2d1 g 将方程 a 与补充方程 f 联解 并注意到式 g 有 g 将方程 a 与补充方程 f 联解 并注意到式 g 有 MTT 9 8 8 12 进而由式 e 得到 进而由式 e 得到 M d T 9 8 16 3 2 2 由此可得 由此可得 12 2 9 16 2 3 d M d 4 24 图示二平行圆轴 通过刚性摇臂承受载荷图示二平行圆轴 通过刚性摇臂承受载荷 F 作用 试求轴端的扭转角 已知 载荷 作用 试求轴端的扭转角 已知 载荷 F 750N 轴 轴 1 和轴和轴 2 的直径分别为的直径分别为 d1 12mm 和和 d2 15mm 轴长均为 轴长均为 l 500mm 摇臂长 度 摇臂长 度 a 300mm 切变模量 切变模量 G 80GPa 题题 4 24 图图 17 解 这是静不定问题 变形协调条件为 解 这是静不定问题 变形协调条件为 21 或或 21 a 这里 a 这里 1 和和 2 分别为刚性摇臂 1 2 在接触点处的竖向位移 设二摇臂的接触力为 分别为刚性摇臂 1 2 在接触点处的竖向位移 设二摇臂的接触力为 2 F 则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为 则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为 aFTaF a FT 2221 2 b 物理关系为 b 物理关系为 21 p 2 2 p 1 1 GI lT GI lT c 将式 c 代入式 a 并注意到式 b 可得 c 将式 c 代入式 a 并注意到式 b 可得 2 4 2 4 1 4 2 2 dd Fd F 由此得 由此得 75 5rad 1004 0 m015 0012 0 1080 m500 0300 075016 16 1 4494 2 4 1p 2 2 2 o ddG Fal GI lT 4 26 如图所示 圆轴如图所示 圆轴 AB 与套管与套管 CD 借刚性突缘借刚性突缘 E 焊接成一体 并在突缘焊接成一体 并在突缘 E 承受 扭力矩 承受 扭力矩 M 作用 圆轴的直径作用 圆轴的直径 d 38mm 许用切应力 许用切应力 1 80MPa 切变模量 切变模量 G1 80GPa 套管 的外径 套管 的外径 D 76mm 壁厚 壁厚 6mm 许用切应力 许用切应力 2 40MPa 切变模量 切变模量 G2 40GPa 试求扭 力矩 试求扭 力矩 M 的许用值 的许用值 题题 4 26 图图 解 1 解静不定 求解 1 解静不定 求 21 TT 18 此为静不定问题 静力学关系和变形协调关系分别为 此为静不定问题 静力学关系和变形协调关系分别为 MTT 21 a 和 a 和 21 b 物理关系为 b 物理关系为 21 p2 22 2 p1 11 1 IG lT IG lT c 将式 c 代入式 b 并注意到 c 将式 c 代入式 b 并注意到 32 1 32 8421 0 76 1276 4 p 4 4 p 12 d I D I 可得 可得 22 44 4 2 44 4 2 1p2 2p1 1 1676 0 8421 01 763 384 3 2 1 2 2 1 TTT D d T lIG lIG T d 将方程 a 与 d 联解 得 d 将方程 a 与 d 联解 得 M TM T14408560 12 2 由圆轴的强度条件定 2 由圆轴的强度条件定M的许用值 的许用值 144 016 1 3 p 1 max1 1 d M W T 由此得 由此得 mkN99 5mN1099 5mN 144 016 10800 038 144 016 3 63 1 3 d M 3 由套管的强度条件定 3 由套管的强度条件定M的许用值 的许用值 1 856 016 2 43 p 2 max2 2 D M W T 由此得 由此得 mN 856 016 1040 8421 01 076 0 856 016 1 643 2 43 D M mkN002mN10002 3 结论 扭力矩的许用值为 结论 扭力矩的许用值为 M mkN002 4 27 图示组合轴 由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体 该轴承受 扭力矩 图示组合轴 由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体 该轴承受 扭力矩 M 100N m 作用 试校核其强度 设钢与铜的许用切应力分别为作用 试校核其强度 设钢与铜的许用切应力分别为 s 80MPa 与与 c 20MPa 切变模量分别为 切变模量分别为 Gs 80GPa 与与 Gc 40GPa 19 题题 4 27 图图 解 1 解静不定 求解 1 解静不定 求 c1s TT 和 此为静不定问题 为看清楚起见 可将钢轴与铜管拆开 二者的受力图分别示如图 4 27 a 和 b 此为静不定问题 为看清楚起见 可将钢轴与铜管拆开 二者的受力图分别示如图 4 27 a 和 b 静力学方面 静力学方面 sc2c1s TTMTT a 几何方面 a 几何方面 c2c1cs b 物理方面 b 物理方面 2 G T c pc c2c1 pss s s l I TT IG l c c 将式 c 代入式 b 并注意到式 a 中的第二式及 c 将式 c 代入式 b 并注意到式 a 中的第二式及2 cs G G 得 得 c1s ps pc 1 TT I I d 将 d 将 484 4 ps m10571 1m 32 020 0 875 0 40 35 I 20 4744 4 pc m10040 1 m875 01 32 040 0 I 代入式 d 得 代入式 d 得 c1s 627TT e 再将式 e 代入式 a 中的第一式 得到 e 再将式 e 代入式 a 中的第一式 得到 mN4888840mN6111160 c1s M T M T 2 校核强度 对于钢轴 2 校核强度 对于钢轴 