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第四节全微分及其应用 一 全微分的定义 二 全微分在近似计算中的应用 一 全微分的定义 一元函数在点的某邻域内有定义 当 自变量x在取得增量时 相应地函数f x 取得增量 且当在处可导时 有下面的近似公式 对于二元函数f x y 类似地有 左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量 右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分 回顾 全增量 定义 如果函数z f x y 在定义域D的内点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 处全增量 则称此函数在D内可微 函数f x y 在点 x y 处是否可微 关键看是否有 注意 2 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 1 函数可微 偏导数存在 函数可微 定理9 2若二元函数在点处可微 那么函数在该点处必连续 证明 因为函数在点处可微 则 显然当时 有 于是 从而 因此 函数在点处连续 因为 若函数z f x y 在点 x y 可微 定理9 3 必要条件 则该函数在该点偏导数 同样可证 证 z f x y 在点 x y 可微 则 必存在 且 得到对x的偏增量 函数可微 偏导数存在 注意 例1证明函数在点 0 0 处不可微 证明 易知 且 则 因此 函数在点 0 0 不可微 定理9 4 充分条件 证 若函数 的偏导数 则函数在该点可微 所以函数 在点 可微 注意到 故有 偏导数连续 函数可微 注意 参见P51习题9 4第5题 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分 的全微分为 于是 例2求函数的全微分 解 因为 所以 例3求函数在点处的全微分 解 因为 所以 例4求函数的全微分 解 因为 所以 二 全微分在近似计算中的应用 可知当 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 半径由30cm增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例5 有一圆柱体受压后发生形变 到30 1cm 则 高度由60cm减少到59 5cm 体积变化的近似值 求此圆柱体 例6 计算 的近似值 解 设 则 取 则 又因为 所以 内容小结 1 微分定义
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