MPa38 7Pa1038 7 m020 0 N6 1116 s 6 23 ps s maxs W T 对于铜管 对于铜管 MPa00 17Pa10700 1 m 875 01 040 0 N4 8816 c 7 243 pc c1 maxc W T 结论 二者均满足扭转强度要求 结论 二者均满足扭转强度要求 4 28 将截面尺寸分别为将截面尺寸分别为 100mm 90mm 与与 90mm 80mm 的两钢管相套合 并 在内管两端施加扭力矩 的两钢管相套合 并 在内管两端施加扭力矩 M0 2kN m 后 将其两端与外管相焊接 试问在去掉扭力矩后 将其两端与外管相焊接 试问在去掉扭力矩 M0后 内 外管横截面上的最大扭转切应力 后 内 外管横截面上的最大扭转切应力 解 1 解静不定 求解 1 解静不定 求 ei TT 此为静不定问题 内管两端施加 此为静不定问题 内管两端施加 0 M后 产生的扭转角为 后 产生的扭转角为 i GI lM p 0 0 a 去掉 a 去掉 0 M后 有静力学关系 后 有静力学关系 ei TT b 几何关系为 b 几何关系为 0 ei c 物理关系为 c 物理关系为 ei GI lT GI lT e e i i pp d 将式 d 和式 a 代入式 c 得 d 将式 d 和式 a 代入式 c 得 iei p ei GI lM GI lT GI lT 0 pp 21 或写成 或写成 ie I TM I T ie p 0 p 由此得 由此得 3951 00 p p iie TM TM I I T i e e 将方程 e 与 b 联解 得 e 将方程 e 与 b 联解 得 mkN165158250 0 M TT ei 2 计算最大扭转切应力 内 外管横截面上的最大扭转切应力分别为 2 计算最大扭转切应力 内 外管横截面上的最大扭转切应力分别为 MPa7 21Pa1017 2 m 9 8 1 090 0 N116516 7 243 p max i W Ti i MPa25 17Pa10725 1 m9 01 100 0 N116516 7 243 p max e W Te e 4 29 图示二轴 用突缘与螺栓相连接 各螺栓的材料 直径相同 并均匀地排列在 直径为 图示二轴 用突缘与螺栓相连接 各螺栓的材料 直径相同 并均匀地排列在 直径为 D 100mm 的圆周上 突缘的厚度为的圆周上 突缘的厚度为 10mm 轴所承受的扭力矩为 轴所承受的扭力矩为 M 5 0kN m 螺栓的许用切应力 螺栓的许用切应力 100MPa 许用挤压应力 许用挤压应力 bs 300MPa 试确定螺栓的直径 试确定螺栓的直径 d 题题 4 29 图图 解 1 求每个螺栓所受的剪力 由 解 1 求每个螺栓所受的剪力 由 M D FM x 2 6 0 s 得 得 D M F 3 s 2 由螺栓的剪切强度条件求 2 由螺栓的剪切强度条件求d 3 4 2 s Dd M A F 由此得 由此得 22 mm57 14m10457 1 101000 100 3 m100 54 3 4 2 6 23 D M d 3 由螺栓的挤压强度条件求 3 由螺栓的挤压强度条件求d d3 bs b bs D M d F 由此得 由此得 mm56 5m1056 5 10300010 0100 03 m100 5 3 3 6 3 bs D M d 结论 最后确定螺栓的直径 结论 最后确定螺栓的直径mm5714 d 4 33 图示半椭圆形闭口薄壁杆 图示半椭圆形闭口薄壁杆 a 200mm b 160mm 1 3mm 2 4mm T 6kN m 试求最大扭转切应 试求最大扭转切应 题题 4 33 图图 解 该薄壁杆截面中心线所围面积为 解 该薄壁杆截面中心线所围面积为 4 22 2 21 ba 4 m004 0160 0 002 00 0015 0 200 2 22m 1041 2 由此得最大扭转切应力为 由此得最大扭转切应力为 41 5MPaPa1015 4 m003 01041 22 N106 2 7 22 3 min max T 4 34 图图 a 所示等厚度薄壁圆管 内 外壁的半径分别为所示等厚度薄壁圆管 内 外壁的半径分别为 R1与与 R2 即壁厚 即壁厚 12 RR 因加工原因 圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差 因加工原因 圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差 e 图 图 b 若图 若图 a 和和 b 所示圆管的许用扭 力矩分别为 所示圆管的许用扭 力矩分别为 T0 与与 T 试建立二者间的关系式 并计算当偏差 试建立二者间的关系式 并计算当偏差2 10 ee与时 许用 扭力矩的降低量 用 时 许用 扭力矩的降低量 用 T0 的百分比表示 的百分比表示 23 题题 4 34 图图 解 对于等厚度薄壁圆管 平均半径和壁厚分别为 解 对于等厚度薄壁圆管 平均半径和壁厚分别为 12 21 0 2 RR RR R 根据扭转强度条件 根据扭转强度条件 2 2 0 R T 得 得 2 2 12 2 21 RR RR T 由此得 由此得 2 12 2 210 RRRRT a 对于有加工偏差 a 对于有加工偏差e的变厚度薄壁圆管 平均半径同上 但最小壁厚成为 的变厚度薄壁圆管 平均半径同上 但最小壁厚成为 eRR 12min 根据扭转强度条件 根据扭转强度条件 2 min 2 0 max R T 得 得 2 2 12 2 21 eRR RR T 由此得 由此得 2 12 2 21 eRRRRT b 比较式 b 和式 a 不难找到二者的关系 其关系式为 b 比较式 b 和式 a 不难找到二者的关系 其关系式为 1 0 12 12 0 e T RR eRR TT 当偏差 当偏差10 e和和2 e时 时 T与与 0 T的比值依次为 的比值依次为 100 90 10 1 1 0 TT 和 和 24 100 50